Rozpoznvanie obrazcov k r 2019 20 Pravdepodobnos Doc

Rozpoznávanie obrazcov šk. r. 2019 -20 Pravdepodobnosť Doc. RNDr. Milan Ftáčnik, CSc.

Odbočka do matematiky Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 2

Pravdepodobnosť �Abstraktný matematický model neurčitosti �Modeluje deje, v ktorých hrá úlohu náhodnosť �Dedukcia: usudzovanie zo všeobecného na konkrétne �Populáciu poznáme – čo môžeme povedať o konkrétnej vzorke (výbere)? Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 3

Štatistika �Zber, organizácia a analýza dát �Zovšeobecňuje z konečných vzoriek �Odhad parametrov, testovanie hypotéz �Indukcia: usudzovanie z konkrétneho na všeobecné �Vzorku poznáme - čo môžeme povedať o populácii? �Tak fungujú experimentálne vedy Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 4

Pravdepodobnosť vs. štatistika �Ktorú otázku si kladie pravdepodobnosť a ktorú štatistika? �Ak sme už kúpili niekoľko rovnakých výrobkov a niektoré sa pokazili, čo vieme povedať o tomto type výrobku vo všeobecnosti? �Ak poznáme kazivosť daného typu výrobku, čo vieme povedať o konkrétnom výrobku, ktorý si kupujeme? Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 5

História pravdepodobnosti �Hľadanie úspechu v hazardných hrách �Hra: Hod férovou kockou �Ak padne 2, 3 alebo 4, vyhráte 1 Euro �Ak padne 5, vyhráte 2 Eurá �Ak padne 1 alebo 6, prehráte 3 Eurá �Kto by hral takúto hru? Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 6

Definícia pravdepodobnosti � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 7

Definícia pravdepodobnosti II � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 8

Definícia pravdepodobnosti III � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 9

Ukážka Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 10

Javy �Diskrétne: (napr. hod kockou alebo mincou, počet detí v rodine, . . . ) �Spojité: (napr. rozmer výrobku, výška hráčov, . . . ) �Kvantitatívne: (vyjadrujúce množstvo: 17, 42, 11) �Kvalitatívne: (vyjadrujúce kvalitu – červený, Škoda, Slovensko) Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 11

Príklady � 1. Tri hody mincou – výberový priestor Ω = {HHH, HHO, HOH, HOO, OHH, OHO, OOH, OOO}, javy sú A – aspoň 2 x hlava, B – práve 2 x orol � 2. Jeden hod kockou – výberový priestor Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, javy sú A – párne čísla, B – čísla menšie ako 5 Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 12

Operácie � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 13

Rozklad � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 14

Príklad � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 15

Vlastnosti � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 16

Príklad �Aká je pravdepodobnosť, že pri hode mincou padne hlava 2 x za sebou? �P(H) = 0, 5 Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 17

Príklad � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 18

Podmienená pravdepodobnosť � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 19

Príklad �V krabici sa nachádza 10 červených a 5 modrých ponožiek. Ak náhodne vytiahneme dve ponožky, aká je pravdepodobnosť, že ako druhú sme vytiahli modrú? �Nejde o nezávislé javy �A = jav, kedy ako prvá bola červená �B = jav, kedy ako prvá bola modrá �C = ako druhá vytiahnutá bola modrá ponožka Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 20

Príklad II � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 21

Veta o úplnej pravdepodobnosti � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 22

Veta o úplnej pravdepodobnosti II � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 23

Veta o úplnej pravdepodobnosti II Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 24

Bayesov vzorec � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 25

Príklad �Na konci linky je tester, ktorá s pravdepodobnosťou 0, 999 vyradí chybný výrobok. �S pravdepodobnosťou 0, 01 vyradí aj kvalitný výrobok. �Kazivosť výrobku je 0, 1 (jeden z desiatich je chybný). �Aká je pravdepodobnosť, že vyradený výrobok je naozaj chybný? Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 26

Príklad - riešenie � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 27

Náhodná premenná �Pojmom náhodná premenná (veličina) označujeme funkciu, ktorej hodnota je určená výsledkom náhodného pokusu. �Priraďuje číselnú hodnotu každému elementárnemu javu �Hodnota funkcie sa nedá pred pokusom určiť, ale dokážeme ju popísať rozdelením pravdepodobnosti. Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 28

Distribučná funkcia � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 29

Distribučná funkcia II � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 30

Vzťahy medzi P a DF � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 31

Vzťahy medzi P a DF II Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 32

Vzťahy medzi P a DF III � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 33

