Salir TRIGONOMETRA ESFRICA l Tema 1 Geometra sobre

Salir TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA l. Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica. • Definiciones • Triángulos esféricos. Triangulo polar • Propiedades de los triángulos esféricos • Superficie de un triángulo esférico l. Tema 2: Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico. • Fórmulas de Bessel • Teorema del coseno • Teorema del seno • Teorema de la cotangente • Teorema del coseno para los ángulos • Funciones del ángulo mitad • Analogías de Gauss-Delambre • Analogías de Neper • Distancia esférica entre dos puntos l. Tema 3: Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros. • Triángulos esféricos rectángulos • Propiedades de los triángulos esféricos rectángulos • Triángulos esféricos rectiláteros 1

Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica. l Circunferencia máxima o ciclo: es la intersección de una esfera con un plano que pasa por su centro. Plano Esfera 2 Índice

Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica. l Circunferencia menor: es la intersección de una esfera con un plano que no pasa por su centro. Plano Circunferencia menor Esfera 3 Índice

Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica. l Distancia esférica entre dos puntos de una superficie esférica: Es la longitud del menor arco de circunferencia máxima entre dos puntos. 4 Índice

Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica. l Ángulo esférico entre dos ciclos: Es el ángulo formado por las tangentes a las semicircunferencias en uno de sus puntos de contacto. 5 Índice

Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica. El ángulo esférico es el correspondiente al diedro formado por los planos de los dos ciclos. 6 Índice

Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica. l Polos de un ciclo: Son los extremos de un diámetro perpendicular al plano de un ciclo trazado por el centro de la esfera. 7 Índice

Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica. l Triángulo esférico: Es la porción de superficie esférica comprendida entre tres arcos de ciclo que se cortan dos a dos. Elementos del triángulo: • Vértices: A, B y C son los puntos de intersección de los arcos de ciclo. • Ángulos: A, B y C son los ángulos planos de cada diedro. • Lados: a, b y c son los lados del triángulo, son arcos, son expresados en unidades angulares. Cálculo de los lados: 8 Índice

Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica. Triedro: si se unen los vértices de un triángulo esférico con el centro de la C esfera, se obtiene un triedro. Lados: a, b y c son los lados del triángulo, son Vértices: A, B y C son los ángulos respectivos a la intersección de las de cada cara del triedro. aristas del triedro con la l esfera. b O B c Ángulos: A, B y C miden los ángulos planos de cada diedro. A l Triángulo esférico: es la intersección de la esfera con las tres caras del triedro. 9 Índice

Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica. Propiedades de los triángulos esféricos: 1. Cualquier lado de un triángulo esférico es menor que 180º. 2. Cada lado del triángulo esférico verifica: |a – b | < c < a + b. 3. La suma de los ángulos de un triángulo esférico verifica: 180º < A + B + C < 540º EXCESO ESFÉRICO: A + B + C – 180º. Sigue 10 Índice

Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica. Propiedades de los triángulos esféricos (continuación) 4. La suma de los lados de un triángulo esférico verifica: 0º < a + b + c < 360º DEFECTO ESFÉRICO: 360º - (a + b + c) 5. En un triángulo esférico se verifica: a = b ⇔ A = B. 6. En un triángulo esférico se verifica: a > b ⇔ A > B 11 Índice

Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica. l Dos triángulos esféricos entre sí pueden ser: • • • Adyacentes: si tienen un lado común. Simétricos: si los vértices de uno de ellos son diametralmente opuestos a los vértices del otro. Opuestos por el vértice: si tienen un vértice común. 12 Índice

Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica. l Tipos de triángulos esféricos: 1. Equilátero: si tiene los tres lados iguales. 2. Isósceles: si tiene dos lados iguales. 3. Rectángulo: si tiene uno o más ángulos rectos. Nota. Un triángulo esférico se llama rectilátero si tiene al menos un lado recto. 13 Índice

Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica. Criterios de igualdad de triángulos esféricos. Dos triángulos esféricos son iguales si tienen iguales: 1. Tres lados. 2. Tres ángulos. 3. Dos ángulos y el lado adyacente. 4. Dos lados y el ángulo comprendido. 14 Índice

Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica. Dado el triángulo esférico ABC: Triángulos esféricos polares. El vértice Ap es el polo del ciclo OBC, perteneciente al mismo hemisferio que el vértice A del triángulo inicial ABC. Bp es el polo del ciclo OAC que está en el mismo hemisferio que el vértice B. Cp es el polo del ciclo OAB que pertenece al mismo hemisferio que el vértice B. El triángulo esférico Ap. Bp. Cp se llama triángulo polar del ABC 15 Índice

Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica. Los triángulos esféricos polares poseen la siguiente relación: “Cada ángulo de un triángulo esférico es suplementario de un lado de su triángulo polar. ” Es decir: Ap = 180º - a ap = 180º - A Bp = 180º - b bp = 180º - B Cp = 180º - c cp = 180º - C 16 Índice

Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica. Superficie de un triángulo esférico. l Queremos calcular el área del triángulo esférico ABC. Superficie de la esfera de radio r: Para ello, consideramos los cuatro triángulos esféricos que forman la mitad de la superficie esférica que se ve. S= área del t. ABC S’= área del t. A’BC S’’= área del t. AB’C S’’’= área del t. A’B’C Se cumple que: Sigue 17 Índice

Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica. De la expresión anterior igualdad: en dos triángulos esféricos. podemos pasar a la y agrupando de dos formando husos En este caso, al ser opuestos por el vértice se forma el huso esférico con el Despejando S: triángulo esférico simétrico del A’B’C que tiene la misma área. 18 Índice

Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica. Superficie de un triángulo esférico. Siendo: r = radio de la esfera l y , , γ = ángulos del T. esférico Polígono esférico: es la porción de superficie esférica comprendida entre una poligonal cerrada, cuyos lados son arcos de circunferencia máxima. Superficie de un polígono esférico: Siendo: A 1, A 2, …, An ángulos del polígono n = nº de lados del polígono 19 Índice

Tema 2: Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico. l Fórmulas de Bessel: teorema del coseno para lados, teorema del seno, teorema de la cotangente, teorema del coseno para ángulos. l Fórmulas de Briggs. Analogías de Gauss-Delambre. Analogías de Neper. l Distancia esférica entre dos puntos. 20 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. FÓRMULAS DE BESSEL Federico Bessel. Matemático y Astrónomo alemán (1784 -1846). Director del Observatorio de Konigsberg. Fórmulas de Bessel. C Objetivo: poder calcular un lado o un ángulo cualquiera, en un triángulo esférico, a partir del conocimiento de otros tres elementos de dicho triángulo. Clasificación de las Fórmulas de Bessel a b B 1 er Grupo de Bessel. Teorema del coseno para lados. 2º Grupo de Bessel. Teorema del seno. 3º Grupo de Bessel. Teorema de la cotangente. A c 4º Grupo de Bessel. Teorema del coseno para ángulos. 21 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. 1ª Fórmula de Bessel. - Teorema del coseno para lados Enunciado del Teorema del coseno para lados: C a b c A En todo triángulo esférico, el coseno de un lado es igual al producto de los cosenos de los otros dos lados, más el producto de los B senos de dichos lados por el coseno del ángulo comprendido. - Es decir: cos a = cos b · cos c + sen b · sen c · cos A. cos b = cos a · cos c + sen a · sen c · cos B. cos c = cos a · cos b + sen a · sen b · cos C. 22 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Conceptos previos a) Definición de altura esférica. b) C a r Se llama altura esférica hc (CH) del triángulo esférico ABC sobre una esfera de radio r al arco del ciclo perpendicular al arco AB y que pasa por C. b hc O M P r N B 90º A c H b) Proyecciones. c) d) e) f) Proyección de C sobre el plano OAB produce P. Proyección de P sobre la recta OA es N Proyección de P sobre la recta OB es M 23 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Conceptos previos. Continuación c) Triángulos formados: C A a r 90º r N P . N b hc 90º C r C O C C M . P P B r b M O a N cos A = cos b = cos B = sen b = M O 24 Índice B 90º A c H cos a = Aclaración de ángulos sen a =

