Rys historyczny Apoloniusz i Pappus Trysekcja hiperboliczna 15

Rys historyczny: Apoloniusz i Pappus Trysekcja hiperboliczna 1/5 Strona tytułowa dzieł Apolloniusza z komentarzem Pappusa wydanych po łacinie w r. 1566 Pappus, ostatni z wielkich geometrów greckich, około roku 340 zakończył spisywanie 8 ksiąg Synagoga (czyli Kolekcja). O samym Pappusie nie wiemy niemal nic. Z księgi I (o arytmetyce) jego dzieła nie pozostał nawet jeden odpis, druga zachowała się we fragmentach. W księdze IV Pappus przedstawia m. in. spiralę Archimedesa, konchoidę Nikomedesa i kwadratysę Hippiasza oraz ich zastosowanie do zadania trysekcji kąta. Pappus nazywany jest Komentatorem, gdyż w swym dziele zrelacjonował i opatrzył swymi uwagami prace m. in. Euklidesa (235 -265), Aristaeusza (ok. 370 -300) i Apoloniusza z Pergi (262 -190). Przyjmuje się, że pierwszym, który zauważył, iż elipsa, parabola i hiperbola są stożkowymi (czyli krzywymi uzyskanymi w wyniku przekroju stożka płaszczyzną) był Manaechmus (ok. 380 -320). Najobszerniejsze dzieło poświęcone stożkowym – i nazwane po prostu Stożkowe (Keonika)to 8 ksiąg (księgi VII przetrwały jedynie w odpisach arabskich, księga VIII zaginęła). Ich autorem jest Apoloniusz, zwany Wielkim Geometrą. Pracę nad nimi zaczął w Pergamonie, zakończył w Aleksandrii. To w nich po raz pierwszy pojawiają się słowa parabola, hiperbola i elipsa (po grecku parabolh znaczy porównanie, uperbolh - nadmiar, zaś elliyh – brak). Apolloniusz wprowadził także termin środek krzywizny (bezpośrednio prowadzący do pojęcia ewoluta czyli rozwinięta krzywej). Pojęcia ognisko i kierownica stożkowej (ang. focus, directrix) wprowadził Pappus.

Współrzędne punktu hiperboli Pappusa Trysekcja hiperboliczna 2/5 Trysekcja kąta przedstawiona (przypuszczalnie za Apolloniuszem) przez Pappusa nazywana jest także trysekcją hiperboliczną, gdyż wykorzystuje hiperbolę. Dla dowolnych różnych punktów A i B płaszczyzny hiperbola ta zdefiniowana jest jako miejsce geometryczne punktów H takich, że HBA = 2· BAH. Wykażemy, iż te punkty leżą na hiperboli. W układzie prostokątnym Oxy obierzmy punkty A=(-3 p, 0) i B=(3 p, 0) - tak jak na rysunku obok, gdzie p=1. Przez punkt A prowadzimy prostą nachyloną do osi Ox pod kątem <30°. Przez punkt B prowadzimy prostą nachyloną do osi Ox pod kątem – , gdzie =2. Proste te przecinaja się w punkcie H. Jego współrzędne, H=(x, y), wyznaczamy z układu równań: y=a(x+3 p), y=tg( )·(x– 3 p), gdzie a: =tg( ) i tg( )= tg(2 )=2 a/(1–a 2). Otrzymujemy H=(3 p(1+a 2)/(3–a 2), 12 ap/(3–a 2)). Dlatego rzut C punktu H na oś Ox ma odciętą równą 3 p(1+a 2)/(3–a 2).

Równanie hiperboli Pappusa Trysekcja hiperboliczna 3/5 Oznaczmy współrzędne punktu H krótko przez x i y, tzn. H = (x, y). Wtedy C = (x, 0) oraz w trójkącie ACH: tg( ) = y/(3 p+x), w trójkącie BCH: tg( ) = y/(3 p–x). Z tożsamości tg( ) = tg(2 ) = 2 tg( )/{1 -tg 2( )} mamy zatem czyli (3 p–x)2 – y 2 = 2(9 p 2–x 2), tzn. 3(x+p)2 – y 2 = 12 p 2, tj. Otrzymany związek pokazuje, że miejscem geometrycznym punktów H jest hiperbola. Nazywamy ją hiperbolą Pappusa.

Dowód na podział kąta na 3 równe części Trysekcja hiperboliczna 4/5 1. Przez wyznaczone już punkty A, B i H poprowadźmy okrąg. Środek tego okręgu oznaczamy przez W. 2. Tak jak na rysunku obok, kąty wyznaczone przez punkt W oznaczmy literami , i . Widać, że na tym samym łuku HB oparte są kąty (wpisany w okrąg) i środkowy . Dlatego =2. Analogicznie: na łuku AH oparte są kąty wpisany i środkowy . Dlatego = 2. Ponieważ = 2 , więc = + = 2 + 2 = 4 + 2 = 6 , czyli = /6 i dlatego = /3.

Wykonanie trysekcji Pappusa Trysekcja hiperboliczna 5/5 Rysujemy kąt o wierzchołku W i mierze . Z wierzchołka W zataczamy łuk okręgu. Na ramieniu danego kąta odcina on równe odcinki. Ich końce oznaczamy przez A i B. Wprowadzamy układ Oxy współrzędnych prostokątnych tak jak na rysunku powyżej. Znaczy to, że oś poziomą Ox wyznacza odcinek AB, oś pionową Oy – jego symetralna, zaś B=(3, 0). W tym układzie kreślimy hiperbolę, której prawym ogniskiem jest punkt B, a mimośród e=2. Hiperbola ta ma równanie (x+1)2/4–y 2/12=1. W pierwszej ćwiartce układu współrzędnych hiperbola ta przecina okrąg w punkcie H. Na mocy konstrukcji, kąt HWB, na rysunku oznaczony literą , jest równy = /3.