RUTEO DE VEHCULOS IMPORTANCIA el costo de transportacin

RUTEO DE VEHÍCULOS • IMPORTANCIA: el costo de transportación constituye de 1 a 2 tercios del costo logístico total. 1

RUTEO DE VEHÍCULOS El tiempo que los bienes se encuentran en tránsito determina el número de envíos que un vehículo puede realizar en un período de tiempo y el costo de transportación total para todos los envíos

BENEFICIOS • Reducir el costo de transporte es de interés de la empresa (micro) y del país (macro) • Mejor utilización de recursos y de personal • Mejora el ambiente • Menor gasto energético • Reduce problemas de tránsito

OBJETIVO EL OBJETIVO EN EL PROBLEMA DE RUTEO DE VEHÍCULOS ES LA MINIMIZACIÓN DE TIEMPO, DINERO Y DISTANCIA DADOS CIERTOS PARÁMETROS RELEVANTES Minimizar la distancia recorrida en: • Entrega de órdenes semanales o diarias a clientes dispersos en una zona geográfica • Entregas a partir de un Centro de Distribución • Uso de un solo vehículo

RESTRICCIONES • CAPACIDAD DE LOS VEHÍCULOS • LÍMITE DEL TIEMPO TOTAL QUE UN VEHÍCULO OCUPA EN LA RUTA • ASIGNACIÓN DE UN CIERTO NÚMERO DE VEHÍCULOS A CIERTOS CLIENTES • VENTANAS DE TIEMPO

CLASIFICACIÓN DE PROBLEMAS • RUTEO DE UN ORIGEN A UN DESTINO • RUTEO DE MÚLTIPLES ORÍGENES Y DESTINOS • RUTEO CON VARIOS PUNTOS Y EL MISMO ORIGEN Y DESTINO (ROUNDTRIP) • RUTEO Y PROGRAMACIÓN

UN ORIGEN A UN DESTINO • PROBLEMA DEL CAMINO MÁS CORTO. • El camino mas corto de un origen a diferentes destinos • ALGORITMO: RUTA MÁS CORTA (DIJKSTRA’S) • EJEMPLO: DE PLANTA A AGENCIA(s)

EJEMPLO Un camión debe ser enviado de Guadalajara a Mérida. Se tienen diferentes trayectos posibles pasando por ciudades intermedias. El objetivo es minimizar la distancia recorrida. Se conoce: Las ciudades intermedias posibles • La distancia entre cada ciudad posible

ORIGEN Y DESTINOS MÚLTIPLES • PROBLEMA DE FLUJO EN REDES, DE TRANSPORTE, DE ASIGNACIÓN • ALGORITMOS: FLUJO EN REDES, PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA Y/O BINARIA. • EJEMPLO: ENTREGA DE PLANTAS A AGENCIAS

EJEMPLO • Una empresa tiene tres plantas desde las cuales debe abastecer del mismo producto a tres clientes. Se conoce la demanda de cada cliente y la oferta de cada planta. • Oferta: P 1=400 ton, P 2=700, P 3=500 • Demanda: C 1=600 ton, C 2=500, C 3=300 • Costo transportación: desde P 1=4, 7, 6; desde P 2=5, 5, 5; desde P 3=9, 5, 8 resp.

EJEMPLO • LOS COSTOS DE TRANSPORTACIÓN SON EN DÓLARES POR TONELADA • SOLUCIÓN: 400 TON DE P 1 A C 1 200 TON DE P 2 A C 2 300 TON DE P 2 A C 3 300 TON DE P 3 A C 2 COSTO=$6, 600

ROUND-TRIP • PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO • UN CAMINO HAMILTONIANO • PROBLEMA DIFÍCIL SI EL NÚMERO DE PUNTOS A TOCAR ES GRANDE • SE APLICAN HEURÍSTICAS: – encontrar un camino inicial con el método del vecino mas cercano – mejorar el camino eliminando cruces