Tema 2. Trigonometría esférica. Demostración: Teorema del coseno C II) . A N cos A = P C III) = r · cos b = r · sen a = r · sen b cos B = Sustituyendo B . P C M cos a = IV) r a sen a = M = r · sen a · cos B = r · sen b · cos A O C V) cos b = r b O = r · cos a N sen b = 26 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Demostración Teorema del coseno (Continuación). C a r b hc a O r M P B 90º N A c B M G O c J H . P c N Por tanto: c . A r. cos a = r· cos b· cos c + r·sen b· cos A· sen c Simplificando (dividir entre r): cos a = cos b· cos c + sen b· sen c· cos A 27 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Demostración Teorema del coseno (Continuación). Análogamente para los cosenos de los lados “b” y “ c”. Se tendría: cos b = cos a · cos c + sen a · sen c · cos B cos c = cos a · cos b + sen a · sen b · cos C Permiten calcular: ü Los ángulos, conociendo los tres lados. ü Un lado, conociendo los otros dos y el ángulo comprendido. 28 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. 2ª Fórmula de Bessel. - Teorema del seno Enunciado del Teorema del seno En todo triángulo esférico, los senos de los C a lados son proporcionales a los senos de los B b ángulos opuestos, es decir: c A Permiten calcular un lado o un ángulo, conociendo su ángulo opuesto, o lado opuesto, y otro par de elementos opuestos. 29 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Demostración: Teorema del seno Se llama altura esférica hc (CH) del triángulo esférico ABC sobre una esfera de radio r al arco del ciclo perpendicular al arco AB y que pasa por C. C a r O Necesitamos calcular CP: C b hc b 90º N P sen A = M B 90º A c H A N . P y ahora CN: sen b = y sustituyendo: 30 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Demostración: Teorema del seno Análogamente, volvemos a calcular CP: III) C sen B = . B y ahora CM: M P IV) Despejando: C a M Despejando: sen a = r O y sustituyendo: Igualando: Simplificando y ordenando 31 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Demostración: Teorema del seno. (Continuación) Trazando la altura esférica ha sobre el lado a, se probaría la relación: Por tanto: c. q. d 32 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Aplicación práctica del Teorema del seno Razonar si puede, al menos, existir un triángulo esférico con los elementos siguientes: a = 30º 53’ C b = 31º 09’ A = 87º 34’ Solución: Tenemos dos lados y un ángulo no comprendido. a b B Aplicamos el Teorema del seno: ; A Despejamos sen B: c. Sustituyendo por los datos: 1, 006862 > 1. Luego NO EXISTE triángulo esférico 33 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. 3 er. Fórmula grupo del 3ª de Teorema Bessel. - Teorema 3 seno de la cotangente Por el teorema del coseno y del seno se tiene: C a B b c A Sustituyendo cos c y sen c en la primera fórmula obtenemos: cos a = cos b(cos a cos b + sen a sen b cos C) +sen b sen C cos A Simplificando: cos a = cos a cos 2 b + cos b sen a sen b cos C + sen b sen C cot A· sena Sigue 34 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Teorema de la cotangente (continuación) Pasamos el 1 er sumando del 2º término al 1 er miembro: l cos a – cos a cos 2 b = cos b sen a sen b cos C + sen b sen a sen C cot A Sacamos factor común cos a en el 1 er término: l cos a (1 – cos 2 b) = cos b sen a sen b cos C + sen b sen a sen. C cot. A R. F. T cos a sen 2 b = cos b sen a sen b cos C + sen b sen a sen C cot A • Dividimos ambos miembros por sen a sen b, se tiene: cot a sen b = cos b cos C + sen C cot A Sigue 35 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Teorema de la cotangente (continuación) De forma análoga y por permutación, se tiene: cot a sen b = cos b cos C + sen C cot A cot a sen c = cos c cos B + sen B cot A cot b sen a = cos a cos C + sen C cot B cot b sen c = cos c cos A + sen A cot B cot c sen a = cos a cos B + sen B cot C cot c sen b = cos b cos A + sen A cot C 36 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. 4ª Fórmula de Bessel. - Teorema del coseno para ángulos Recordar: Triángulo Polar: Dado el triángulo ABC, hallamos el polo Cp del lado c más próximo al vértice C. Del mismo modo determinamos el polo Bp del lado b y el polo Ap del lado a. 37 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. 4ª Fórmula de Bessel. - Teorema del coseno para ángulos Aplicando el Teorema del Coseno para lados al triángulo polar ABC, se tiene: cos ap = cos bp cos cp + sen bp sen cp cos Ap Por tanto: cos(180º - A) = cos(180º - B) cos(180º - C) + sen(180º - B) sen(180º - C) cos(180º - a) Simplificando: - cos A = (- cos B) (- cos C) + sen B sen C ( - cos a) Multiplicando la igualdad por (-1): cos A = - cos B cos C + sen B sen C · cos a Sigue 38 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Teorema del coseno para ángulos (continuación) Obteniéndose las fórmulas que relacionan tres ángulos y un lado: cos A = - cos B cos C + sen B sen C cos a cos B = - cos A cos C + sen A sen C cos b cos C = - cos A cos B + sen A sen B cos c 39 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Funciones del ángulo mitad Sabemos por trigonometría plana que: (1 + cos A) cos 2 A R (*) Y por el Teorema del Coseno para lados tenemos: cos A = Sustituyendo cos A en la ecuación (*), se tiene: cos 2 (1 + ) = = Sigue 40 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Funciones del ángulo mitad (continuación) = Recordar: • cos A – cos B = - 2 • sen (- A) = - sen A Llamamos: a + b + c = 2 p (perímetro) b + c – a = 2 p – 2 a = 2(p – a) Sustituyendo nos queda: Sigue 41 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Funciones del ángulo mitad (continuación) Por tanto: Análogamente, si partimos de: sen 2 (1 - cos A) Se obtiene: Efectuando el cociente, se tiene: Estas fórmulas permiten calcular los ángulos de un triángulo esférico, conocidos tres lados o bien el perímetro y dos lados. 