Ruimtemeetkunde Ruimtefiguren driedimensionale figuren Vlakke figuren tweedimensionale figuren

Ruimtemeetkunde

Ruimtefiguren driedimensionale figuren Vlakke figuren tweedimensionale figuren

Het tekenen van een voorwerp

Eigenschappen kubus: • een kubus heeft 3 groepen evenwijdige ribben • alle ribben van een kubus zijn even lang • alle zijvlakken van een kubus zijn vierkanten • alle zijvlaksdiagonalen zijn even lang • twee lichaamsdiagonalen snijden elkaar middendoor

Oefening 1 pagina 118 • Drie groepen evenwijdige ribben: eig. OK • Alle ribben even lang: eig. niet OK • Alle zijvlakken vierkanten: eig. niet OK • Alle zijvlaksdiagonalen even lang: eig. niet OK • Twee lichaamsdiagonalen snijden elkaar middendoor: eig. OK

• Overgang: 3 dimensies 2 dimensies • Gevolg: werkelijke vorm ruimtelijk voorwerp niet waarheidsgetrouw • Geg. En eig. niet meer terug te vinden op tekening • 2 tekentechnieken Tekenen van een voorwerp

Parallelprojectie Centrale of lijnprojectie Evenwijdige rechten door hoekpunten veelvlak Door hoekpunten veelvlak rechten door 1 punt (centrum of vluchtpunt) Snijpunten rechten met tekenblad: hoekpunten veelvlak

Parallelprojectie Centrale of lijnprojectie Voorbeeld: - schaduw van een voorwerp die ontstaat doordat de zon - schaduw van een voorwerp die ontstaat door een lamp zonnestralen evenwijdige rechten die vertrekken vanuit oneindig lichtstralen die schaduw veroorzaken verteken vanuit vluchtpunt (lamp) - foto’s: centrum projectie =middelpunt lens

Centrale of lijnprojectie: evenwijdigheid niet bewaard

• Evenwijdige rechten in de ruimte blijven evenwijdig op de tekening Eigenschappen parallelprojectie

• Evenwijdige lijnstukken van de ruimtefiguur met eenzelfde lengte zijn op de tekening even lang. Per richting: verkortingsfactor Eigenschappen parallelprojectie

• Als een punt een lijnstuk verdeelt volgens een bepaalde verhouding, dan blijft die verhouding gelden op de tekening. Eigenschappen parallelprojectie

• Verticale ribben van een lichaam worden verticaal getekend • Onzichtbare ribben in stippellijn • één zijvlak + alle hiermee evenwijdige zijvlakken in ware grootte getekend. • voor- en achtvlak van een balk zijn in ware grootte getekend. Afspraken parallelprojectie

Oefening 2 pagina 121 1) In figuur 1: het bovenvlak EFGH In figuur 2: het voorvlak ABFE In figuur 3: het voorvlak ABFE

Oefening 2 pagina 121 2) In figuur 1: ribbe [AE] met verkortingsfactor 0, 5 In figuur 2: ribbe [BC] met verkortingsfactor 1, 25 In figuur 3: ribbe [BC] met verkortingsfactor 0, 5

Oefening 2 pagina 121 3) Figuur 2 is het minst geschikt. Aangezien de verkortingsfactor groter is dan 1, 25 lijkt dit meer op een balk dan op een kubus.

Een vlak bepalen { Onderlinge liggen van rechten en vlakken

Bouwstenen ruimtelijke voorwerpen: - punten: hoofdletter (punt A) - rechten: kleine letter (rechte a) - vlakken: Griekse letter (vlak α) a Grondbegrippen α

- Punten die tot eenzelfde rechte behoren: collineair - Rechten die door eenzelfde punt gaan: concurrent - Punten die tot eenzelfde vlak behoren: coplanair Grondbegrippen

Oefening 3 pagina 122 d en e, b en h, c, g en i behoren tot eenzelfde vlak.

Oefening 4 pagina 122 1 a) Het voorvlak en het linkerzijvlak gaan door A en E. 1 b) Oneindig veel vlakken gaan door A en E 2 a) Het voorvlak gaat door A, E en F. 2 b) Geen enkel ander vlak gaat door A, E en F

Oefening 4 pagina 122 3 a) Het voorvlak en het grondvlak gaat door A, B en M. 3 b) Oneindig veel vlakken gaan door A, B en M. 4 a) De punten A, B, C en D liggen in eenzelfde vlak. 4 b) De punten A, B, C en G liggen in niet in eenzelfde vlak

• oneindig uitgestrekt • voorstelling: parallellogram+ Griekse letter • zijvlakken van een lichaam ook oneindig uitgestrekt Een vlak bepalen

Voorbeeld: Een kubusvormig kaasblokje wordt doorprikt volgens PQ. Om te weten waar PQ het grondvlak van het blokje snijdt, moeten we dit grondvlak buiten de kubus doortrekken. We vinden zo het snijpunt Een vlak bepalen