EJEMPLO C 31 26 34 B 34 17 D 48 23 A 67 34 47 W SOLUCIÓN: W ---D----C----B----A

RUTEO Y PROGRAMACIÓN • RUTEO CON RESTRICCIONES – En cada parada hay un volumen a cargar y/o descargar – Múltiples vehículos con capacidades distintas – Tiempo total permitido limitado a horas laborables – Ventanas de tiempo para entrega en cada punto – Carga en una ruta solo después de descarga – Tiempo de descanso limitado en tiempo y horario

ALGUNOS PRINCIPIOS • Cargar vehículos con el volumen correspondiente a los sitios mas cercanos • Separar los sitios en cluster independientes y programar cada cluster por separado • Comenzar la ruta en el punto mas alejado del origen al cluster • Evitar cruces en la ruta • La ruta mas eficiente es la que realiza el vehículo de mayor carga

ALGUNOS PRINCIPIOS • La carga y la descarga debe mezclarse en lugar de dejar la carga para el final • Los puntos aislados de los cluster que requieren poco volumen deben alcanzarse con rutas alternativas en vehículos más pequeños • Evitar ventanas de tiempo muy restringidas

PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO • Sea G=[N, A, C] una red donde N es el conjunto de nodos, A son los arcos y C=(cij) es la matriz de costos (o distancia) de mover un vehículo desde el nodo i al nodo j. El problema del Agente Viajero consiste en encontrar un ciclo Hamiltoniano en la red, esto es, un ciclo que pasa por todos los nodos exactamente una vez.

PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO (PL entera) (INEFICIENTE PARA PROBLEMAS GRANDES) xij= { 1 si el circuito pasa por el arco (i, j) 0 en caso contrario n= número de nodos min cij xij s. a Cada ciudad j debe ser visitada una sola vez xij=1 para j=1, …, n i j Cada ciudad i debe dejarse una sola vez xij=1 para i=1, …, n j i No debe haber ciclos en ningún subconjunto S de ciudades que incluya la ciudad origen [. ] indica la cardinalidad del conjunto. xij [S]-1 i, j S

PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO • Las restricciones sobre no formación de ciclos son del orden de 2 n, pero pocas ( n) son activas en el óptimo lo que facilita un proceso iterativo. Ejemplo: para 2000 ciudades se ha encontrado el óptimo con esta formulación (varias horas de computadora) • Una forma alternativa: uj ui+1 -(1 -xij)n, j=2, . . , n; j i requiere del orden de n-1 restricciones. Pero es poco eficiente para problemas grandes. uj= el número secuencial de la ciudad j en el camino

Secuenciación de trabajos como PAV • El problema de secuenciar n trabajos en una máquina puede plantearse como un problema de agente viajero con n+1 ciudades; las ciudades i=1, …, n corresponden a los trabajos i y la ciudad 0 es el inicio del trayecto. La distancia entre las ciudades j y k es el tiempo de arranque para j, k 1. La distancia entre la ciudad 0 y k es el tiempo de preparación para el primer trabajo (k).

Secuenciación de trabajos como PAV • Minimizar el tiempo total de completar todos los trabajos (makespan) es equivalente a encontrar el mínimo ciclo en la red • Para estos problemas existen heurísticas llamadas reglas de despacho o de secuenciación, por ejemplo secuenciar primero el trabajo con menor tiempo de arranque. Esta regla es equivalente a la heurística del vecino más cercano

PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO • En la práctica puede ser importante obtener una buena solución en lugar del óptimo (una solución en pocos segundos o minutos en lugar de una mejor solución en horas) • Puede usarse Branch and Bound para resolver el problema. Se resuelve el problema relajado (sin la condición de que no haya ciclos) que es un problema de asignación.

PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO • Una solución factible para el problema puede ser una solución óptima para el problema de asignación pero que contenga subciclos. Un subciclo es un ciclo que no contenga todos los nodos de la red. En la red : 2 1 4 5 3 la solución x 15=x 21=x 34=x 43=x 52=1 tiene dos subciclos

PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO • Si es posible eliminar todas las soluciones factibles del problema de asignación que contengan subciclos y se resuelve este problema de asignación, se obtendrá la solución óptima del problema del agente viajero. No es fácil hacerlo. Se puede hacer con B and B ramificando de manera de eliminar los subciclos. Por ejemplo en el caso anterior ramificar con x 34=0 o c 34=M

PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO • Cuando no se puede encontrar la solución óptima en un tiempo razonable usamos una Heurística: • Una Heurística es un método que mejora la solución obtenida pero no encuentra necesariamente el óptimo. En problemas prácticos (por ej. secuenciación de operaciones en máquinas controladas por computadoras) las heurísticas pueden encontrar soluciones con un costo no mayor al 2% del costo del óptimo. • La eficiencia de una heurística se puede medir por: – desempeño garantizado – análisis probabilístico – análisis empírico

PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO • Desempeño garantizado: es una cota del peor de los casos que garantiza que tan lejos de la solución óptima podemos encontrarnos • Análisis probabilístico: se supone que la localización de las ciudades sigue una distribución de probabilidad conocida. Por ejemplo que las ciudades son v. a. uniformemente distribuídas en un cuadrado unitario; para cada heurística se calcula: Longitud esperada del camino encontrado por la heurística Longitud esperada del camino óptimo Cuanto más cerca de 1 esté el cociente mejor es la heurística • Análisis empírico: la solución obtenida por la heurística se compara con la solución óptima de un número de problemas con solución conocida

PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO Un proceso de solución típico para este problema sigue los siguientes pasos: (hay varios algoritmos para cada paso) • Crear un subciclo inicial – Convex Hull – Sweep (barrido) – Vecino más cercano • Insertar nodos restantes – El más barato – El más cercano – El más lejano • Mejorar el circuito – Algoritmos de intercambio: 2 -opt, 3 -opt, etc

PROBLEMA DEL AGENTE VIAJERO Las heurísticas pueden consistir en: • Construir un subciclo inicial y/o insertar puntos restantes si es necesario • Mejorar un ciclo existente • Una combinación de los dos anteriores. Procedimientos Compuestos

REGLAS MIOPES Y BUSQUEDA LOCAL Las heurísticas pueden también clasificarse en: • REGLAS MIOPES: la solución se construye de manera progresiva. En cada iteración se tiene una solución parcial y se extiende esta solución seleccionando una de las posibles opciones. Solo considera la mejor opción en el paso siguiente sin tomar en cuenta lo ocurrido antes. Ejemplo: la heurística del vecino más cercano • BUSQUEDA LOCAL: busca una mejor solución en un entorno de la solución actual. Ejemplo. 2 -opt, 3 -opt. Recocido Simulado (Simulated Annealing), Búsqueda Tabú (Tabu Search), Algoritmos Genéticos

Subciclo inicial: Convex Hull • La envoltura convexa (Convex Hull) es el convexo más pequeño que contiene a todos los puntos

ALGORITMO INCREMENTAL • Agrega puntos de uno en uno y actualiza la envolvente. • Si el nuevo punto está en el interior no hace nada, en caso contrario se eliminan todos los arcos que ese punto puede ver • Agregar dos arcos que conecten el nuevo punto con el resto de la envolvente • Repetir el proceso hasta que no queden puntos fuera

A

Gift Wrapping • Encontrar el punto A (con la menor coordenada en Y) como punto inicial • Encontrar el punto B tal que todos los puntos estén a la izquierda del arco AB (por escaneo de todos los puntos) • Encontrar C tal que todos los puntos estén a la izquierda del arco BC • Repetir el procedimiento

