RWNANIA MAXWELLA FALA PASKA Prawo Faradaya Przy kadej

RÓWNANIA MAXWELLA. FALA PŁASKA Prawo Faradaya Przy każdej zmianie w czasie strumienia magnetycznego m w obwodzie zamkniętym (krzywa l) indukuje się siła elektromotoryczna V , równa co do wielkości prędkości zmian strumienia Zaindukowana siła elektromotoryczna V ma taki kierunek, że gdyby zamknięty obwód l był przewodnikiem, to płynący zaindukowany prąd wytwarzałby własny strumień magnetyczny, przeciwstawiający się zmianom strumienia m (reguła Lentza). 1

Zapisując siłę elektromotoryczna V: a strumień magnetyczny m jako: i stosując twierdzenie Stokesa dochodzi się do równań Maxwella w postaci całkowej i różniczkowej. 2

Prawo Ampera mówi o tym, że wirowość pola magnetycznego liczona wzdłuż krzywej zamkniętej l równa się sumie prądów obejmowanych przez krzywą l , uwzględnia się nie tylko prądy związane z ruchem ładunków (prąd przewodzenia i prąd unoszenia) ale także tak zwany prąd przesunięcia. ; ; ; 3

Prawo Gaussa 4

Równania Maxwella w postaci różniczkowej Ostatnie z tych równań nie było wyprowadzone. Mówi ono, że źródłem wektora gęstości prądu jest zmienny w czasie ładunek elektryczny o gęstości objętościowej . 5

Rodzaje ośrodków ośrodek liniowy - nie zależy od gdy - ośrodek nieliniowy ośrodek jednorodny - nie zależy od (x, y, z) gdy = f (x, y, z) – ośrodek niejednorodny ośrodek izotropowy - jest wielkością skalarną, wtedy gdy (na ogół) nie jest równoległe do - jest wtedy tensorem ośrodek anizotropowy ; 6

Równania falowe otrzymuje się z równań Maxwella eliminując z równań wiążących dwie różne wielkości (pole elektryczne - pole magnetyczne) jedną z nich. Zakładamy, że ośrodkiem jest dielektryk idealnym (tzn. stacjonarny, liniowy, izotropowy, o zerowej konduktywności ) nie zawierający ładunków. W ośrodku takim: - są liczbami niezależnymi od (x, y, z, t). 7

Korzystając z tożsamości: oraz z równań Maxwella: otrzymujemy: W analogiczny sposób otrzymuje się równanie falowe dla pola magnetycznego: 8

Fala płaska są takie same w dowolnym punkcie płaszczyzny. Pola Równanie płaszczyzny prostopadłej do wektora ; z prędkością v Płaszczyzna poruszająca się w kierunku jest opisana równością: Pole elektryczne i jego drugie pochodne cząstkowe, występujące w równaniu falowym wyrażają się następująco: Zrównania falowego otrzymujemy: 9

Fala TEM Zastąpimy , przez wyrażenia zawierające , - fala poprzeczna 10

Impedancja falowa - równa jest impedancji właściwej ośrodka Impedancja falowa próżni Z 0 : Dla ośrodka materialnego: gdzie: w - stała magnetyczna względna, w - stała elektryczna względna W przypadku dielektryka w = 1 i impedancja wyraża się wzorem: 11

FALA w OŚRODKACH NIEOGRANICZONYCH Wektory zespolone Np: - amplituda zespolona Interpretację fizyczną mają tylko wektory rzeczywiste 12

Fala płaska w dielektryku stratnym Zakłada się, że dielektryk jest stacjonarny, liniowy, izotropowy, jednorodny, bez ładunków, ale teraz konduktywność . Zapis rzeczywisty prowadzi do komplikacji w równaniu falowym 13

Przy zapisie zespolonym, różniczkowanie po czasie jest równoważne mnożeniu przez j. Równanie Maxwella w postaci zespolonej przyjmują postać: Po podstawieniu: Otrzymujemy: 14

Odpowiednikami równań falowych są następujące wyrażenia zwane równaniami Helmholtza: - stała propagacji Z równań Maxwella otrzymujemy: jest w przypadku fali TEM równa impedancji właściwej ośrodka: Z = Zf 15

Ośrodki małostratne - tangens kąta stratności Przybliżone wyrażenia na impedancję i stałą propagacji wyprowadzono poniżej : 16

Quasi-przewodniki , tg >> 1 17

W quasi-przewodnikach pole elektromagnetyczne maleje bardzo szybko w miarę wnikania do dobrego przewodnika (quasiprzewodnika). Związane z polem elektrycznym prądy przewodzenia płyną praktycznie tylko przy powierzchni przewodnika. Nie wnika on w przewodnik głęboko. Efekt ten nazywa się zjawiskiem naskórkowym. Liczbowo efekt ten charakteryzuje tzw. głębokość wnikania w: Jest to odległość na której amplituda fali maleje e - krotnie 18

