Rjeavanje jednadbi 8 Tekstualni problemski zadaci Kroz prole

Rješavanje jednadžbi 8 Tekstualni (problemski) zadaci

Kroz prošle smo prezentacije naučili kako rješavati jednadžbe. U ovoj ćemo prezentaciji rješavati tekstualne zadatke (tzv. problemske zadatke). U njima ćemo iz uvjeta zadatka trebati složiti odgovarajuću jednadžbu i riješiti je. Rješenje jednadžbe pomoći će nam da dođemo do rješenja zadanog zadatka. Prije nego što krenemo na takve zadatke, prisjetimo se naziva koje ćemo u njima koristiti. . .

Prisjetimo se: Izraz u kojem se pojavljuje simbol + (npr. 2+3, 8+13, a+b. . . ) naziva se zbroj. Izraz u kojem se pojavljuje simbol - (npr. 10 -3, 28 -3, x-y. . . ) naziva se razlika. Izraz u kojem se pojavljuje simbol naziva se umnožak. · (npr. 7· 3, 8·a, x·y. . . ) Izraz u kojem se pojavljuje simbol : (npr. 72: 9, a: 6, c: d. . . ) naziva se količnik.

Prisjetimo se: Imajući na umu te nazive, reci što su sljedeći izrazi: a) x - y razlika b) 2 + x zbroj c) 7 x umnožak d) -5 y umnožak e) x 3 razlomak ili količnik (razlomačka crta označava dijeljenje) f) (x-2) · (y+3) g) (2 -3 x) · (4 -y) h) ( između 7 i x skriva se simbol · ) x - (z+7) 2 i) (5 -x) : (7 y) umnožak razlike i zbroja umnožak dviju razlika količnika i zbroja količnik razlike i umnoška

Neka je x neki broj. Reci izraz koji predstavlja: a) x uvećan za 2 x+2 b) x uvećan 2 puta 2 x Napomena: "x uvećan 2 puta" se može zapisati na sljedeće načine: x· 2, 2·x i 2 x. Svi su oni točni! Međutim, kao što sme već puno puta vidjeli u jednažbama koje smo rješavali, u jednadžbama je uobičajen oblik 2 x ! Stoga je preporučljivo koristiti upravo njega, iako su i ostala dva oblika ispravna. Dakle, kod množenja je uobičajeno prvo pisati broj, a onda slovo! c) x umanjen za 2 x-2 d) x umanjen 2 puta x: 2 ili e) 2 umanjen za x 2 -x f) 2 umanjen x puta 2: x ili g) y uvećan 6 puta 6 y x 2 ( u jednadžbama češće koristimo 2 x g) 30 umanjen za pola vrijednosti broja x 30 - x 2 ili 30 - 1 x 2 )

Sad krećemo na problemske zadatke. Ukoliko te zanima točno određeni tip problemskih zadataka, možeš koristiti donje linkove da bi krenuo baš na taj tip: • problemski zadaci u kojima se traži broj koji zadovoljava neka svojstva • životniji problemski zadaci • geometrijski zadaci • složeniji problemski zadaci Ako želiš krenuti redom, klikni bilo gdje izvan gornjih linkova.

Problemski zadaci u kojima se traži broj koji zadovoljava neke uvjete. . .

Primjer 1: Ako neki broj pomnožimo sa 3, dobiveni umnožak umanjimo za 7 i tako dobivenu razliku pomnožimo sa 6, dobit ćemo isti rezultat kao da smo početni broj pomnožili sa 7 i dodali 2. Koji je to broj? Imaš li ideju kako pronaći traženi broj? Vjerujem da imaš: Traženi broj ćemo označiti sa x, a zatim iz teksta zadatka složiti jednadžbu i riješiti je. Time ćemo dobiti koliki je traženi broj x. . .

Primjer 1: Ako neki broj pomnožimo sa 3, dobiveni umnožak umanjimo za 7 i tako dobivenu razliku pomnožimo sa 6, dobit ćemo isti rezultat kao da smo početni broj pomnožili sa 7 i dodali 2. Koji je to broj? x - traženi broj ( 3 x - 7 ) · 6 = 7 x + 2 18 x - 42 = 7 x + 2 Kako riješiti ovu jednadžbu? Što ćemo prvo? Riješiti se zagrade! Kako ćemo se riješiti ove zagrade? Iza zagrade je simbol ·, pa broj iza zagrade, tj. broj 6 množimo sa svakim u zagradi. . . Ostalo prepišemo. . . Dobili smo jednadžbu! x u njoj predstavlja onaj broj koji se traži u ovom matematičkih zadatku. Sad pažljivo čitajmo upravo tekst zadatka i zapisujmo ga pomoću simbola Riješimo i time ćemo pronaći traženi broj. . . (da bismojednadžbu dobili jednadžbu). . .

