RWNANIE BERNOULLIEGO DLA CIECZY RZECZYWISTEJ Ustanowienie prawa zmiany

RÓWNANIE BERNOULLIEGO DLA CIECZY RZECZYWISTEJ

Ustanowienie prawa zmiany ciśnienia i prędkości dla ustalonego strumienia cieczy w ogólnym przypadku z pomocą równania różniczkowego ruchu cieczy lepkiej - równania Naviera-Stokesa ; (1) jest niemożliwe ze względu na ich utrudnione całkowanie.

Dlatego też posiłkujemy się równaniem Bernoulliego dla środków wyróżnionych przekrojów 1 – 1 , 2 - 2 (rys. 1): (2)

Ważne dla ruchu idealnej cieczy elementarnej strugi z uwzględnieniem czynników odróżniających proces, ruchu cieczy rzeczywistej od idealnej. Z doświadczenia wiemy, że ciecz rzeczywista wzdłuż sztywnej ścianki np. rurze w skutek działania sił molekularnych między cieczą a ścianką, prędkość warstw przyściennych praktycznie równa jest zero. W centralnej części strumienia prędkość jest maksymalna. Dlatego całkowity impet cieczy w dowolnym przekroju strugi należy wyznaczać uwzględnieniem profilu rozkładu cieczy w tym przekroju.

Nierównomierny rozkład prędkości przekroju strumienia cieczy oznacza poślizg jednych warstw cieczy względem drugich, wskutek czego powstają naprężenia styczne (naprężenia tarcia). Wskutek tego ruch lepkiej cieczy często przedstawia sobą obroty cząstek, wirowość i przemieszczanie.

Na wszystko to zużywa się część energii strumienia, która w skutek tarcia przechodzi w ciepło i rozprasza się w okrywające ją środowisko – otoczenie. Mówimy o dyssypacji energii. W ten sposób drugim czynnikiem, który odróżnia ruch cieczy rzeczywistej od idealnej, jest strata ciśnienia na tarcie w cieczy przechodzeniu jednego przekroju strumienia do drugiego.

Dla określenia całkowitego ciśnienia cieczy w danym przekroju strumienia wprowadzimy pojęcie mocy strumienia. Mocy strumienia w danym przekroju będziemy nazywać całkowitą energię, którą strumień przenosi przez ten przekrój w jednostce czasu: (3) gdzie: H – całkowity napór (ciśnienie) przedstawiający sobą energię właściwą (na jednostkę ciężaru cieczy); ρg. Q – ciężar mocy wzdłuż cieczy, czyli ciężar cieczy przepływającej przez przekrój strumienia w jednostce czasu.

Ponieważ w różnych punktach przekroju cząsteczki cieczy mają różne prędkości, to moc strumienia w rozpatrywanym przekroju określimy jako cząstkę (4) gdzie: d. N – moc elementarnej strugi obliczana za pomocą równania Bernoulliego po formule (5) po uwzględnieniu

Jak pokazuje doświadczenie, w przypadku płynnie zmieniającego się ruchu, potencjalne ciśnienie w przedziale przekroju strumienia jest wielkością jednakową dla wszystkich punktów danego przekroju, czyli: (6)

Podstawiając wyrażenie d. N (5) do równania (4) i uwzględniając zależność (6) mamy:

Ostatecznie możemy napisać: (7) gdzie: (8)

Współczynnik uwzględnia nierównomierność rozkładu prędkości w przekroju strumienia i nazywany jest współczynnikiem Coriolisa. Fizyczny sens współczynnika Coriolisa jest taki, że przedstawia on stosunek rzeczywistej kinematycznej energii masy strumienia cieczy przepływającej w jednostce czasu przez rozpatrywany przekrój do umownej średniej kinetycznej energii (obliczanej dla średniej prędkości v).

Rozważając razem równania (3) i (7) znajdujemy, że całkowite ciśnienie( napór ) strumienia w danym przekroju określa formuła Skąd H- wysokość rozporządzalna (9)

Rozpatrzmy teraz dwa próbne przekroje strumienia cieczy rzeczywistej. Całkowity napór w drugim przekroju jest mniejszy w porównaniu z całkowitą energią strumienia w pierwszym o wysokość strat wskutek dyssypacji energii cieczy przy ruchu od pierwszego do drugiego przekroju, dlatego: albo z uwzględnieniem formuły (8) mamy: (10)

Równanie (10) jest równaniem Bernoulliego strumienia cieczy rzeczywistej. Na rys. 1 przedstawiono piezometryczną linię a-a i ciśnieniową b-b dla strumienia cieczy rzeczywistej przy ustalonym przepływie. W odróżnieniu od linii ciśnienia przy ruchu cieczy idealnej, linia cieczy rzeczywistej obniża się o wartość strat ciśnienia na odcinku między przekrojami 1 -1 i 2 -2.

Piezometryczna linia może obniżać się, podwyższać ale w dowolnym przekroju próbnym strumienia leży niżej linii całkowitego ciśnienia (naporu) o wartość prędkościowego naporu Dla strumienia rzeczywistej cieczy stosunek strat ciśnienia do długości strumienia, na której zachodzi ta strata nazywana jest hydraulicznym odchyleniem lub hydrauliczną inklinacją: (11)

Rys. 1. Graficzne przedstawienie równania Bernoulliego dla strumienia cieczy rzeczywistej w ustalonym ruchu.

Ogólna informacja o stratach hydraulicznych straty lokalne i tarcia – zgodnie formułą Darcy - Weisbacha przy, czym formuła Darcy - Weisbacha jest ważna zarówno dla laminarnego jak i turbulentnego przepływu