RJEAVANJE NELINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNADBI Metoda bisekcije iteracije tangente

RJEŠAVANJE NELINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNADŽBI Metoda bisekcije, iteracije, tangente, sekante, regula falsi

Problem? Zadana je jednadžba f(x)=0 n Prvo moramo odrediti interval u kojem se nalazi nul točka funkcije n Ako se nul točka nalazi u [a, b], onda vrijedi f(a)f(b)<0 n Što ako je funkcija prekidna? n

Kako odrediti interval? 1. 2. Tablično Grafički Zadatak: Odredite intervale u kojima se nalaze rješenja jednadžbe

Metoda polovljenja intevala ili metoda bisekcije Funkcije f(x) je definirana na intevalu [a, b], gdje bez smanjenja općenitosti uzmimo da ja a<b, i pretpostavimo da se u tom intervalu nalazi barem jedna nultočka Onda je gotovo! A ako to ne vrijedi nego:

Pogreška U prvom koraku pogreška je jednaka U k-tom koraku greška je Kriterij zaustavljanja Na početku je zadana točnost

Zadatak: Metodom bisekcije rješite jednadžbu s točnošću 10 -3 Moramo odrediti interval gdje se nultočka nalazi, a zatim naći rješenje gdje pritom pazimo da se zaustavimo kada zadovoljimo kriterij zaustavljanja.

Koja je mana ove metode n Mana ove metode je da je spora tj. postoje puno brže metode nalaženja rješenja jednadžbe odnosno postupci koji puno brže konvergiraju k rješenju

METODA ITERACIJE Funkcije f(x) je definirana na intevalu [a, b], gdje bez smanjenja općenitosti uzmimo da ja a<b, i pretpostavimo da se u tom intervalu nalazi barem jedna nultočka. Zadana je funckija f(x)=0. Prvo dodamo lijevo i desno x, pa imamo x+f(x)=x Zatim lijevu stranu zamijenimo s novom funcijom

Naziva se metoda iteracije jer se uvrštavanjem nekog “rješenja” sve više približavamo pravom rješenju. Taj postupak ponavljamo određen broj puta dok ne zadovoljimo kriterij zaustavljanja. “rješenje”

ZADATAK n Riješite jednadžbu ako znamo da se njezino rješenje nalazi na intervalu [3, 5] n Uz uvjet

Newtonova metoda (metoda tangente) n Uvjeti: ¨ Funkcija je konveksna ili konkavna ¨

n Ponovimo isti postupak više puta:

Kako izračunati novu približnu vrijednost nul točke(aproksimaciju)

Pogreška i kriterij zaustavljanja Na početku je zadana točnost

Zadatak n Izračunajte rješenja jednadžbe x-sinx-0. 25=0 s točnošću 10 -4

METODA SEKANTE n Uvjeti: ¨ Funkcija je konveksna ili konkavna ¨ Zadane su prva dva čvora ¨

Kako izračunati novu približnu vrijednost nul točke(aproksimaciju)

Pogreška i kriterij zaustavljanja Na početku je zadana točnost

Izračunajte rješenja jednadžbe s točnošću 10 -4

REGULA FALSI n Uvjeti: ¨ Ono što ne mora biti zadovoljeno je uvjet konveksnosti odnosno konkavnosti

Zašto ne mora biti zadovoljen uvjet konveksnosti odnosno konkavnosti n Jer se metoda prilagođava situaciji, ali na koji način: pomoću granica glavnog intervala izračuna novu točku:

A zatim čini provjeru: Ovim postupkom se napravi korekcija početnog intervala

Pogreška i kriterij zaustavljanja Ima isti kriterij zaustavljanja kao i metoda sekante.

KOMBINIRANE METODE n Možemo kombinirati navedene metode: ¨ Sekanta i bisekcija ¨ Regula falsi i bisekcija ¨ Tangenta i sekanta