• Als twee verschillende punten van een rechte tot een vlak behoren, dan behoren alle punten van die rechte tot dat vlak. Eigenschappen: een vlak bepalen

• Door drie niet-collineaire punten gaat juist één vlak. Eigenschappen: een vlak bepalen

• tafel met drie poten altijd stabiel: drie (nietcollineaire) steunpunten steeds coplanair • tafel met 4 poten kan wiebelen op vlakke vloer: 4 steunpunten niet altijd in eenzelfde vlak Toepassing

• een rechte en een punt buiten de rechte bepalen een vlak vl(B, C, E), vl(B, E, H), vl(EH, B), vl(C, HB) Gevolgen

• In elk vlak van de ruimte gelden de eigenschappen van de vlakke meetkunde. Voorbeeld: Ruimtekunde en vlakke meetkunde

Oefening 5 pagina 124

Oefening 6 pagina 125

Onderlinge ligging van twee rechten { Onderlinge liggen van rechten en vlakken

Oefening 7 pagina 125 1) a. DC, EF en HG b. AD, BC en AC c. EH, DF en HD 2) Het rechtenpaar ( AB, FG) ligt niet in één vlak.

Oefening 8 pagina 126 1) a. AE en CG liggen in het diagonaalvlak ACGE. vl(A, C, G, E) b. Ja, door de drie niet-collineaire punten A, C en G gaat juist één vlak. E ligt in dit unieke vlak

Oefening 8 pagina 126 2) a. BG en CF liggen in het rechterzijvlak BCGF. vl(B, C, G, F) b. Ja, door de drie niet-collineaire punten B, C en G gaat juist één vlak. F ligt in dit unieke vlak.

Oefening 9 pagina 126 a snijdt b en b snijdt c 1) a snijdt c 2) a // c 3) a is evenwijdig noch snijdend met c

Oefening 9 pagina 126 a // met b en b // c a // c (a, b en c op ribben)

• Snijdende rechten hebben juist één punt gemeenschappelijk, het snijpunt van de rechten. Onderlinge ligging van twee rechten

• Evenwijdige rechten liggen in hetzelfde vlak en hebben geen enkel punt gemeenschappelijk of zijn samenvallend. Niet-samenvallende evenwijdige rechten: strikt evenwijdige rechten Onderlinge ligging van twee rechten

• Kruisende rechten zijn evenwijdig nog snijdend Onderlinge ligging van twee rechten

Voorbeeld 1: DF en HM zijn snijdend Verklaring: - DF en HM liggen in het diagonaalvlak DBFH coplanair - DF en HM (in parallelperspectief) niet evenwijdig getekend dus snijdend Toepassing

Voorbeeld 2: EC en BD zijn kruisend Verklaren: - Slechts één vlak dat nietcollineaire punten C, B en D bevat het grondvlak ABCD. - E behoort niet tot dit vlak E, C, B en D niet-coplanair dus EC en BD kruisend.

• Drie niet-collineaire punten • Een rechte en een punt buiten die rechte Vlak bepaald door

• Twee snijdende rechten • Twee strikt evenwijdige rechten Vlak bepaald door

• Als twee rechten evenwijdig zijn met eenzelfde derde rechte, dan zijn ze onderling evenwijdig: a//b en b//c a//c Eigenschap

T. B. : AC en PQ in de kubus zijn evenwijdig Toepassing

Oefening 10 pagina 129 AB en CD AC en BD AD en BC zijn alle paren kruisende rechten.

Oefening 11 pagina 129

Oefening 11 pagina 129

Oefening 11 pagina 129

Oefening 11 pagina 129

Oefening 11 pagina 129

Oefening 11 pagina 129

Oefening 12 pagina 129 1) HG en PQ zijn snijdende rechten met snijpunt P en bepalen dus vl (HG, PQ). 2)

Oefening 12 pagina 129 3) Door PQ gaat er nog een tweede vlak, namelijk vl (AE, PQ)

Onderlinge ligging van twee vlakken {

Opdracht 13 bladzijde 130 1) - Het voorvlak ABFE en het achtervlak DCGH. - het linkerzijvlak ADHE en het rechterzijvlak BCGF. - het grondvlak ABCD en het bovenvlak EFGH zijn evenwijdig. 2) -Het linkerzijvlak ADHE heeft met het grondvlak ABCD de rechte AD gemeen. - Het rechterzijvlak BCGF heeft met het grondvlak ABCD de rechte BC gemeen. - Het achtervlak DCGH heeft met het grondvlak ABCD de rechte DC gemeen. 3) Neen 4) Alle punten van de rechte HF zijn gemeenschappelijke punten

Opdracht 14 bladzijde 130

Evenwijdige vlakken hebben geen enkel punt gemeenschappelijk of vallen samen Voorbeeld: Het linkerzijvlak ADHE en het rechter zijvlak BCGF van de kubus zijn evenwijdig We noteren: vl(AD, EH) // vl(BC, FG) Opmerking: we noemen nietsamenvallende evenwijdige vlakken soms ook strikt evenwijdige vlakken.

