ROTASI C Pengertian Rotasi dan persamaan Transformasi Rotasi

ROTASI • C. Pengertian Rotasi dan persamaan Transformasi Rotasi pada Bidang. • Pengertian Rotasi • Putaran / rotasi adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan cara memutar. • Pengertian persamaan Transformasi Rotasi / perputaran : Misalkan titik P(x, y) terletak pada bidang Cartesius. Titik P(x, y) dirotasikan sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’, y’). Persamaan yang menghubungkan x’ dengan x dan y’ dengan y dinamakan sebagai persamaan transformasi rotasi pada bidang. Persamaan transformasi ini juga ditentukan oleh besar sudut dan titik pusat rotasinya. • Ada 3 hal yang perlu diperhatika dalam rotasi yaitu : 1. Pusat titik putar 2. Besar sudut putaran 3. Arah putaran.

1. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0, 0) Perhatikan gambar berikut ! Y P’(x’, y’) C r D 0 r β B P(x, y) A x Di dalam segitiga OAP diperoleh : OA=OP cos β → x=r cos β dan AP=OP sin β → y=r sin β Di dalam segitiga OBP’ diperoleh : OB=OP’ cos (β+ θ ) X’=r cos β cos θ - r sin β sin θ X’=x cos θ - y sin θ BP’ = OP’ sin (β+ θ ) Y’=r sin β cos θ + r cos β sin θ Y’=y cos θ + x sin θ

Jadi dari keterangan diatas dapat disimpulkan bahwa: Misalkan titik P(x, y) diputar sejauh θ dengan titik pusat rotasi di O(0, 0) sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’, y’). Dengan hubungan sbb: X’ = x cos θ - y sin θ Y’ = x sin θ + y cos θ Jadi dapat dituliskan sbb: P(x, y) P’(x’, y’) dimana : X’=x cos θ -ysin θ Y’=x sin θ + y cos θ Secara matriks dapat dituliskan sbb :

1. A. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0, 0) dan θ=(+90 o). Jika suatu titik P(x, y) dirotasikan dengan titik pusat O(0, 0) dan sudut θ= (+90 o) maka diperoleh bayangan sbb :

Contoh 1. 1. a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5, -3) yang diputar sebesaar +90 o dengan titik pusat O(0, 0)? Y Jawab : 7 6 5 4 3 2 1 P’ (3, 5) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 P(5, -3) X

Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jadi bayangan dari titik P(5, -3) yang dirotasikan sejauh (+90 o) dengan titik pusat O(0, 0) adalah P’(3, 5)

1. 1. b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2 x – y = 10 oleh rotasi berpusat di O(0, 0) dengan sudut rotasi 90 o ? Jawab : Dengan mensubstitusikan x = y’ dan y = -x’ ke persamaan 2 x – y = 10 diperoleh sbb: 2 y’ – (-x’) = 10 X’ + 2 Y’ = 10. Jadi persamaan bayangan kurva 2 x – y =10 oleh rotasi berpusat di O(0, 0) dengan sudut rotasi 90 o adalah x+2 y=10

Secara geometrik dapat dilukiskan Y sebagai berikut : G : 2 x-y=10 G’ : x+2 y=10 7 6 B’(0, 5) 5 4 A’(2, 4) 3 2 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B(5, 0) -2 A(4, -2) -3 -4 -5 -6 X

Tugas 1. Tentukanlah bayangan dari titik A( 5, 10) yang diputar sebesar 90 derajat berlawanan arah dengan arah jarum jam dengan titik pusat putaran di O(0, 0) 2. Tentukanlah bayangan dari garis y = 4 x – 5 yang diputar sebesar 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam dengan pusat putaran di titik O (0, 0) ? 3. Tentukanlah bayangan dari garis x 2 + y 2 – 2 x + 4 y = 25 yang diputar sebesar 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam dengan pusat putaran di titik O (0, 0) ?