Fala w ośrodkach rzeczywistych Przy bardzo wysokich częstotliwościach opóźnienie polaryzacji nie jest już pomijalne w porównaniu z okresem drgań. Opóźnienie to powoduje, że wektory D i E nie są w fazie, stała staje się zespolona. Urojona część stałej jest związana ze stratami mocy. Powoduje ona przyrost zastępczej konduktywności i tangensa kąta stratności. 19

POLARYZACJA FALI Polaryzacja liniowa Polaryzacja fali jest liniowa, gdy końce wektorów i w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali zakreślają w funkcji czasu odcinek linii prostej. Dzieje się tak, gdy albo istnieje tylko jedna składowa pola (a druga jest równa zero) albo istnieją obie składowe, które są w fazie lub przeciwfazie. 20

Polaryzacja eliptyczna Polaryzacja fali jest eliptyczna, gdy końce wektorów i w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia się fali zakreślają w funkcji czasu elipsę. Osie elipsy pokrywają się z osiami układu współrzędnych (osiami Ox i Oy – jeśli fala rozchodzi się w kierunku osi Oz) gdy pola mają obie składowe, przesunięte względem siebie w fazie o . dla z = 0 Z polaryzacją eliptyczną mamy także do czynienia, gdy składowe x–owa oraz y–owa są przesunięte względem siebie o kąt nierówny Elipsa polaryzacji jest wówczas umieszczona ukośnie w układzie współrzędnych Oxy. . 21

Polaryzacja kołowa jest szczególnym przepadkiem polaryzacji eliptycznej. Oprócz przesunięcia w fazie o obu składowych pól wymagana jest teraz także równość obu składowych pola i 22

ZALEŻNOŚCI ENERGETYCZNE w POLU ELEKTROMAGNETYCZNYM Moc strat i energia magazynowana Objętościowa gęstość mocy strat: Obliczamy energię We zgromadzoną w małym kondensatorze (obszar V), a następnie gęstość objętościową tej energii we: Średnia w czasie gęstość energii: 23

Podobne wzory można wyprowadzić dla gęstości objętościowej energii magnetycznej. 24

Twierdzenie Poyntinga Po scałkowaniu obu stron na obszarze V i zastosowaniu twierdzenia Gaussa otrzymuje się: 25

Uwzględniając, że: oraz podstawiając: S - jest to wektor Poytinga Otrzymujemy twierdzenie Poytinga: oraz jego interpretację fizyczną w postaci: Twierdzenie Poyntinga jest bilansem energetycznym w obszarze V. Mówi ono, że suma strumienia wektora Poyntinga przez powierzchnię ograniczającą ten obszar plus moc tracona w obszarze plus pochodna czasowa energii elektromagnetycznej jest równa zeru. 26

Fala w plazmie Plazma jest gazem zjonizowanym, makroskopowo obojętnym (tyle samo ładunków dodatnich i ujemnych w danej objętości). Stopień zjonizowania charakteryzuje się przez podanie liczby elektronów - na 1 m 3. Zakłada się, że ośrodek jest bezstratny (zderzenia cząstek sprężyste). Parametrami ośrodka na początek rozważań są 0, = 0. Rozpatruje się drgania harmoniczne, zapis zespolony. Należy uwzględnić prąd unoszenia o gęstości: związany z ruchem elektronów. e 0 – ładunek elektronu m 0 – masa spoczynkowa elektronu 27

28

Równania Maxwella w plazmie gdzie: jest zastępczą stałą dielektryczna plazmy Parametry i Z obliczane są tak jak dla dielektryka : , Różnica w stosunku do dielektryka polega na tym, że teraz p zachowuje się różnie w różnych zakresach częstotliwości. 29

Wnioski: 1. Fale o < p są tłumione w plazmie. W przypadku padania fali o takiej z próżni na warstwę jonosfery ulegnie ona całkowitemu odbiciu. 2. Fale o > p rozchodzą się w plazmie. W przypadku padania fali ukośnie z próżni na jonosferę fala załamana odchyla się od normalnej (gdyż przechodzi do ośrodka rzadszego). Może też ulec całkowitemu odbiciu. 3. Fale o >> p rozchodzą się w plazmie tak jak w próżni, ponieważ p 0. Tylko takie fale (w praktyce - mikrofale) swobodnie przechodzą przez jonosferę i mogą być użyte w telekomunikacji satelitarnej. 30

Prędkość fazowa i grupowa Poniżej pokazano zmodulowaną w amplitudzie falę o wysokiej częstotliwości. Na rysunku prędkość fazowa vf jest związana z przesuwaniem się stałego punktu sinusoidy w. cz. , a prędkość grupowa vg – z przesuwaniem się stałego punktu na obwiedni. E, H W plazmie vf. vg = c 2 z W ośrodkach nie dyspersyjnych vf = vg c 31

32