Roteiro e figuras do curso Caos em Sistemas

Roteiro e figuras do curso Caos em Sistemas Hamiltonianos Raúl O. Vallejos

Plano do Curso

Introdução Sistemas Dinâmicos Os sistemas hamiltonianos pertencem à classe mais ampla dos Sistemas Dinâmicos. Um sistema dinâmico é definido por duas condicões: a) o estado do sistema em um dado instante está completamente determinado pelos valores de N variáveis b) a evolução do sistema está governada por um conjunto de N equações diferenciais ordinárias de primeira ordem: ou Exemplo: o sistema de Lorentz Figura extraída de: http: //www. curvuspro. ch/english/curvuspro/gallery/3 dgallery. html Veja animação em: http: //www. exploratorium. edu/complexity/java/lorenz. html

Espaço de fases O espaço de N dimensões com os como coordenadas é chamado “espaço de fases”. O estado do sistema é representado por um ponto neste espaço. O ponto representativo X se movimenta com velocidade F, descrevendo uma curva chamada trajetória ou órbita, tangente em cada ponto ao campo de velocidades F. Integrais do movimento Uma integral de um sistema dinâmico é uma funçao cujo valor é constante ao longo de uma trajetória qualquer. Isto é: As integrais (ou constantes) de movimento permitem reduzir a ordem de um sistema dinâmico.

Seções e mapas de Poincaré Se o nosso interesse for entender o comportamento assintótico de uma trajetória, no será necessário seguir sua evolução com grande detalhe. Bastará olharmos para ela em certos instantes de tempo. Por exemplo, podemos registrar apenas as interseções da trajetória com uma superfície de referência. No caso de um espaço de fases tridimensional: Temos assim um mapa Poincaré: , chamado mapa de As propriedades essenciais do sistema de equações diferencias se verão refletidas nas propriedades do mapa G. Por exemplo, uma trajetória periódica do sistema diferencial se corresponde com um conjunto de pontos periódicos de G; se a trajetória for instável, os pontos periódicos também o serão.

Pontos fixos Um ponto fixo é um ponto que satisfaz a equação Os pontos pixos jogam um papel muito importante porque forçam uma estrutura definida de órbitas na sua vizinhança. Vejamos: se , então onde M é a matriz jacobiana de G: A dinâmica em torno de é determinada pelos autovalores e autovetores de M. Ciclos, Variedades invariantes Um ciclo é uma seqüência de pontos tais que Com outras palavras, um ciclo é uma trajetória periódica. A variedade estável de um ponto fixo é o conjunto de pontos tais que a trajetória que passa por tende a quando. A variedade instável tem uma definição análoga: é o conjunto de pontos que tendem ao ponto fixo quando. Variedades estáveis e instáveis são às vezes chamadas separatrizes.

Sistemas hamiltonianos Un sistema hamiltoniano é caracterizado, em primeiro lugar, por um número par de dimensões: N=2 n. O número n é o número de graus de liberdade. As 2 n variáveis são chamadas tradicionalmente: O sistema é definido completamente por uma função das 2 n variáveis, chamada “hamiltoniano”: As equações de evolução são Os mapas de Poincaré hamiltonianos possuem a propriedade simplética. Órbitas periódicas, estabilidade Exemplo: dinâmica linear em torno de um ponto fixo de um mapa de Poincaré de um sistema com 2 graus de liberdade. Três casos: um par de autovalores complexos conjugados e de módulo unitário (ponto fixo elíptico), dois autovalores reais e positivos (ponto fixo hiperbólico), reais e negativos (hiperbólico com reflexão). As retas representam os autovetores.