42 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Ejemplo de aplicación de las Funciones del ángulo mitad En un triángulo isósceles los lados miden: b = c = 60º, a = 90º. Calcula A, B y C Solución Sigue 43 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Ejemplo de aplicación de las Funciones del ángulo mitad Cálculo de B: C = B = 54º 44’ 08” ; A = 109º 28’ 16” 44 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Analogías de Gauss - Delambre Partimos de: Sustituyendo por las fórmulas del ángulo mitad: Sigue 45 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Analogías de Gauss - Delambre (continuación) “sen C/2 se pasa al 1 ermiembro” Por tanto: Sigue 46 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Analogías de Gauss - Delambre (continuación) Luego: De forma análoga: 47 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Analogías de Neper Calculemos: Por tanto: Sigue 48 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Analogías de Neper (continuación) De forma análoga se obtienen: Y para el lado c: Fórmulas que permiten resolver un triángulo esférico conocidos lados y el ángulo comprendido, ó bien dos elementos y el opuesto a uno de ellos, usando previamente el teorema del seno 49 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Distancia esférica entre dos puntos Dadas las coordenadas geográficas de dos lugares, hallar la distancia esférica que los separa. Punto A Punto B • Se pide calcular la distancia AB. • PGP’ es el meridiano de Greenwich. • El triángulo esférico a estudiar es PAB. • CD = OD (Longitud de B) – OC(Longitud de A). • CD es la medida del ángulo P en el triángulo esférico PAB. 50 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Distancia esférica entre dos puntos (continuación) En el triángulo esférico PAB: p Conocemos PA: (90º – Latitud de A). Conocemos PB: (90º – Latitud de B). Conocemos el ángulo P que es CD. Queremos calcular AB, es decir p: Para ello aplicamos el teorema del coseno para lados. cos p = cos a· cos b + sen a· sen b· cos P cos p = cos(90º- Latitud del punto B) · cos(90º- Latitud del punto A) + sen(90º- Latitud del punto B) · sen(90º- Latitud del punto A) · cos P 51 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Aplicación práctica de distancia esférica entre dos puntos. Punto A. Punto B. Longitud = 4º 05’ 10’’ W. Latitud = 44º 36’ 0’’ N. Longitud = 12º 10’ 0’’ E. Latitud = 40º 10’ 20’’ N. El meridiano de Greenwich está entre los meridianos de A y B. El ciclo EDF es el ecuador. Los ciclos PAD y PBF son los meridianos respectivos de A y B. El arco DF es el valor del ángulo esférico en P y es la suma de las long. de A y B. Sigue 52 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Aplicación práctica de distancia esférica entre dos puntos. (continuación) El arco AP es el lado b del triángulo esférico APB y su valor es el ángulo complementario al arco DA. El arco BP es el lado a del triángulo esférico APB y su valor es el ángulo complementario del arco FB. Se pide calcular el arco AB, es decir p en el triángulo esférico PAB. Teorema del coseno para lados: cos p = cos a · cos b + sen a · sen b · cos P 53 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Aplicación práctica de distancia esférica entre dos puntos (continuación) Calculemos a, b, p. a = 90º - Latitud de B = (90º - 40º 10’ 20” N) a = 49º 49’ 40”. b = 90º - Latitud de A = (90º - 44º 36’ 0”N) b = 45º 24’ 0”. P = Longitud A + Longitud B = = 4º 05’ 10” + 12º 10’ 0” = 16º 15’ 10”. P = 16º 15’ 10”. cos p = cos(49º 49’ 40”)·cos(45º 24’) + sen(49º 49’ 40”)·sen(45º 24’)·cos(16º 15’ 10”) p = arc cos (0’ 975724) = 12º 46’ 05”. 54 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Aplicación práctica de distancia esférica entre dos puntos (continuación) p = arc cos(0’ 9752724) = 12º 46’ 05” Considerando la Tierra esférica con radio R = 6. 373 km, el valor de un ciclo es 2πR = 40. 042 km. Un grado de ciclo valdrá: 40. 042 / 360º = 111, 2 km por grado El arco 12º 46’ 05” en grados son: 12’ 76º. La distancia AB en km es 12, 76 · 111, 2 km = = 1. 418, 9 km. 55 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Resolución de triángulos esféricos Resolver un triángulo esférico es conocer sus tres lados y sus tres ángulos. Se pueden presentar los siguientes casos: 1. Se conocen tres lados. 2. Se conocen tres ángulos. 3. Se conocen dos lados y el ángulo comprendido. 4. Se conocen dos ángulos y el lado comprendido. 5. Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. 6. Se conocen dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos. 56 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Resolución de triángulos esférico: 1 er caso Se conocen tres lados y se quieren conocer los tres ángulos. Ejemplo Datos: a = 39º 27’ 42’’; b = 71º 13’ 15’’; c = 54º 02’’ Incógnitas: A, B, C Solución Aplicación del teorema del coseno para lados: cos a = cos b · cos c + senb · senc· cos A Despejamos cos A, es decir: Sigue 57 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Resolución de triángulos esférico: 1 er caso Ángulo B: Ángulo C: Propiedades triángulos esféricos Sigue 58 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Resolución de triángulos esférico 1 er caso La solución del problema es: A = 40º 27’ 55’’ B = 104º 48’ 45’’ C = 55º 44’ 12’’ Se puede observar que cumple todas las propiedades de los triángulos esféricos. 