C B A

Reglas de Decisión Los algoritmos anteriores requieren determinar si un punto está a la izquierda de un arco o si un punto puede “ver” un arco. Las pruebas son iguales y se pueden implementar calculando el área de un triángulo. El área del triángulo Po. P 1 P 2 donde Po=(xo, yo), P 1=(x 1, y 1), P 2=(x 2, y 2) es xo x 1 x 2 Si el área es distinta de cero P 2 está a la izquierda de Po. P 1 (GW); si el área es 1/2 yo y 1 y 2 distinta de cero y Po. P 1 es un arco de la 1 1 1 envoltura P 2 puede ver a Po. P 1 Area positiva o negativa indica que nos movemos en el sentido contrario al reloj

VECINO MÁS CERCANO • Paso 1: Comenzar con cualquier nodo como nodo inicial • Paso 2: Encontrar el nodo no visitado más cercano al último nodo visitado y agregarlo al camino. • Paso 3: Repetir el Paso 2 hasta que todos los nodos de la red estén contenidos en el camino. Unir el primer nodo con el último visitado.

Desempeño Garantizado y Número de Iteraciones El método es de orden O(n 2), es decir el número de iteraciones requeridas no es mayor a n 2

MÉTODOS PARA INSERTAR PUNTOS LIBRES Un método de inserción toma un subciclo en la iteración k y determina cuál de los restantes n-k nodos debe ser insertado (paso de selección) en el circuito y entre que nodos (paso de inserción). • El más cercano • El más barato • El más alejado

EL MÁS CERCANO • Paso 1: comenzar con un subgrafo consistiendo solo del nodo i • Paso 2: encontrar el nodo r tal que cir es mínimo y formar el subciclo i-r-i. • Paso 3: (Selección) a partir de un subciclo, encontrar el nodo r que no está en el subciclo y que esté más cerca de cualquier nodo j del subciclo (min crj). • Paso 4: (Inserción) encontrar el arco (i, j) que minimiza cir+crj-cij. Insertar r entre i y j • Paso 5: Si todos los nodos han sido agregados parar, sino regresar al Paso 3.

Desempeño Garantizado y Número de Iteraciones Número de iteraciones no mayor a n 2.

EL MÁS BARATO • Paso 1: comenzar con una subgráfica que contiene solo el nodo i • Paso 2: encontrar el nodo r tal que cir es mínimo y formar el sub-ciclo i-r-i • Paso 3: encontrar el arco(i, j) en el sub-ciclo que no contenga a r tal que cir+crj-cij sea mínimo. Insertar el nodo r entre i y j • Tiene el mismo desempeño que el anterior y es del orden

EL MÁS LEJANO • Paso 1: comenzar con un subgrafo que contenga solo el nodo i • Paso 2: encontrar el nodo r tal que cir se máximo y formar el subciclo i-r-i. • Paso 3: (Selección) dado un subciclo, encontrar el nodo r que no esté en el subciclo y lo más alejado de cualquier nodo en el subciclo (max crj). • Paso 4: (Inserción) Encontrar el arco (i, j) en el subciclo que minimice cir+crj-cij. Insertar r entre i y j • Paso 5: si todos los nodos están en el ciclo parar, sino repetir el paso 3.

Desempeño Garantizado y Número de Iteraciones No más de n 2 iteraciones

Método de ahorros de Clark and Wrigth • Paso 1: seleccionar cualquier nodo como el nodo central y notarlo como nodo 1. • Paso 2: Calcular “ahorros” sij=c 1 i+c 1 j-cij para i, j=2, 3, . . , n • Paso 3: ordenar los ahorros del mayor al menor • Paso 4: comenzar por el primero de la lista y moverse hacia abajo formando subciclos más grandes ligando nodos i y j apropiados • Paso 5: repetir hasta que se tenga el ciclo.

Desempeño Garantizado y Número de Iteraciones • No se conoce “el peor de los casos”. Para una versión modificada donde se selecciona el mejor ahorro para el último nodo agregado, el desempeño es tal que la razón está acotada por una función lineal de log 2 (n). Es del orden O(n 2 log 2 (n))

Un ejemplo • La localización de los puntos es la siguiente: # X Y 1 0 0 USAR DISTANCIA 2 100 600 EUCLIDEANA 3 400 4 500 700 5 900 400 6 800 900