Sistemas Integráveis Podemos tentar simplificar um sistema hamiltoniano fazendo uma mudança de variáveis apropriada. Se as novas coordenadas são tais que as equações de movimento podem ser derivadas de um novo hamiltoniano a transformação de coordenadas é chamada canônica. O caso ideal é quando o novo H não depende das Nestas condições as equações de movimento ficam Assim obtemos a solução geral em forma explícita. As “ações” P são constantes do movimento. Um sistema hamiltoniano pode ser resolvido completamente se conhecemos n=N/2 integrais. Exemplo

Toros e trajetórias Para um sistema recorrente as coordenadas Q devem ser cíclicas, i. e. , representam ângulos. No caso de um sistema com n graus de liberdade, as trajetórias ficam restritas a toros n-dimensionais. Elas são periódicas ou, quase-periódicas. Quando não existem relações de comensurabilidade as trajetórias preenchem densamente os toros respectivos. Secão de Poincaré, números de rotação O espaço de fases de um sistema hamiltoniano integrável está organizado em toros n-dimensionais. Quando cortarmos o espaço de fases com uma seção de Poincaré veremos que as trajetórias (agora discretas) ficam em toros de dimensão n-1. Cada um destes toros é caracterizado por um conjunto de números de rotação.

Um grau de liberdade Este caso é sempre integrável. Dois graus de liberdade Em geral as equações de movimento não podem ser resolvidas em forma explícita; só existe uma constante de movimento: o próprio hamiltoniano. E=0. 0833 Exemplo 1: Potencial triangular E=0. 125 A figura mostra três seções de Poincaré, definidas pelas condições E=constante e x=0. Para a energia mais baixa o espaço de fases parece estar organizado em toros. Conforme aumentamos a energia, os toros vão sendo destruídos e substituidos por regiones caóticas. E=0. 16667

Exemplo 2: o mapa quadrático Trajetórias do mapa quadrático. Organização hierárquica das ilhas Detalhe da figura anterior

O teorema KAM Consideremos um mapa bidimensional associado a um sistema integrável. Por cada ponto do espaço de fases passa uma curva invariante. O que acontece com as curvas invariantes quando perturbamos (fracamente) o sistema? O teorema KAM afirma as curvas “suficientemente irracionais” sobrevivem. O teorema de Poincaré-Birkhoff E que acontece nas regiões do espaço de fases onde os toros são destruídos? Os toros racionais são substituídos por cadeias de pontos fixos, alternativamente elípticos e hiperbólicos. Em torno dos pontos fixos elípticos podemos aplicar de novo o teorema KAM e o teorema de Poincaré-Birkhoff. Isto nos leva a uma estrutura autosimilar em todas as escalas (ou fractal).

Regiões caóticas, interseções homoclínicas, ferraduras Variedades estável (vermelho) e instável (amarelo) do ponto fixo hiperbólico (azul) do mapa quadrático de Hénon.

Caos e Fractais Conjunto de Cantor dos terços. http: //personal. bgsu. edu/~carother/cantor/Cantor 2. html Um conjunto de Mandelbrot. http: //www. curvuspro. ch/english/curvuspro/ gallery/2 dgallery. html O mapa da ferradura de Smale. O mecanismo de esticamento e dobra gera chaos no tempo e estruturas fractais no espaco de fases. http: //zebu. uoregon. edu/~js/21 st_century_science/readings/Parker_Chap 5. html

Quantificando o caos Expoentes de Lyapunov, sensibilidade às condições iniciais, entropias Caos, entropia e a segunda lei da Termodinâmica A entropia permanece constante. A entropia aumenta A evolução hamiltoniana tranforma uma região simples num fractal. A entropia aumenta quando “suavizamos” o fractal. http: //necsi. org/faculty/baranger. html (M. Baranger, “Chaos, complexity and entropy”)

Controle do caos Seqüência de manobras que levaram o ISEE-3/ICE, primeiro até o ponto L 1/Terra-Sol, e mais tarde até os locais de observação dos cometas Giacobini-Zinner e Halley. (http: //guinan. gsfc. nasa. gov/Images/misc_missions/isee 3_traj. gif)