1. B. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0, 0) dan θ= -90 o Jika suatu titik P(x, y) dirotasikan dengan titik pusat O(0, 0) dan sudut rotasi sebesar θ= (-90 o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

Contoh 1. 2. a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3, 5) yang diputar sebesaar (-90 o) dengan titik pusat O(0, 0)? • Jawab : Y 7 6 5 4 3 2 1 P(3, 5) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 P’ (5, -3) X

Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jadi bayangan dari titik P(3, 5) yang dirotasikan sejauh (-90 o) dengan titik pusat O(0, 0) adalah P’(5, -3)

1. 2. b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2 x – y = 10 oleh rotasi berpusat di O(0, 0) dengan sudut rotasi 90 o ? • Jawab : Dengan mensubstitusikan x = y’ dan y = -x’ ke persamaan 2 x – y = 10 diperoleh sbb: 2 (-y’) – x’ = 10 -X’ - 2 Y’ = 10. Jadi persamaan bayangan kurva 2 x – y =10 oleh rotasi berpusat di O(0, 0) dengan sudut rotasi 90 o adalah x+2 y= -10

1. C. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0, 0) dan θ= 180 o. Jika suatu titik P(x, y) dirotasikan dengan titik pusat O(0, 0) dan sudut rotasi sebesar θ= 180 o maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

Contoh 1. 3. a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3, 5) yang diputar sebesaar 180 o dengan titik pusat O(0, 0)? Y • Jawab : 7 6 5 4 3 2 1 P(3, 5) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 P’ (-3, -5) -6 X

Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jawab : Jadi bayangan dari titik P(3, 5) yang dirotasikan sejauh (180 o) dengan titik pusat O(0, 0) adalah P’( -3, -5)

1. 3. b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2 x – y = 10 oleh rotasi berpusat di O(0, 0) dengan sudut rotasi 180 o ? • Jawab : Dengan mensubstitusikan x = -x’ dan y = -y’ ke persamaan 2 x – y = 10 diperoleh sbb: 2 (-x’) – (-y’) = 10 -2 X’ + Y’ = 10. Jadi persamaan bayangan kurva 2 x – y =10 oleh rotasi berpusat di O(0, 0) dengan sudut rotasi 180 o adalah 2 x- y= -10

1. D. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0, 0) dan θ= (-180 o ). Jika suatu titik P(x, y) dirotasikan dengan titik pusat O(0, 0) dan sudut rotasi sebesar θ=(- 180 o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

Contoh 1. 4. a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3, 5) yang diputar sebesaar -180 o dengan titik pusat O(0, 0)? • Jawab : Y 7 6 5 4 3 2 1 P(3, 5) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 P’ (-3, -5) -6 X

Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jawab : Jadi bayangan dari titik P(3, 5) yang dirotasikan sejauh (180 o) dengan titik pusat O(0, 0) adalah P’( -3, -5)

1. 4. b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2 x – y = 10 oleh rotasi berpusat di O(0, 0) dengan sudut rotasi -180 o ) ? • Jawab : Dengan mensubstitusikan x = -x’ dan y = -y’ ke persamaan 2 x – y = 10 diperoleh sbb: 2 (-x’) – (-y’) = 10 -2 X’ + Y’ = 10. Jadi persamaan bayangan kurva 2 x – y =10 oleh rotasi berpusat di O(0, 0) dengan sudut rotasi (-180 o )adalah 2 x- y= -10 atau y – 2 x = 10 (

1. E. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0, 0) dan θ= 270 o. Jika suatu titik P(x, y) dirotasikan dengan titik pusat O(0, 0) dan sudut rotasi sebesar θ= 270 o maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

Contoh 1. 5. a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3, 5) yang diputar sebesaar 270 o dengan titik pusat O(0, 0)? • Jawab : Y 7 6 5 4 3 2 1 P(3, 5) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 P’ (5, -3) X

Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jawab : Jadi bayangan dari titik P(3, 5) yang dirotasikan sejauh (270 o) dengan titik pusat O(0, 0) adalah P’(5, -3)