60 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Resolución de triángulos esférico: 2º caso Se conocen tres ángulos y se quiere calcular los tres lados: Ejemplo Datos: A = B = 52º 14’ 24’’; C = 82º 12’ 03’’ Incógnitas: a, b, c. Solución Comprobamos que se trata de un triángulo esférico: A + B + C = 186º 40’ 51’’ Luego: 180º < A + B + C < 540º Para resolver este 2º caso se aplica el teorema del coseno para ángulos cos A = - cos B · cos C + sen B · sen C· cos a. Sigue 61 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Resolución de triángulos esférico: 2º caso Se despeja cos a del teorema del coseno para ángulos: Como a = b A = B. Luego: b = 27º 23’ 29’’ Se aplica otra vez el teorema del coseno para ángulos, esta vez para el ángulo C: cos C = - cos A · cos B + sen A · sen B· cos c. Despejamos c y nos queda: Se puede observar que cumple todas las propiedades de los triángulos esféricos. Propiedades triángulos esféricos 62 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Resolución de triángulos esférico: 3º caso Se conocen dos lados y el ángulo comprendido. Ejemplo Datos: a = 73º 58’’; b = 38º 45’ 00’’; C = 46º 33’ 41’’ Incógnitas: A, B, c Solución Para resolver este caso se utiliza el teorema del coseno para lados. En este ejemplo se aplica dicho teorema para calcular el lado c. Una vez calculado el lado c, se vuelve aplicar dicho teorema para calcular los ángulos A y B Sigue 63 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Resolución de triángulos esférico: 3º caso Teorema del coseno para lados: cos c = cos a · cos b + sen a · sen b · cos C. Sustituyendo los datos nos queda: cos c = 0, 62885370 c = 51º 02’ 03’’ • Ahora ya conocemos los tres lados. Se vuelve aplicar el teorema del coseno para lados. cos a = cos b · cos c + sen b · sen c · cos A despejando cos A, se tiene: cos A = - 0, 440764432 A = 116º 09’ 9’’ • Cálculo del ángulo B. cos b = cos a · cos c + sen a · sen c · cos B despejando cos B, se tiene: cos B = 0, 81136809103 B = 35º 46’ 12’’ 64 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Resolución de triángulos esférico: 4º caso Se conocen dos ángulos y el lado comprendido. Ejemplo. Datos: A = 40º 30’; B = 109º 20’; c = 120º 10’ Incógnitas: C, a, b. Solución Para resolver este caso se utiliza el teorema del coseno para ángulos. En este ejemplo se aplica dicho teorema para calcular el ángulo C. Una vez calculado el ángulo C, se vuelve aplicar dicho teorema para calcular los lados a y b. Sigue 65 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Resolución de triángulos esférico: 4º caso Teorema del coseno para ángulos: cos C = - cos A · cos B + sen A · sen B · cos c. Sustituyendo los datos nos queda: cos C = - 0, 0562122 C = 93º 13’ 20’’ • Ahora ya conocemos los tres ángulos. Se vuelve aplicar el teorema del coseno para ángulos. cos A = - cos B · cos C + sen B · sen C · cos a despejando cos a, se tiene: cos a = 0, 82684229724 a = 34º 13’ 27’’ • Cálculo del lado b. cos B = - cos A · cos C + sen A · sen C · cos b despejando cos b, se tiene: cos b =0, 57637105996 b = 54º 48’ 15’’ 66 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Resolución de triángulos esférico: 5º caso Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Ejemplo Datos: a = 42º 42’ 12’’; A = 37º 45’; b = 65º 36’ Incógnitas: B, C, c Solución En este caso disponemos de dos valores como posibles soluciones. Se darán los siguientes pasos: 1. Se aplica el teorema del seno para calcular el ángulo B y decidiremos si tiene 1 ó 2 soluciones (según las propiedades de los triángulos esféricos). 2. Se aplica las fórmulas de Neper para calcular el lado c. 3. Se aplica el teorema del coseno para lados para calcular el ángulo C, Sigue 67 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Resolución de triángulos esférico: 5º caso Teorema del seno para calcular el ángulo B: Sustituyendo los datos Sen B = 0, 822079446783. Hay dos posibles soluciones ya que el seno es positivo en el 1 er cuadrante y el 2º cuadrante, siendo ambas soluciones menores que 180º. Estas soluciones son: B 1 = 55º 17’ 36’’ ; B 2 = (180º - 55º 17’ 36’’) = 124º 42’ 23’’ ¿Son válidas ambas soluciones? Se tiene que comprobar la propiedad de los triángulos esféricos: a > b ⇔ A > B para todos lados del triángulo esférico. En este caso a < b A = 37º 45’ < B, pero esto lo cumplen ambos ángulos Hay dos soluciones. Sigue 68 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Resolución de triángulos esférico: 5º caso Primera solución Datos: a = 42º 42’ 12’’; A = 37º 45’; b = 65º 36’; B 1= 55º 17’ 36’’ Incógnitas: c 1, C 1 Solución: Para calcular el lado c 1, aplicamos la fórmula de Neper: Cálculos: Sigue 69 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Resolución de triángulos esférico: 5º caso Por tanto: c 1 = 87º 52’ 38’’ Cálculo del ángulo C 1, se utiliza el teorema del coseno para lados: C 1 = 115º 33’ 58’’ Triángulo solución 1: Sigue 70 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Resolución de triángulos esférico: 5º caso Segunda solución Datos: a = 42º 42’ 12’’; A = 37º 45’; b = 65º 36’; B 2= 124º 42’ 23’’ Incógnitas: c 2, C 2 Solución: Para calcular el lado c 2, aplicamos la fórmula de Neper: Cálculos: Sigue 71 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Resolución de triángulos esférico: 5º caso Por tanto: c 2 = 32º 26’ 12’’ Cálculo del ángulo C 2, se utiliza el teorema del coseno para lados: C 2 = 28º 57’ 32’’ Triángulo solución 2: 72 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Resolución de triángulos esférico: 6º caso Se conocen dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos. Ejemplo Datos: C = 42º 12’ 20’’; B = 83º 34’ 15’’ ; b = 74º 18’ 02’’ Incógnitas: a, c y A Solución En este caso disponemos de dos valores como posibles soluciones. Se darán los siguientes pasos: 1. Se aplica el teorema del seno para calcular el lado c y decidiremos si tiene 1 ó 2 soluciones (según las propiedades de los triángulos esféricos). 2. Se aplica las fórmulas de Neper para calcular el lado a. 3. Se aplica el teorema del coseno para lados para calcular el ángulo A, Sigue 73 Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Resolución de triángulos esférico: 6º caso Teorema del seno para calcular el lado c: = 0, 65082377777 Puede haber dos soluciones: c 1 = 40º 36’ 13’’ y c 2 = (180º - 40º 36’ 13’’) = 139º 23’ 46’’ ¿Son válidas ambas soluciones? Se tiene que comprobar la propiedad de los triángulos esféricos: B > C b > c, esta propiedad solo se cumple para la 1ª solución. Luego rechazamos c 2 = 139º 23’ 46’’ 74 Sigue Índice