Vzťahy medzi P a DF IV Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 34

Diskrétny príklad � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 35

Diskrétny príklad II Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 36

Spojitý prípad �Nech X je spojitá náhodná premenná definovaná hustotou pravdepodobnosti Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 37

Rozdelenia pravdepodobnosti �Diskrétne: Alternatívne, Binomické, Hypergeometrické, Geometrické, Negatívne binomické (Pascalove), Poissonove �Spojité: Rovnomerné, Exponenciálne. Weibullove, Gama-Erlangove, Triangulárne. Simpsonove, Cauchyho, Beta, Raleighove, Normálne, Normované normálne, Logaritmicko-normálne Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 38

Rozdelenia pravdepodobnosti II � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 39

Binomické rozdelenie �Bernoulliho pokusy – postupnosť nezávislých pokusov, kde pravdepodobnosť úspechu je p �n – celkový počet pokusov �p – pravdepodobnosť úspechu Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 40

Binomické rozdelenie - použitie �Pravdepodobnosť, že nastane k úspešných pokusov z n pokusov �Počet chlapcov medzi 10. 000 novorodencami �Počet chybných výrobkov medzi 30 testovanými �Počet nevyrastených rastlín zo 100 zasadených cibuliek Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 41

Iné diskrétne rozdelenia �Alternatívne – binomické pre n = 1 �Hypergeometrické – modeluje závislé pokusy �Geometrické – počet Bernoulliho pokusov do prvého úspechu (niekedy vrátane) �Pascalove – počet Bernoulliho pokusov do kteho úspechu (niekedy vrátane) �Poissonove – počet náhodných udalostí v nejakom pevnom časovom intervale 42 Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20

Iné rozdelenia – použitie �Hypergeometrické = Toto rozdelenie slúži aj ako pravdepodobnostný model niektorých hazardných hier. Spočítajme pravdepodobnosť s akou bude študent pri skúške vedieť práve jednu z troch náhodne vybraných otázok, ak sa naučil iba päť otázok z dvadsiatich. �Geometrické = počet volaní nutných k tomu, aby sme sa dovolali do televíznej súťaže Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 43

Iné rozdelenia – použitie II �Pascalove = počtu cestujúcich, ktorých musí revízor skontrolovať do chvíle, než nájde 10 čiernych pasažierov �Poissonove = počet pacientov ošetrených počas dopoludňajších ordinačných hodín (nahrádza binomické pre veľké n a malé p). Aproximuje málo pravdepodobné udalosti pri veľkom počte nezávislých opakovaní Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 44

� Spojité: Normálne rozdelenie Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 45

Odbočka: Gaussova krivka � Základy počítačovej grafiky a spracovanie obrazu 2019/2020 46

Odbočka: Gaussova funkcia � Základy počítačovej grafiky a spracovanie obrazu 2019/2020 47

Odbočka: Gaussova funkcia II � Základy počítačovej grafiky a spracovanie obrazu 2019/2020 48

Odbočka: Gaussova funkcia III � Základy počítačovej grafiky a spracovanie obrazu 2019/2020 49

Odbočka: Gaussova funkcia IV � Základy počítačovej grafiky a spracovanie obrazu 2019/2020 50

(68, 26%, 95, 45%, 99, 73%) Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 51

Rovnomerné rozdelenie �R(a; b) interval (a, b) Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 52

Iné spojité rozdelenia �Exponenciálne – pravdepodobnosť dĺžky časového intervalu medzi dvoma udalosťami v Poissonovom procese �Erlangove – čas do výskytu k-tej udalosti v Poissonovom procese �Logaritmicko-normálne – pre jednostranne ohraničené údaje, ktorých prirodzený logaritmus má normálne rozdelenie Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 53

Špeciálne rozdelenia � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 54

Špeciálne rozdelenia II � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 55

Číselné charakteristiky náhodnej premennej �Charakterizujú vlastnosti náhodnej premennej a umožňujú porovnávať premenné: �Momenty �Kvantily �. . . Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 56

Momenty � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 57

Šikmosť a špicatosť � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 58

Kvantily � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 59

Kvartil, decil, percentil � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 60

Viacrozmerný prípad � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 61

Viacrozmerný prípad II � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 62

Charakteristiky � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 63

Momenty používané v 2 D CV � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 64

Kovariancia � Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 65

Kovariancia II �To bola kovariancia pre dva rozmery, pre N vypočítame kovariančnú maticu �Pri kovariancii nejde o absolútnu hodnotu, ale o znamienko, ak je kladné obe premenné rastú súčasne, ak záporné, tak ak 1. rastie, 2. klesá Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 66

Normálne rozdelenie Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 67

Normálne rozdelenie II Rozpoznávanie obrazcov 2019 -20 68