1. 4. b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2 x – y = 10 oleh rotasi berpusat di O(0, 0) dengan sudut rotasi 270 o ? • Jawab : Dengan mensubstitusikan x = -y’ dan y = x’ ke persamaan 2 x – y = 10 diperoleh sbb: 2 (-y’) – (x’) = 10 -2 y’ - x’ = 10. Jadi persamaan bayangan kurva 2 x – y =10 oleh rotasi berpusat di O(0, 0) dengan sudut rotasi 270 o adalah x + 2 y= -10

1. F. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0, 0) dan θ= (-270 o ). Jika suatu titik P(x, y) dirotasikan dengan titik pusat O(0, 0) dan sudut rotasi sebesar θ= (- 270 o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

Contoh 1. 6. a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3, 5) yang diputar sebesaar (-270 o) dengan titik pusat O(0, 0)? • Jawab : P’ (-5, 3) Y 7 6 5 4 3 2 1 P(3, 5) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 X

Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jawab : Jadi bayangan dari titik P(3, 5) yang dirotasikan sejauh (270 o) dengan titik pusat O(0, 0) adalah P’(-5, 3)

1. 4. b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2 x – y = 10 oleh rotasi berpusat di O(0, 0) dengan sudut rotasi -270 o ? • Jawab : Dengan mensubstitusikan x = y’ dan y = -x’ ke persamaan 2 x – y = 10 diperoleh sbb: 2 y’ – (-x’) = 10 2 y’ + x’ = 10. Jadi persamaan bayangan kurva 2 x – y =10 oleh rotasi berpusat di O(0, 0) dengan sudut rotasi -270 o adalah x + 2 y = 10

Tugas 1. Titik A ( 2, 4 ) diputar sebesar 270 derejat dengan titik pusat O(0, 0). Tentukanlah bayangan titik tersebut ? 2. Titik B ( -5, 8 ) diputar sebesar (-180) derejat dengan titik pusat O(0, 0). Tentukanlah bayangan titik tersebut ? 3. Titik C ( 8, -9 ) diputar sebesar (-90) derejat dengan titik pusat O(0, 0). Tentukanlah bayangan titik tersebut ? 4. Tentukanlah bayangan garis 5 x – 3 y = 10 yang diputar sebesar (-270) derejat dengan titik pusat O(0, 0) ? 5. Tentukanlah bayangan garis y = 2 x 2 – 4 x + 5 yang diputar sebesar (180) derejat dengan titik pusat O(0, 0) ?

2. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h, k) Y P’(x’, y’) M(h, k) Jika titik P(x, y) kita pandang terhadap titik pusat M(h, k) maka posisi titik P terhadap titik M dapat dituliskan P(x-h, y-k). dan posisi bayangannya P’(x’-h, y’-k) Sehingga dengan demikia dapat dituliskan bayang titik P tersebut didalam koordinat kartesiusnya sbb: P(x, y) P’(x’, y’) dimana : P(x, y) X’-h =(x-h) cos θ – (y-k) sin θ Y’-k =(x-h) sin θ + (y-k) cos θ Secara matriks dapat dituliskan sbb : X 0

2. A. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h, k) dan θ=(+90 o). • Jika suatu titik P(x, y) dirotasikan dengan titik pusat M(h, k) dan sudut θ= (+90 o) maka diperoleh bayangan sbb :

Contoh 2. 1. a Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5, -3) yang diputar sebesaar +90 o dengan titik pusat M(2, 1)? • Jawab : Y 7 6 5 4 3 2 M(2, 1)? 1 P’(6, 4) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 P(5, -3) X

Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jawab : Jadi bayangan dari titik P(5, -3) yang dirotasikan sejauh (90 o) dengan titik pusat M(2, 1) adalah P’(6, 4)