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T. E. Resolución de triángulos esférico: 6º caso Solución única del problema: Datos: C = 42º 12’ 20’’; B = 83º 34’ 15’’ ; b = 74º 18’ 02’’; c = 40º 36’ 13’’ Incógnita: a, A. • Analogía de Neper para el lado a: = 0, 76322043565 = 37º 21’ 6’’ a = 74º 42’ 11’’ • Cálculo del ángulo A, mediante el teorema del coseno para lados: A = 84º 39’ 13’’ 75 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Triángulos esféricos rectángulos Un triángulo esférico se llama rectángulo si tiene uno o más ángulos rectos. Para hallar las fórmulas relativas a los triángulos rectángulos basta sustituir un ángulo por 90º en las fórmulas generales obtenidas anteriormente. Sea el ángulo recto A, sen A = 1, cos A = 0 y apliquemos a los diferentes teoremas estos valores: Sigue 76 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Triángulos esféricos rectángulos Teorema del coseno para lados cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A Sustituyendo A = 90º cos 90º = 0 cos a = cos b cos c Teorema del seno sen b = sen a sen B sen c = sen a sen C Sigue 77 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Triángulos esféricos rectángulos Teorema de la cotangente • cot a sen b = cos b cos C + sen C cot A Sustituyendo A = 90º cot A = 0. Por tanto: cot a sen b = cos b cos C + 0 Trasladamos “cos b” al 1 er miembro y “cot a” al 2º miembro. Nos queda: • tg b = tg a cos C cot a sen c = cos c cos B + sen B cot A Sustituyendo A = 90º cot A = 0. Luego: cot a sen c = cos c cos B + 0 Trasladamos “cos c” al 1 er miembro y “cot a” al 2º miembro. Nos queda: tg c = tg a cos B Sigue 78 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Triángulos esféricos rectángulos • cot b sen c = cos c cos A + sen A cot B Sustituyendo A = 90º cos A = 0, sen A = 1. Nos queda: cot b sen c = 0 + 1 cot B tg b = sen c tg B • cot c sen b = cos b cos A + sen A cot C Sustituyendo A = 90º cos A = 0, sen A = 1. Nos queda: cot c sen b = cot C tg c = sen b tg C Sigue 79 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Triángulos esféricos rectángulos Teorema del coseno para ángulos • cos A = - cos B cos C + sen B sen C cos a Sustituyendo A = 90º cos A = 0. Nos queda: 0 + cos B cos C = sen B sen C cos a Despejamos “cos a”: cos a = cot B cot C • cos B = - cos A cos C + sen A sen C cos b Sustituyendo A = 90º cos A = 0, sen A = 1. Nos queda: cos B = sen C cos b • cos C = - cos A cos B + sen A sen B cos c Sustituyendo A = 90º cos A = 0, sen A = 1 cos C = sen B cos c 80 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Triángulos esféricos rectángulos Regla de Neper de los elementos circulares. Las fórmulas anteriores pueden recordarse mediante la regla descubierta por Neper. Puesto los elementos del triángulo esférico en los vértices de un pentágono y en el orden que indica la figura, el coseno de cada vértice es igual al producto: • De los senos de los vértices opuestos. • De las cotangentes de los vértices adyacentes. 81 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Triángulos esféricos rectángulos Ejemplos • cos a = sen(90º- c) sen(90º- b) = cos c cos b • cos a = cot B cot C • cos B = sen C sen(90º - b) = sen C cos b • cos B = cot a cot (90º - c) = cot a tg c • cos C = sen B sen(90º - c) = sen B cos c • cos C = cot a cot(90º - b) = cot a tg b 82 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Triángulos esféricos rectángulos Proposición En todo triángulo esférico rectángulo, un cateto y su ángulo opuesto son ambos agudos o ambos obtusos. Demostración En las fórmulas de la cotangente tenemos: tg b = sen c tg B y tg c = sen b tg C Como sen c y sen b siempre son factores positivos (no puede haber ángulos mayores ni iguales a 180º) tg b y tg c han de tener siempre el mismo signo que tg B y tg C, respectivamente. 83 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Triángulos esféricos rectángulos Proposición En todo triángulo rectángulo, o los tres lados son menores de 90º, o uno tan solo de ellos cumple con esa condición. Demostración • Si la hipotenusa “a” es aguda. Por el teorema del coseno para lados tendremos: cos a = cos b cos c. Sabemos que cos a > 0 + = + + + = - - ó Por tanto, los tres lados son agudos o solo lo es uno de ellos. Sigue 84 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Triángulos esféricos rectángulos • Si la hipotenusa a es obtusa. Por el teorema del coseno para lados tendremos: cos a = cos b cos c. Sabemos que cos a < 0 - = + - = - - ó + Por tanto, solo uno de ellos es agudo. 85 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Triángulos esféricos rectángulos Proposición En todo triángulo esférico rectángulo, la hipotenusa es menor o mayor que 90º, según que los dos catetos sean de la misma o de distinta especie, (igual o distinto signo), respectivamente. Demostración Es consecuencia inmediata de la proposición anterior. 86 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Triángulos esféricos rectángulos c=100º B a=80º h C H b=40º A Si la altura sobre el lado a es interior (h), al triángulo ABC, entonces B y C han de ser ambos agudos o ambos obtusos, pues son ángulos que se oponen al cateto (h), en los triángulos rectángulo en que (h), divide al triángulo ABC. Si la altura es exterior (h), entonces han de ser B y 180º-C ambos agudos o ambos obtusos, es decir, B y C tienen distinto carácter. 180º-C h Luego al ser las soluciones válidas B = 34º 49’ 11’’<90º y C = 118º 58’ 36’’, deducimos que la altura sobre el lado a es exterior al triángulo ABC y su valor es un ángulo agudo. Considerando el triángulo ABH rectángulo en H 87 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Triángulos esféricos rectángulos Resolución de triángulos esféricos rectángulos. Se pueden presentar los siguientes casos: 1. Se conocen dos catetos y el ángulo recto A. 2. Se conocen la hipotenusa a y un cateto. 3. Se conocen un cateto b, y su ángulo opuesto. 