Salir TRIGONOMETRA ESFRICA l MOTIVACIN Aplicacin en Geodesia

Salir TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA l MOTIVACIÓN: Aplicación en Geodesia (2º) y Métodos Topográficos (2º) l. Lección 1: Geometría sobre la superficie esférica. l. Lección 2: Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo • Definiciones • Triángulos esféricos. Triangulo polar • Propiedades de los triángulos esféricos • Área de un triángulo esférico (demostrar) esférico. • Fórmulas de Bessel • Teorema del seno(demostrar) • Teorema del coseno • Teorema de la cotangente • Teorema del coseno para los ángulos • Funciones del ángulo mitad. Analogías de Gauss-Delambre • Analogías de Neper l. Tema 3: Distancia esférica. Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros. • Distancia esférica entre dos puntos. Rumbo • Triángulos esféricos rectángulos • Propiedades de los triángulos esféricos rectángulos(alguna demostración) • Triángulos esféricos rectiláteros 1

Leción 1: Geometría sobre la superficie esférica. l Circunferencia máxima o ciclo: es la intersección de una esfera con un plano que pasa por su centro. Plano Esfera El radio del ciclo es igual al radio de la esfera 2 Índice

Lección 1: Geometría sobre la superficie esférica. l Circunferencia menor: es la intersección de una esfera con un plano que no pasa por su centro. Plano Circunferencia menor Esfera 3 Índice

Lección 1: Geometría sobre la superficie esférica. l Distancia esférica entre dos puntos de una superficie esférica: Es la longitud del menor arco de circunferencia máxima entre dos puntos. 4 Índice

Lección 1: Geometría sobre la superficie esférica. l Ángulo esférico entre dos ciclos: Es el ángulo formado por las tangentes a las semicircunferencias en uno de sus puntos de contacto. 5 Índice

Lección 1: Geometría sobre la superficie esférica. El ángulo esférico es el correspondiente al diedro formado por los planos de los dos ciclos. 6 Índice

Leccion 1: Geometría sobre la superficie esférica. l Polos de un ciclo: Son los extremos de un diámetro perpendicular al plano de una circunferencia máxima(ciclo) trazado por el centro de la esfera. ciclo 7 Índice

Lección 1: Geometría sobre la superficie esférica. l Distancia esférica de un punto a un ciclo: es el menor arco de ciclo entre el punto A y el ciclo BC dados. A ciclo B C Dado un punto A, sólo hay una circunferencia máxima que pase por él, perpendicular a BC 8 Índice

Lección 1: Geometría sobre la superficie esférica. l Triángulo esférico: Es la porción de superficie esférica comprendida entre tres arcos de ciclo que se cortan dos a dos. Elementos del triángulo: • Vértices: A, B y C son los puntos de intersección de los arcos de ciclo. • Ángulos: A, B y C son los ángulos planos de cada diedro. • Lados: a, b y c son los lados del triángulo, son arcos, son expresados en unidades angulares(principal diferencia con trigonometría plana) Cálculo de la longitud de un arco: r = radio de la esfera Veamos un ejemplo: Para un arco=100º Rtierra=6371 km L=? ? 9 Índice

Lección 1: Geometría sobre la superficie esférica. (otra interpretación geométrica del triángulo esférico) Triedro: si se unen los vértices de un triángulo esférico con el centro de la C esfera, se obtiene un triedro. Lados: a, b y c son los lados del triángulo, son Vértices: A, B y C son los ángulos respectivos la intersección de las a de cada cara del triedro. aristas del triedro con la l esfera. b O B c Ángulos: A, B y C miden los ángulos planos de cada diedro. A l Triángulo esférico: es la intersección de la esfera con las tres caras del triedro(otra interpretación geométrica del triángulo esférico) 10 Índice

Lección 1: Geometría sobre la superficie esférica. Propiedades de los triángulos esféricos: 1. Cualquier lado o ángulo de un triángulo esférico es menor que 180º (¡¡¡¡diferencia con la T. Plana!!!!) 2. Cada lado del triángulo esférico verifica: |a – b | < c < a + b. 3. La suma de los ángulos de un triángulo esférico verifica: 180º < A + B + C < 540º (por 1. ) (otra diferencia importante con T. Plana!!!!) EXCESO ESFÉRICO: A + B + C – 180º. Sigue 11 Índice

Lección 1: Geometría sobre la superficie esférica. Sigue 12 Índice

Lección 1: Geometría sobre la superficie esférica. Propiedades de los triángulos esféricos (continuación) 4. La suma de los lados de un triángulo esférico verifica: 0º < a + b + c < 360º DEFECTO ESFÉRICO: 360º - (a + b + c) 5. En un triángulo esférico se verifica: a = b ⇔ A = B. 6. En un triángulo esférico se verifica: a > b ⇔ A > B (3, 4, 5 y 6 son comprobaciones que utilizaremos en los ejercicios) 13 Índice