Contoh 2. 1. b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 3 x-4 y=-12 oleh rotasi berpusat di M( -1, 2) dengan susut rotasi 90 o ? • Jawab : Dengan mensubstitusikan x = y’+h-k, y = k+h-x’, h=-1, dan k=2 ke persamaan 3 x – 4 y = -12 diperoleh sbb: 3(y’+h-k) – 4(k+h-x’) = -12 3(y’+(-1)-(2)) – 4(2+(-1)-x’)= -12 atau 3(y’-3) – 4(1 -x’) = -12 3 y’ - 9 – 4 + 4 x’ = -12 atau 4 x’ + 3 y’ = -12 + 13 4 x’ + 3 y’ = 1 Jadi persamaan bayangan kurva 3 x – 4 y = -12 oleh rotasi berpusat di M(-1, 2) dengan sudut rotasi 90 o adalah 4 x + 3 y= 1

2. B. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h, k) dan θ= (-90 o) Jika suatu titik P(x, y) dirotasikan dengan titik pusat M(h, k) dan sudut rotasi sebesar θ= (-90 o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

Contoh 2. 2. a Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3, 5) yang diputar sebesaar (-90 o) dengan titik pusat M(1, 2)? • Jawab : Y 7 6 5 4 3 M(1, 2) 2 1 P(3, 5) P’(4, 0) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 X

Secara matematis dapat ditentukan sbb : • Jawab : Jadi bayangan dari titik P(3, 5) yang dirotasikan sejauh (-90 o) dengan titik pusat M(1, 2) adalah P’(4, 0)

Contoh 2. 1. b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2 x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi -90 o ? • Jawab : Dengan mensubstitusikan x = h+k-y’, y = x’+k-h’, h=2, dan k=3 ke persamaan 2 x – y = 12 diperoleh sbb: 2(h+k-y’) – (x’+k-h) = 12 atau 2(2+3 -y’) – (x’+3 -2)= 12 2(5 -y’) – (x’+1)= 12 atau 10 -2 y’-x’-1 = 12 -x’ - 2 y’ = 12 – 9 atau x’ + 2 y’ = -3 Jadi persamaan bayangan kurva 2 x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi -90 o adalah x + 2 y= -3

2. C. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h, k) dan θ= (180 o). Jika suatu titik P(x, y) dirotasikan dengan titik pusat M(h, k) dan sudut rotasi sebesar θ= (180 o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

Contoh 2. 3. a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5, -3) yang diputar sebesaar 180 o dengan titik pusat M(2, 1)? • Jawab : Y 7 6 P’(-1, 5) 5 4 3 2 1 M(2, 1) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 P(5, -3) X

Secara matematis dapat ditentukan sbb : • Jawab : Jadi bayangan dari titik P(5, -3) yang dirotasikan sejauh (180 o) dengan titik pusat M(2, 1) adalah P’(-1, 5)

Contoh 2. 3. b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2 x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi 180 o ? • Jawab : Dengan mensubstitusikan x = 2 h-x’, y = 2 k-y’, h=2, dan k=3 ke persamaan 2 x – y = 12 diperoleh sbb: 2(2 h-x’) – (2 k-y’) = 12 atau 2(2. 2 -x’) – (2. 3 -y’)= 12 8 - 2 x’- 6 + y’=12 atau 2 -2 x’ +y’ = 12 -2 x’ + y’ = 10 Jadi persamaan bayangan kurva 2 x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi 180 o adalah 2 x - y= -10

2. D. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h, k) dan θ= (-180 o). Jika suatu titik P(x, y) dirotasikan dengan titik pusat M(h, k) dan sudut rotasi sebesar θ= (-180 o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

Contoh 2. 4. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3, 5) yang diputar sebesaar (-180 o) dengan titik pusat M(1, 2)? Y • Jawab : 7 6 5 4 3 2 1 P(3, 5) M(1, 2) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P’(-1, -1) -2 -3 -4 -5 -6 X

Secara matematis dapat ditentukan sbb : Jawab : Jadi bayangan dari titik P(3, 5) yang dirotasikan sejauh (-180 o) dengan titik pusat M(1, 2) adalah P’(-1, -1)