4. Se conocen un cateto b, y el ángulo adyacente C. 5. Se conocen la hipotenusa a y un ángulo C. 6. Se conocen tres ángulos A, B y C. 88 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 1 er caso Se conocen dos catetos y el ángulo recto A Ejemplo Datos: b = 75º 47’, c = 102º 38’ Incógnitas: a, B y C Solución (2) (1) Para resolver este caso, mediante la regla de Neper, Se calcula: 1. cos a = sen (90º - c) · sen (90º - b) (2) 2. cos B = cot a · cot (90º - c). Si se quiere utilizar solo datos del enunciado, se aplica el t. de la cotangente: (1) (2) (1) 3. cos C = cot a · cot (90º - b). Si se quiere utilizar solo datos del enunciado, se aplica el t. de la cotangente. 89 Sigue Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 1 er caso Solución 1. cos a = sen (90º - c) · sen (90º - b) = cos c · cos b = = (-0, 21871096) · 0, 245589475 = - 0, 053713109 Luego: a = 180º - 86º 55’ 15’’ = 93º 4’ 44’’ 2. Cálculo de B, aplicando el t. de la cotangente Luego B = 76º 6’ 50’’ 3. Cálculo del ángulo C, aplicando el t. de la cotangente: Luego: C = 180º - 77º 44’ 30’’ = 102º 15’ 29’’ 90 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 2º caso Se conocen la hipotenusa a y un cateto. Ejemplo Datos: a = 112º 42’ 36’’, b = 76º 44’ 15’’, A = 90º Incógnitas: c, B y C. Solución Para resolver este caso, mediante la regla de Neper, Se calcula: 1. cos C = cot a · cot (90º - b) 2. cos B = sen C · cot (90º - c). Si se quiere utilizar solo datos del enunciado, se aplica el t. del seno: 3. Cálculo del lado c: cos (90º - c) = sen a · sen C. Si se quiere utilizar solo datos del enunciado, se aplica el t. de la cotangente: Sigue 91 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 2º caso Solución 1. Cálculo del ángulo C cos C = cot a · cot (90º - b) = = 0, 4185141149 · 4, 2426990544 = 1, 775629586 Como cos C > 1 No existe tal triángulo esférico 92 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 3 er caso Se conocen un cateto b, y su ángulo opuesto. Ejemplo Datos: b = 34º 40’ 23’’, B = 52º 56’ 32’’, A = 90º Incógnitas: C, a y c Solución 1. Cálculo del lado c: cos(90º - c) = cot B · cot (90º - b) 2. Cálculo de C: cos C = sen B · sen (90º - c). Si se 3. quiere utilizar solo datos del enunciado, se aplica 4. el t. del coseno para ángulos: cos B = cos b sen C 3. Cálculo del lado a: cos a = sen(90º - c) · sen(90º - b) Aplicar solo datos del enunciado, se utiliza el t. del Sigue seno. 93 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 3 er caso 1. Cálculo del lado c: cos(90º - c) = cot B · cot (90º - b) sen c = 0, 6917373308 · 0, 6917373084 = 0, 522355942042 Por tanto: c 1 = 31º 29’ 25’’. (1 er cuadrante) c 2 = 148º 30’ 39’’ (2º cuadrante) 2. Cálculo de C: cos C = sen B · sen (90º - c). Cos C 1 = 0, 7980282263 · 0, 85277275472 = = 0, 6805006520 C 1 = 47º 07’ 02’’. Solución para c 2: C 2 = 132º 52’ 58’’ 3. Cálculo del lado a: cos a = sen(90º - c) · sen(90º - b) cos a = 0, 852727547 · 0, 8224116647 = 0, 701293081722 a 1 = 45º 28’ 09’’. 2ª solución: a 2 = 134º 31’ 51’’ 94 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 4º caso Se conocen un cateto b, y el ángulo adyacente C. Ejemplo Datos: b = 41º 52’ 14’’; C = 59º 0’ 12’’; A = 90º Incógnitas: B, a y c Solución 1. Cálculo de B: cos B = sen C · sen (90º - b) sen 2. Cálculo de c: cos (90º -c) = cot B · cot(90º - b). Si solo se quiere aplicar datos del enunciado; entonces se utiliza el teorema de la cotangente: tg c = sen b · tg C 3. Cálculo del lado a: cos a = sen (90º - c) · sen (90º - b) Si solo se quiere aplicar datos del enunciado, se utilizará el t. de la cotangente: 95 Sigue Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 4º caso 1. Cálculo de B cos B = sen C · sen (90º - b) = = 0, 85719726 · 0, 744654648 = 0, 638315924 Luego: B = 50º 20’ 1’’ 2. Cálculo de c: cos (90º -c) = cot B · cot(90º - b) sen c = cot B · tg b = = 0, 829225517 · 0, 896321489 = 0, 743252650 c = 48º 0’ 33’’ (2ª solución = 131º 59’ 27’’ no es válida ya que un cateto y su vértice opuesto son ambos agudos o ambos obtusos) 3. Cálculo de a: cos a = sen (90º - c) · sen (90º - b) = 0, 9818267482 Luego: a = 60º 7’ 12’’ 96 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 5º caso Se conocen la hipotenusa a y un ángulo C. Ejemplo Datos: a = 60º 07’ 13’’; C = 59º 00’ 12’’; A = 90º Incógnitas: b, c Solución y B 1. Cálculo de c: cos (90º - c) = sen a · sen C 2. Cálculo de B: cos B = cot a · cot (90º - c). Si solo se quiere aplicar datos del enunciado; entonces se utiliza del teorema seno: sen c = sen a · sen C 3. Cálculo de b cos (90º - b) = sen a · sen B. Si solo se quiere aplicar datos del enunciado; entonces se utiliza del teorema de la cotangente; tg b = tg a · cos C 97 Sigue Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 5º caso 1. Cálculo de c: cos (90º - c) = sen a · sen C = 0, 7432527021 sen c c = 48º 00’ 33’’. La 2ª solución no es válida ya que en todo t. esf. rectángulo un cateto y su vértice opuesto son ambos agudos o ambos obtusos. (*) 2. Cálculo de B: cos B = cot a · cot (90º - c) = 0, 6383145377 B = 50º 20’ 01’’ 3. Cálculo de b: cos ( 90º - b) = sen a · sen B = 0, 6674517715 b = 41º 52’ 14’’. La 2ª solución no es válida (*) 98 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 6º caso Se conocen tres ángulos A, B y C. Ejemplo Datos: A = 90º, B = 50º 20’ 01’’y C = 59º 00’ 12’’ Incógnitas: a, b y c Solución 1. Cálculo de a: cos a = cot B · cot C 2. Cálculo b: cos (90º - b) = sen B · sen a Si solo se quiere aplicar datos del enunciado; entonces se utiliza el t. del coseno para ángulos: cos B = cos b · sen C (despejar cos b) 3. Cálculo de c: cos(90º - c) = sen a · sen C Si solo se quiere aplicar datos del enunciado; entonces se utiliza el t. del coseno para ángulos: cos C = cos c · sen B (despejar cos c)Sigue 99 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 6º caso 1. Cálculo de a: cos a = cot B · cot C = 0, 829225517 · 0, 600781440 = = 0, 49818330025 a = 60º 07’ 12’’ 2. Cálculo de b: cos (90º - b) = sen B · sen a sen b = 0, 769774139 · 0, 867070701 = = 0, 66744860244 b = 41º 52’ 14’’. La 2ª solución no es válida ya que en todo t. esf. rectángulo un cateto y su vértice opuesto son ambos agudos o ambos obtusos. (*) 3. Cálculo de c: cos (90º - c) = sen a · sen C sen c = 0, 867070701 · 0, 857197262 = = 0, 743250631 c = 48º 00’ 33’’ (*) 100 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Resolución de Triángulos esféricos rectiláteros Definición: Un triángulo esférico es rectilátero si uno de sus lados es un cuadrante (a = 90º). Para hallar las fórmulas relativas a los triángulos esféricos rectiláteros basta sustituir un lado por 90º en las fórmulas generales obtenidas anteriormente. Si el lado recto es a, sen a = 1, cos a = 0, y apliquemos a los diferentes teoremas estos valores. 