Rzutowania Rzutowanie jest przeksztaceniem przestrzeni trjwymiarowej na przestrze

Rzutowania Rzutowanie jest przekształceniem przestrzeni trójwymiarowej na przestrzeń dwuwymiarową. Rzutowanie polega na poprowadzeniu prostej przez dany punkt obiektu i znalezieniu punktu wspólnego tej prostej z rzutnią. Wyznaczony punkt nazywany jest rzutem a prosta promieniem rzutującym.

Rzutowanie Zawsze, gdy chcemy odtworzyć obraz jakiegoś trójwymiarowego przedmiotu na płaszczyźnie potrzebujemy aparatu rzutowania. Aparat taki składa się z dwóch elementów: RZUTNI, na której powstanie obraz i LINII RZUTUJĄCYCH. Miejsca, gdzie linie rzutujące przechodzące przez rzutowany obiekt docierają do rzutni tworzy się obraz, który nazywamy RZUTEM.

Rzutowanie • Powszechna definicja rzutu jako przekształcenia na płaszczyznę jest pewnym uproszczeniem gdyż rozpatruje się też np. rzuty na powierzchnię walca lub na wycinek sfery. Jednak rzeczywiście z rzutowaniem na płaszczyznę mamy najczęściej do czynienia (grafika komputerowa, fotografia).

Rzutowanie równoległe polega na przeniesieniu punktów obiektu wzdłuż prostych równoległych. Punkty przecięcia tych prostych z płaszczyzną ekranu tworzą obrazy punktów Rzutowanie to jest bardzo proste do przeprowadzenia, jednak nie daje realistycznych efektów.

Rzutowanie równoległe Ze względu na kąt jaki tworzy kierunek rzutowania (linii rzutujących) z rzutnią rzut równoległy możemy nazwać: PROSTOPADŁYM- gdy kierunek rzutowania jest prostopadły do rzutni. UKOŚNYM- gdy kierunek rzutowania nie jest prostopadły do rzutni.

Rzut prostopadły • Zasady rzutowania: • - przedmiot należy ustawić równolegle do rzutni; • - na przedmiot patrzymy prostopadle do płaszczyzny rzutni; • - z każdego widocznego punktu prowadzi się linię prostopadłą do rzutni; • - punkty przecięcia linii z rzutnią należy połączyć z odpowiednimi odcinkami.

Rzut prostopadły Rodzaje rzutów: • - z góry • -z lewego boku • -z przodu Części wspólne rzutów: • - rzut z góry i z lewego boku mają wspólną szerokość • -rzut z góry i z przodu maja jednakową długość • -rzut z przodu i z lewego boku maja jednakową wysokość.

Rzut prostopadły Wyobraźmy sobie sześcian rzutowany na płaszczyznę xy Obraz, który otrzymujemy przy rzutowaniu prostym jest następujący: Jeżeli przyjęliśmy, że rzutnią jest płaszczyzna xy, zależność pomiędzy współrzędnymi punktu (x, y, z), a współrzędnymi jego obrazu (rzutu) (xp, yp, zp) jest następująca: xp = x; yp = y, zp = 0

Rzut prostopadły • W rzucie prostym rzuty odcinków równoległych do rzutni posiadają długości takie same jak te odcinki, podczas gdy długości odcinków prostopadłych do rzutni skracają się do 0 (odcinki stają się punktami). • Podstawowym zastosowaniem rzutu prostego jest rysunek techniczny, gdzie zmieniając odpowiednio płaszczyzny rzutowania xy, xz, yz otrzymujemy widoki z odpowiednich stron obiektu.

Rzutowanie równoległe Niezmienniki rzutowania – to pewne właściwości figur, które w trakcie rzutowania nie ulegają zmianom, czyli są przenoszone bez zmiany z figury na jej rzut. Rzutowanie równoległe zachowuje : 1. Przynależność elementów 2. Współliniowość elementów 3. Równoległość prostych 4. Stosunek podziału odcinka przez punkt 5. Stosunek długości odcinków równoległych 6. Metrykę figur leżących w płaszczyznach równoległych do rzutni.

Rzutowanie równoległe ukośne • W tym przypadku proste rzutowania przecinają ją pod kątem różnym od prostego, jednak wciąż pozostają równoległe.