Contoh 2. 4. b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2 x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi -180 o ? • Jawab : Dengan mensubstitusikan x = 2 h-x’, y = 2 k-y’, h=2, dan k=3 ke persamaan 2 x – y = 12 diperoleh sbb: 2(2 h-x’) – (2 k-y’) = 12 atau 2(2. 2 -x’) – (2. 3 -y’)= 12 8 - 2 x’- 6 + y’=12 atau 2 -2 x’ +y’ = 12 -2 x’ + y’ = 10 Jadi persamaan bayangan kurva 2 x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi 180 o adalah 2 x - y = -10

2. E. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h, k) dan θ= (270 o) Jika suatu titik P(x, y) dirotasikan dengan titik pusat M(h, k) dan sudut rotasi sebesar θ= (270 o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

Contoh 2. 5. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3, 5) yang diputar sebesar (270 o) dengan titik pusat M(1, 2)? • Jawab : Y 7 6 5 4 3 2 1 P(3, 5) M(1, 2) P’(4, 0) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 X

Secara matematis dapat ditentukan sbb : • Jawab : Jadi bayangan dari titik P(3, 5) yang dirotasikan sejauh (270 o) dengan titik pusat M(1, 2) adalah P’(4, 0)

Contoh 2. 5. b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2 x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi 270 o ? • Jawab : Dengan mensubstitusikan x = h-k-y’, y = k-h-x’, h=2, dan k=3 ke persamaan 2 x – y = 12 diperoleh sbb: 2(h-k-y’) – (k-h-x’) = 12 atau 2(2 -3 -y’) – (3 -2 -x’)= 12 -2 – 2 y’- 1 + x’=12 atau -3+ x’ - 2 y’ = 12 x’ - 2 y’ = 15 Jadi persamaan bayangan kurva 2 x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi 270 o adalah x - 2 y = 15

2. F. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h, k) dan θ=(-270 o). • Jika suatu titik P(x, y) dirotasikan dengan titik pusat M(h, k) dan sudut θ= (-270 o) maka diperoleh bayangan sbb :

Contoh 2. 6. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5, -3) yang diputar sebesaar -270 o dengan titik pusat M(2, 1)? • Jawab : Y 7 6 5 4 3 2 M(2, 1) 1 P’(6, 4) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 P(5, -3) X

Secara matematis dapat ditentukan sbb : • Jawab : Jadi bayangan dari titik P(5, -3) yang dirotasikan sejauh 270 o) dengan titik pusat M(2, 1) adalah P’(6, 4) (-

Contoh 2. 6. b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2 x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi -270 o ? • Jawab : Dengan mensubstitusikan x = y’+h-k, y = h+k-x’, h=2, dan k=3 ke persamaan 2 x – y = 12 diperoleh sbb: 2(y’h-k-y’) – (k-h-x’) = 12 atau 2(2 -3 -y’) – (3 -2 -x’)= 12 -2 – 2 y’- 1 + x’=12 atau -3+ x’ - 2 y’ = 12 x’ - 2 y’ = 15 Jadi persamaan bayangan kurva 2 x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi -270 o adalah x - 2 y = 15

Tugas 1. Titik A ( 2, 4 ) diputar sebesar 45 derejat dengan titik pusat M(2, -3). Tentukanlah bayangan titik tersebut ? 2. Titik B ( -5, 8 ) diputar sebesar (60) derejat dengan titik pusat M(4, -6). Tentukanlah bayangan titik tersebut ? 3. Titik C ( 8, -9 ) diputar sebesar (135) derejat dengan titik pusat M(-4, -2). Tentukanlah bayangan titik tersebut ? 4. Tentukanlah bayangan garis 5 x – 3 y = 10 yang diputar sebesar (-270) derejat dengan titik pusat M(3, 4) ? 5. Tentukanlah bayangan garis y = 2 x 2 – 4 x + 5 yang diputar sebesar (180) derejat dengan titik pusat M(-3, 2) ?