S t Petersburgparadoxen Singla slant tills klave dyker

S: t Petersburg-paradoxen • Singla slant tills ”klave” dyker upp. • Om spelet slutar vid n: te omgången får du 2 n kronor. • Förväntad vinst är oändlig! • Men: Det finns en gräns för hur mycket du skulle vara beredd att betala för att få spela spelet. • Lösning: Använd en konkav nyttofunktion!

Expected Utility Theory • Standardcase: Välj mellan ett säkert alternativ z och ett lotteri L(a; x; y). • Det säkra alternativet är minst lika bra som lotteriet omm u(z) ≥ a*u(x)+(1 -a)*u(y), dvs. om u(z) ≥ E[u(L)]. • Beslutsregel: MAXIMERA FÖRVÄNTAD NYTTA!

Intervallskalor En nyttofunktion u är en intervallskala om följande gäller: 1) x. Py omm u(x) > u(y). 2) x. Iy omm u(x) = u(y). 3) Preferensintervallet mellan x och y är minst lika stort som intervallet mellan z och w omm |u(x)-u(y)| ≥ |u(z)-u(w)|.

Resniks exempel ”Jag föredrar glass framför cola. Cola är betydligt bättre än äpplen. Jag föredrar äpplen framför popcorn, men de är nästan likvärdiga. ” T. ex. : u(P) = 1; u(A) = 2; u(C) = 7; u(I) = 10.

Transformationer • Intervallskalor kan genomgå positiva linjära transformationer utan att informationen förvanskas. • v = a+b*u • T. ex. : v(P) = 15; v(A) = 25; v(C) = 75; v(I) = 105. • Följande går inte: w = u 2 v(P) = 1; v(A) = 4; v(C) = 49; v(I) = 100.

von Neumann & Morgensterns nyttofunktion 1) 2) 3) 4) x. Py omm u(x) > u(y) x. Iy omm u(x) = u(y) u[L(a; x; y)] = a*u(x)+(1 -a)*u(y) Om en annan funktion u’ tillfredsställer villkoren 1 -3 så är u’ en positiv linjär transformation av u.

Rationalitetsvillkor inom Expected Utility Theory The Expected Utility Theorem. Egenskaperna 1 -4 följer av nedanstående axiom: • The ordering condition • The continuity condition • The better prize condition • The better-chances condition • The reduction of compound lotteries condition

Allais’ paradox Två valsituationer: A) alternativ 1: € 1 M med sannolikhet 100 %. alternativ 2: € 5 M med sannolikhet 10 %; € 1 M med sannolikhet 89 %; € 0 med sannolikhet 1 %. B) alternativ 1: € 5 M med sannolikhet 10 %; € 0 med sannolikhet 90 %. alternativ 2: € 1 M med sannolikhet 11 %; € 0 med sannolikhet 89 %.

Ellsbergs paradox • En urna med 90 kulor, varav 30 gula och resten röda eller blåa. Dra en kula! • Två valsituationer; två alternativ. A) alternativ 1: € 100 om gul. alternativ 2: € 100 om röd. B) alternativ 1: € 100 om röd eller blå. alternativ 2: € 100 om gul eller blå.

Newcombs paradox ”The Predictor Paradox” • • Två boxar; du får ta en eller båda. I blåa boxen ligger antingen € 1 M eller € 0. Det ligger € 1. 000 i den andra boxen. En spåman bestämmer vad som ska ligga i den blå boxen; du får € 1 M endast om du låter bli att ta den andra boxen. • Spåmannen har rätt i 90 % av fallen.