Rzutowanie ukośne

Rzutowanie ukośne Poza kątem definiującym proste względem rzutni α do prawidłowego „narysowania” potrzebna jest także znajomość np. odległości L (wynikającej z przesunięcia pomiędzy rzutem prostym, a ukośnym). Z geometrii wynika:

Rzutowanie perspektywiczne Przy tym rodzaju projekcji linie, po których „przesuwamy” punkty obiektu schodzą się w jednym punkcie zwanym środkiem projekcji. Podobnie jak poprzednio, obrazy punktów wyznaczone są poprzez przecięcia linii projekcji z rzutnią.

Rzutowanie perspektywiczne Przyglądając się geometrii przekształcenia odbywającego się podczas rzutowania perspektywicznego otrzymamy

Rzutowanie perspektywiczne • Obiekty znajdujące się dalej dają mniejszy obraz na rzutni • Linie równoległe w przestrzeni schodzą się w pewnym punkcie na rzutni – punkt zbiegu znajduje się na linii horyzontu

Rzutowanie perspektywiczne Parametrem rzutowanie jest odległość d. Jeśli d dąży do nieskończoności rzut staje się rzutem pionowym.

Klasyfikacja rzutów perspektywicznych Kryterium tej klasyfikacji jest liczba osi układu świata, które przecinają rzutnię xvyv. 1. Perspektywa jednopunktowa 2. Perspektywa dwupunktowa 3. Perspektywa trójpunktowa Inaczej rzutowania: • Jednozbieżne • Dwuzbieżne • Trójzbieżne

Klasyfikacja rzutów perspektywicznych 1. Perspektywa jednopunktowa Rzutnia xvyv leży na płaszczyźnie xwyw: Na obrazie niektóre proste (w rzeczywistości prostopadłe do rzutni) zbiegają się w jednym punkcie, tzw. pozornym punkcie zbieżności.

Klasyfikacja rzutów perspektywicznych 1. Perspektywa jednopunktowa Obrazy punktów wyznaczone są poprzez przecięcia linii projekcji z rzutnią Linie równoległe w przestrzeni schodzą się w pewnym punkcie na rzutni – punkt zbiegu znajduje się na linii horyzontu

Klasyfikacja rzutów perspektywicznych Perspektywa dwupunktowa Dwie osie układu xwywzw przecinają rzutnię xvyv: Pojawiają się dwa pozorne punkt zbieżności.

Klasyfikacja rzutów perspektywicznych Perspektywa dwupunktowa Istnieją dwa punkty zbiegu leżące na linii horyzontu Dwie osie układu przecinają rzutnię.

Klasyfikacja rzutów perspektywicznych Perspektywa trójpunktowa Trzy osie układu xwywzw przecinają rzutnię xvyv: W tym przypadku obserwujemy trzy pozorne punkt zbieżności.

Klasyfikacja rzutów perspektywicznych Perspektywa trójpunktowa Istnieją trzy punkty zbieżności Odpowiednik obserwacji wierzchołka wysokiego obiektu z bliskiej odległości na ziemi. Ściany budynków zbiegają się w miarę oddalania od obserwatora ku środkowi widzianego obrazu.

Rzutowanie – przypadek ogólny • Poprzednie opisy dotyczyły rzutowania na płaszczyznę xy. Procedura rzutowania komplikuje się, kiedy rzutnia jest płaszczyzną dowolną.

Rzutowanie Występują dwa układy współrzędnych: UW świata (world coordinates) oraz UW obserwatora (viewer coordinates, camera coordinates).

Rzutowanie Musimy wtedy: • Przepisać współrzędne obiektu w układ obserwatora • Wykonać rzutowanie (np. perspektywiczne) na płaszczyznę xvyv.

Rzutowanie Przepisanie współrzędnych obiektu sprowadza się do wykonania transformacji: • przesunięcia układu obserwatora do początku układu współrzędnych świata • obrotu układu obserwatora wokół osi xw, tak aby oś zv znalazła się na płaszczyźnie xwzw • obrotu układu obserwatora wokół yw, aby oś zv pokryła się z zw • obrotu układu obserwatora zw, aby osie xv i yv pokryły się z xw i yw.