Lección 1: Geometría sobre la superficie esférica. l Dos triángulos esféricos entre sí pueden ser: • • • Adyacentes: si tienen un lado común. Opuestos por el vértice: si tienen un vértice común. Simétricos: si los vértices de uno de ellos son diametralmente opuestos a los vértices del otro. 14 Índice

Lección 1: Geometría sobre la superficie esférica. l Tipos de triángulos esféricos: 1. Equilátero: si tiene los tres lados iguales. a=b=c 2. Isósceles: si tiene dos lados iguales. a=b (por ejemplo) 3. Rectángulo: si tiene uno o más ángulos rectos. (diferencia con la Trigonometría Plana!!!!) Nota. Un triángulo esférico se llama rectilátero si tiene al menos un lado recto (por ejemplo a=90º ) 15 Índice

Lección 1: Geometría sobre la superficie esférica. Criterios de igualdad de triángulos esféricos. (recordamos que: a = b ⇔ A = B) Dos triángulos esféricos son iguales si tienen iguales: 1. Tres lados(veamos un ejemplo) 2. Tres ángulos (veamos un ejemplo) 3. Dos ángulos y el lado adyacente (veamos un ejemplo) 4. Dos lados y el ángulo comprendido (veamos un ejemplo) 16 Índice

Lección 1: Geometría sobre la superficie esférica. Dado el triángulo esférico ABC: Triángulos esféricos polares. (Recordar qué es el polo de un ciclo: diapositiva 7) El vértice Ap es el polo del ciclo BC, perteneciente al mismo hemisferio que el vértice A del triángulo inicial ABC. Bp es el polo del ciclo AC que está en el mismo hemisferio que el vértice B. Cp es el polo del ciclo AB que pertenece al mismo hemisferio que el vértice B. El triángulo esférico Ap. Bp. Cp se llama triángulo polar del ABC 17 Índice

Lección 1: Geometría sobre la superficie esférica. Dado el triángulo esférico ABC: Triángulos esféricos polares. El vértice Ap es el polo del ciclo OBC, perteneciente al mismo hemisferio que el vértice A del triángulo inicial ABC. Bp es el polo del ciclo OAC que está en el mismo hemisferio que el vértice B. Cp es el polo del ciclo OAB que pertenece al mismo hemisferio que el vértice B. El triángulo esférico Ap. Bp. Cp se llama triángulo polar del ABC 18 Índice

Lección 1: Geometría sobre la superficie esférica. Los triángulos esféricos polares poseen la siguiente relación interesante: “Cada ángulo de un triángulo esférico es suplementario de un lado de su triángulo polar. ” Es decir: Ap = 180º - a ap = 180º - A Bp = 180º - b bp = 180º - B Cp = 180º - c cp = 180º - C Si Ap. Bp. Cp es el polar de ABC, entonces ABC es el polar de Ap. Bp. Cp El exceso esférico del triángulo polar Ap. Bp. Cp es el defecto esférico del ABC y recíprocamente el defecto esférico del triángulo polar Ap. Bp. Cp es el exceso esférico del ABC, veamos el primero: EXCESO ESFÉRICO del polar: Ap + Bp + Cp – 180º= 360º - (a + b + c)= DEFECTO ESFÉRICO de ABC (vamos a calcular un triángulo polar) 19 Índice

Lección 1: Geometría sobre la superficie esférica. Área de un triángulo esférico. l Queremos calcular el área del triángulo esférico ABC. Para ello, consideramos los cuatro triángulos esféricos que forman la mitad de la superficie esférica que se ve. Superficie de la esfera de radio r: Huso Esférico S= área del t. ABC S’= área del t. A’BC S’’= área del t. AB’C S’’’= área del t. A’B’C Se cumple que: Sigue 20 Índice

Lección 1: Geometría sobre la superficie esférica. De la expresión anterior pasar a la igualdad: agrupando de dos en dos triángulos podemos y formando husos esféricos. En este caso, al ser opuestos por el vértice se forma el huso esférico con el triángulo esférico simétrico del A’B’C que tiene la misma área. 21 Índice

Lección 1: Geometría sobre la superficie esférica. Área de un triángulo esférico. Siendo: r = radio de la esfera y , , γ = ángulos del T. esférico (Si , , γ en radianes, π/180º=1 radián, S=r 2 * exceso esférico (rad) Hagamos un ejemplo: Para el triángulo esférico: A = 36º 25’ 08” B = 8º 31’ 43” C = 144º 29’ 58” (considerando la esfera r = 1 m) A+B+C= 189º 26’ 49’’>180º, luego A+B+C-180º= 9º 26’ 49’’ 22 Índice

Lección 1: Geometría sobre la superficie esférica. Área o superficie del triángulo Área de un polígono esférico: l Polígono esférico: es la porción de superficie esférica comprendida entre una poligonal cerrada, cuyos lados son arcos de circunferencia máxima. Siendo: A 1, A 2, …, An ángulos del polígono n = número de lados del polígono 23 Índice