Snijdende vlakken hebben een rechte gemeenschappelijk, de snijlijn van deze vlakken. Voorbeeld Het bovenvlak EFGH en het diagonaalvlak DCFE van de kubus zijn snijdende vlakken, met snijlijn EF

Eigenschappen: Twee vakken zijn evenwijdig als twee snijdende rechten van het ene vlak evenwijdig is met twee snijdende rechten van het andere vlak a en b zijn snijdende rechten in α c en d zijn snijdende rechten in β a//c en b//d α//β voorbeeld: Om aan te tonen dat vl( A, C, F) en vl (D, E, G) evenwijdig zijn, bepalen we een paar snijdende rechten van het eerst vlak die evenwijdig zijn met een paar snijdende rechten van het tweede vlak. Uit AC//EG en AF// DG volgt vl( A, C, F)// vl (D, E, G)

Als twee verschillende vlakken een punt gemeen hebben, dan hebben ze een snijlijn door dat punt gemeen Voorbeeld: Vl(D, B, F) en vl(B, G, E) hebben het punt B gemeen en zijn dus snijdend. Om de snijlijn te bepalen, volstaat het een tweede gemeenschappelijk punt te vinden. In het bovenvlak vinden we het snijpunt M van HF in vl(D, B, F) en EG in vl(B, G, E). vl(D, B, F) en vl(B, G, E) zijn dus snijdende vlakken met snijlijn MB

De snijlijn van twee evenwijdige vlakken met een derde vlak zijn evenwijdig. α//β en γ snijdt α volgens a en β volgens b a//b voorbeeld: de snijlijn van vl(P, Q, R) en enkele zijvlakken van de balk zijn getekend. vl(AB, DC) // vl(EF, HG) QR//PS vl(AB, EF) // vl(DC, HG) PQ//SR

Opdracht 15 bladzijde 133

Opdracht 16 bladzijde 134 1) De zijden [QR] en [PH] zijn evenwijdig, want de vlakken ADHE en BCGF zijn evenwijdig. ADHE snijdt α volgens PH en BCGF snijdt α volgens QR 2) β = vl T, U, V ( ) met U op DC en UT // PQ en V op BC en VT // QR.

ONDERLINGE LIGGING VAN EEN RECHTE EN EEN VLAK {

Opdracht 17 bladzijde 134 1) De rechten EF, EG, EH, FG, FH en HG hebben met het grondvlak ABCD geen enkel punt gemeen. 2) De rechten BF, EB, GB en HB hebben met het grondvlak ABCD enkel het punt B gemeen. 3) De rechten AB, BC, CD, DA, AC en DB hebben met het grondvlak ABCD meer dan één punt gemeen. Deze rechten liggen in het grondvlak ABCD.

Opdracht 18 bladzijde 134 1)DF en EC liggen in het diagonaalvlak DCFE, dus zijn ze coplanair. Bovendien zijn DF en EC niet evenwijdig getekend, dus zijn ze niet evenwijdig. Bijgevolg zijn DF en EC snijdend. 2)DF en EC liggen in het diagonaalvlak DCFE, dus zijn ze coplanair. Bovendien zijn DF en EC niet evenwijdig getekend, dus zijn ze niet evenwijdig. Bijgevolg zijn DF en EC snijdend.

Een rechte en een vlak die geen enkel punt gemeen hebben, zijn evenwijdig Voorbeeld: In de kubus is de rechte AH evenwijdige met vl(B, C, G). We noteren: AH// vl(B, C, G).

Een rechte en een vlak die juist één punt gemeen hebben, zijn snijdend Het gemeenschappelijk punt noemen we het snijpunt van de rechte en het vlak. Voorbeeld: De rechte HB snijdt vl(B, C, G) in B

Als alle punten van de rechte in een vlak liggen, dan ligt die rechte in dat vlak. We zeggen ook dat het vlak de rechte omvat Voorbeeld: De rechte BG ligt in het vlak (B, C, G) Opmerking: een rechte in een vlak noemen we ook evenwijdig met dat vlak. Een rechte en een vlak die een punt gemeen hebben, noemen we soms strikt evenwijdig.

Eigenschappen: Een rechte die twee punten verbindt dit aan weerszijden van een vlak liggen, snijdt dat vlak Voorbeeld: DF snijdt vl(B, E, G) omdat D en F aan weerszijden van vl(B, E, G) liggen.

Een rechte is evenwijdig met een vlak als ze evenwijdig is met een rechte van dat vlak. l//a en a in α l//α voorbeeld: om aan te tonen dat de rechte EG evenwijdig is met vl(A, C, F), bepalen we een rechte van dit vlak waarmee EG evenwijdig is. Uit EG//AC met AC in vl(A, C, F), volgt dat EG//vl(A, C, F)