101 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Resolución de Triángulos esféricos rectiláteros Teorema del coseno para lados • cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A. Se sustituye “cos a” = 0 y se pasa “cos b · cos c” al 1 er miembro, nos queda: cos b cos c = - sen b sen c cos A se despeja “cos A” cos A = - cot b cot c • cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B. Se sustituye “cos a = 0” y “sen a = 1”, nos queda: cos b = sen c cos B • cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C. Se sustituye “cos a = 0” y “sen a = 1”, nos queda: cos c = sen b · cos C 102 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Resolución de Triángulos esféricos rectiláteros Teorema del seno Sustituyendo sen a = 1 nos queda: Sen B = sen A sen b Sen C = sen A sen c 103 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Resolución de Triángulos esféricos rectiláteros Teorema de la cotangente • cot a sen b = cos b cos C + sen C cot A. Sustituyendo cos a = 0, sen a = 1 0 = cos b cos C + sen C cot A - cos b cos C = sen C cot A tg C = - tg A cos b • cot a sen c = cos c cos B + sen B cot A Sustituyendo cos a = 0, sen a = 1 0 = cos c cos B + sen B cot A - cos c cos B = sen B cot A tg B = - tg A cos c Sigue 104 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros T. de la cotangente (continuación) • cot b sen a = cos a cos C + sen C cot B Sustituyendo cos a = 0, sen a = 1 cot b = sen C cot B tg B = tg b sen C • cot c sen a = cos a cos B + sen B cot C Sustituyendo cos a = 0, sen a = 1 cot c = sen B cot C tg C = tg c sen B 105 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Resolución de Triángulos esféricos rectiláteros Teorema del coseno para ángulos cos A = - cos B cos C + sen B sen C cos a Sustituyendo cos a = 0. Nos queda: cos A = - cos B cos C 106 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Resolución de Triángulos esféricos rectiláteros Resolución de triángulos rectiláteros Las fórmulas anteriores nos permiten resolver los triángulos rectiláteros. También se pueden resolver reduciéndolos a los casos de triángulos rectángulos, pues si a = 90º, su triángulo polar Ap. Bp. Cp es rectángulo en Ap. Resuelto el polar, se determina el triángulo dado hallando los suplementos de los ángulos y lados de Ap. Bp. Cp. 107 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Resolución de Triángulos esféricos rectiláteros Ejemplo Resolver el triángulo esférico a = 90º, A = 36º 25’ 08”, c = 102º y calcular la superficie que ocupa él y su triángulo polar sobre una esfera de radio 1. Solución Lo resolveremos pasando el triángulo dado a su triángulo polar, que será un triángulo rectángulo en A = 90º. Recordar triángulo esféricos polares: Dado un triángulo ABC de lados a, b, c se denomina triángulo polar a aquel cuyos lados son ap, bp, cp son suplementarios de los vértices A, B, C del triángulo dado, y los vértices Ap, Bp, Cp son suplementarios de los lados a, b, c. Sigue 108 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Ejemplo de Triángulos esféricos rectiláteros Cálculos: Cp = 180º - c = 180º - 102º = 78º ap =180º- A = 180º - A = 36º 25’ 08” = 143º 34’ 52” Datos: Cp, Ap, ap Incógnitas: Bp, bp, cp Cálculo de Bp: cos ap = cot Bp · cot Cp ; se despeja “cot Bp” = 0, 2125565 (-1, 2427020) = = - 0, 26414 Bp = 165º 12’ 13” Sigue 109 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Ejemplo de Triángulos esféricos rectiláteros (continuación) Cálculo de cp: Aplicamos el T. del seno para triángulos rectángulos: sen cp = sen ap sen Cp Por tanto: sen cp = sen 143º 34’ 52” sen 78º = 0, 5807107 Luego cp= La solución lado obtuso, no es válida, ya que no cumple: Cp < A p c p < a p Solución: cp = 35º 30’ 02” Sigue 110 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Ejemplo de Triángulos esféricos rectiláteros (continuación) Cálculo de bp: Aplicamos el teorema del seno para calcular bp sen bp = sen ap sen Bp = 0, 1483047. Luego bp = La solución lado agudo, no es válida, ya que no cumple: Bp > Ap bp > ap Solución: bp = 171º 28’ 17” Sigue 111 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Ejemplo de Triángulos esféricos rectiláteros (continuación) La solución pedida será: b = 180º - Bp = 180º - 165º 12’ 13” = 14º 47’ 47” C = 180º - cp = 180º - 35º 30’ 02” = 144º 29’ 58” B = 180º - bp = 180º - 171º 28’ 17” = 8º 31’ 43” Superficie del triángulo pedido Sigue 112 Índice

Tema 3. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros Ejemplo de Triángulos esféricos rectiláteros (continuación) Superficie del triángulo polar al dado 113 Índice

Trigonometría esférica. Bibliografía específica. AYRES, F. y MOYER, R. (1991). Trigonometría. Schaum. Mc. Graw-Hill. Madrid. PUIG ADAM, P. (1978). Curso de Geometría métrica (tomo II). Editado por P. Puig Adam. Madrid. UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS. (2003). Apuntes de Trigonometría esférica. Publicaciones de la EUIT Topográfica. Madrid. VILA MITJA, A. (1993). Elementos de Trigonometría esférica. Editado por Aula teórica. 114 Índice