Sannolikhet och statistik Matematik 1 C Vad r

Sannolikhet och statistik Matematik 1 C

Vad är sannolikhet • I många situationer vet vi inte vad som kommer att hända • I sådana situationer kan vi ändå ta reda på hur stor sannolikheten, eller chansen, är att en viss händelse sker • Den delen av matematiken som handlar om sannolikheter kallas sannolikhetsläran

Var har man nytta av sannolikhet? Kopplas oftast till spel och lotteri Har stor betydelse vid riskbedömning När vi skall betala livsförsäkring I kvantfysiken ( Schrödingerekvation t. e) Statistiska undersökningar används mycket inom vetenskapligt arbete (jämföra t. e. två olika behandlingar mot en sjukdom) • Inom ekonomi, samällsvetenskap • • •

Hur stor är chansen? •

Sannolikhet • Sannolikhet heter Probability på engelska och betecknas därför med P • När alla utfall är lika sannolika, har vi en likformig sannolikhetsfördelning DEFINITION: Sannolikheten för en likformig händelse • När utfallen inte är lika sannolika, har vi en olikformig sannolikhetsfördelning

Sannolikhet •

Exempel 1 •

Exempel 2 I en påse finns det 10 kulor som har samma form. Det finns 6 röda, 3 blå och 1 grön kula. Utan att titta tar du upp en av kulorna ur påsen. a) Vilken är sannolikhet att kulan är röd? Svara i procent. DEFINITION: Aditionsprincip b) Vilken är sannolikhet att kulan är röd eller När flera utfall ingår i en händelse, kan grön? Svara i procent. vi addera sannolikheterna för dessa utfall under förutsättning att de inte kan inträffa samtidigt. Alternativ lösning: P(A eller B) = P(A) + P(B) P(röd eller grön)=P(röd)+P(grön)=0, 6+0, 1=0, 7

Oberoende händelser • Vi antingen kastar en tärning två gånger eller så kastar vi två tärningar Den gula punkten visar att det blev krona vid 1: a kastet och krona vid 2: a kastet, det kan skrivas som (kr, kr) 2: a kastet Den svarta punkten visar att det blev krona vid 1: a kastet och klave vid 2: a kastet, det kan skrivas som (kr, kl) klave Den röda punkten visar att det blev klave vid 1: a kastet och krona vid 2: a kastet, det kan skrivas som (kl, kr) krona Den gröna punkten visar att det blev klave vid 1: a kastet och klave vid 2: a kastet, det kan skrivas som (kl, kl) krona klave 1: a kastet

Oberoende händelser • Hur stor är sannolikheten att han får krona båda gångerna? 2: a kastet klave krona klave 1: a kastet

Oberoende händelser • Bestäm P(mynten visar olika sidor) 2: a kastet klave krona klave 1: a kastet

Exempel 2 Tilde kastar två tärningar, en röd och en blå. Hur stor är sannolikheten att poängsumman blir 5? Blå tärning 6 5 4 3 2 1 Röd tärning 1 2 3 4 5 6

Flera oberoende händelse • Om vi har fler än två oberoende händelse då är det lättare att använda träddiagram istället för diagram SATS: Multiplikationsprincipen, händelser i flera steg Kasta mynt Sannolikheten för en “väg” i diagrammet=produkten av sannolikheter längs vägen kr kl 1: a kast 2: a kast kl kr 3: a kast kr kl kl kr kl

Beroende händelser i flera steg I en påse finns det två röda och tre gröna kulor. Vi tar en kula och sedan ytterligare en kula utan att lägga tillbaka den första. Det här kallas dragning utan återläggning. I den första dragningen finns det 5 möjliga kulor, medan i den andra dragning finns det endast 4 kulor. Eftersom antalet kulor ändras, ändras även sannolikheterna.

Beroende händelser i flera steg 1: a kulan 2: a kulan a) Hur stor är sannolikheten att båda kulorna är röda? b) Hur stor är sannolikheten att kulorna har olika färger? Svar: 60%

Komplementhändelse SATS: Komplementhändelse Om B är komplementhändelse till A så gäller det: P(A)+P(B)=1 eller P(A)=1 -P(B) Hur stor är chansen att fä minst en 6: a när vi kastar två tärningar ? 2: a kast 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1: a kast

Hur ofta inträffar en händelse? •

Relativ frekvens • Ibland när vi räknar på sannolikheter kan vi på förhand inte veta hur stor sannolikhet det är att något utfall kommer att ske. • I de fallen måste vi använda oss av experiment för att räkna ut vilken sannolikhet olika utfall har. • Kastar vi ett häftstift, då vet vi att det kan landa med stiftet upp eller med stiftet ner men vi kan inte innan kastet veta vilken sannolikhet något av dessa fall har. • Vi måste utföra ett experiment för att ta reda på sannolikheten de två utfallen har. • Ju fler experiment som görs, desto säkrare blir resultaten.

Relativ frekvens • Låt oss utföra experimentet med häftstiften. • I första försöket kastar vi ett häftstift 30 gånger, i det andra försöket kastar vi det 150 gånger och i det tredje kastar vi det 400 gånger. • Efter varje experiment räknar vi ut sannolikheten som vi kallar den relativa frekvensen.

Relativ frekvens Relativa frekvensen för stift upp stift ner Antal kast Stift upp Stift ner 30 15 15 15/30=0, 5 150 90 60 90/150=0, 6 60/50=0, 4 400 260 140 260/140=0, 65 140/400=0, 35 • Ju fler kast vi gör desto närmare sanningen är vi. • I många fall måste sannolikheter räknas ut på detta sätt och då får vi nöja oss med att sannolikheterna aldrig kommer vara exakta, utan endast en uppskattning.

Statistik i samhälle och vetenskap • Statistik handlar om att samla in data och information, och sedan analysera och utvärdera den. • Varför gör man det? • För att kunna förstå det man studerar och även kunna förutsäga framtida händelser, till exempel hur ett politiskt val kommer att gå.

Linjediagram Används för att åskådliggöra ett förlopp som ändras över tid Linjediagram 14 12 temperatur 10 8 6 4 2 tid 0 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Stolp- och stapeldiagram Vilken är skillnad mellan stapel- och stolpdiagram? När antal skall åskådliggöras, i det fallet antal barn per familj, änvänds stolpdiagram. Stolpdiagram Stapeldiagram 5 frekvens antal familjer När x-axeln visar kategorier, använd stapeldiagram. 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 antal barn per familj 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 90 50 45 35 20 äpple päron annanas blåbär banan

Cirkeldiagram När man vill åskådliggöra andelar. Cirkeldiagram Övrigt 10% Vattenkraftt 50% 40% Kärnkraft

Histogram Alla åldrar indelade i åldersgrupper i en by 80 -90 Vad kan vi säga om invånarnas ålder? 70 -80 60 -70 50 -60 40 -50 30 -40 20 -30 10 -20 0 -10 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 Antal invånare i varje åldersgrupp

Vilseledande statistik 1200 1000 800 1000 600 400 200 800 2009 2010

Några statistiska lägesmått • I det här avsnittet repeteras: – Medelvärde – Median – Typvärde DEFINITION: Lägesmått

Blandade uppgifter

• Vad är sannolikheten att få minst en sexa om du kastar tärning 9 gånger?

Förslag för repetition • Onsdag Kapitel 1 & 2 • Torsdag Kapitel 3 • Fredag Kapitel 4

Repetition- Kapitel 1 & 2