Primjer 1: Ako neki broj pomnožimo sa 3, dobiveni umnožak umanjimo za 7 i tako dobivenu razliku pomnožimo sa 6, dobit ćemo isti rezultat kao da smo početni broj pomnožili sa 7 i dodali 2. Koji je to broj? x - traženi broj ( 3 x - 7 ) · 6 = 7 x + 2 18 x - 42 = 7 x + 2 Što sad? 18 x - 7 x Nepoznanice na lijevu, a poznanice na desnu stranu. . . = 2 + 42 11 x = 44 x = 4 Traženi broj je broj 4. Time je ovaj zadatak riješen. / : 11

Primjer 1: Ako neki broj pomnožimo sa 3, dobiveni umnožak umanjimo za 7 i tako dobivenu razliku pomnožimo sa 6, dobit ćemo isti rezultat kao da smo početni broj pomnožili sa 7 i dodali 2. Koji je to broj? x - traženi broj ( 3 x - 7 ) · 6 = 7 x + 2 Čitat ćemo tekst zadatka, sa dobivenim rješenjem (brojem 4) činiti sve što piše u zadatku i vidjeti hoće li to rješenje zadovoljiti sve što piše. 18 x - 42 = 7 x + 2 18 x - 7 x = 2 + 42 11 x = 44 x = 4 Traženi broj je broj 4. Provjerimo jesmo li dobili točno rješenje! Što misliš - kako ćemo ovdje izvršiti provjeru? Učinimo tako. . . / : 11

Primjer 1: Ako neki broj pomnožimo sa 3, dobiveni umnožak umanjimo za 7 i tako dobivenu razliku pomnožimo sa 6, dobit ćemo isti rezultat kao da smo početni broj pomnožili sa 7 i dodali 2. Koji je to broj? x - traženi broj Provjera: ( 3 x - 7 ) · 6 = 7 x + 2 Umjesto onoga "neki broj" uvrštavamo naše rješenje - broj 4! 18 x - 42 = 7 x + 2 4· 3 = 12 4· 7 = 28 12 -7 = 5 28+2 = 30 18 x - 7 x 5· 6 = 30 = 2 + 42 11 x = 44 x = 4 Traženi broj je broj 4. / : 11 Zaista smo dobili isti rezultat, kao što i piše u zadatku! Time smo provjerili da naše rješenje (broj 4) zadovoljava tekst zadatka.

Primjer 2: Ako neki broj umanjimo za 4, dobivenu razliku uvećamo za 5, te dobiveni rezultat uvećamo 3 puta, dobit ćemo isti rezultat kao da smo broj 43 umanjili za traženi broj. Koji je to broj? x - traženi broj ( x - 4 + 5) · 3 3 x - 12 + 15 3 x + x = = 43 - x 43 + 12 - 15 4 x = 40 / : 4 x = 10 Krenimo kao broj i u prošlom primjeru: Traženi je broj 10. Riješimo dobivenu jednadžbu. . . Sa x označimo treženi broj, a zatim pomoću matematičkih simbola zapišimo tekst zadatka. . . Time je ovaj zadatak riješen. Provjeru napravi sam.

Evo i nekoliko zadataka za vježbu. Pokušaj ih samostalno riješiti! Ako ćeš imati poteškoća, vrati se na prošle primjere. Nakon sljedećeg klika prikazat će ti se rješenja zadataka da si možeš prekontrolirati jesi li dobro riješio. Sretno! 1. ) Ako neki broj umanjimo za 10, te dobiveni rezultat povećamo 7 puta, dobit ćemo isti rezultat kao da smo broj 2 umanjili za početni broj. Koji je to broj? 2. ) Ako neki broj pomnožimo sa -2, dobivenom umnošku dodamo broj 9 i dobiveni zbroj uvećamo 4 puta, dobit ćemo početni broj. Koji je to broj? 3. ) Mira je zamislila neki broj. Pomnožila ga je sa 4 i dobiveni umnožak oduzela od broja 100. Tako dobivenu razliku uvećala je 2 puta i od dobivenog rezultata oduzela peterostruki zamišljeni broj. Za rezultat je dobila broj 5. Koji je broj zamislila Mira? Rješenja: 1. ) To je broj 9. Uputa: Trebalo je složiti jednadžbu (x-10)· 7 = 2 -x. 2. ) To je broj 4. Uputa: Trebalo je složiti jednadžbu (-2 x+9)· 4 = x. 3. ) Mira je zamislila broj 15. Uputa: Trebalo je krenuti od jednadžbe (100 -4 x)· 2 - 5 x = 5.

A sad životniji primjeri. . .

Primjer 3: Ana i Marija skupile su zajedno 84 školjkice. Ana ih je skupila 3 puta više od Marije. Koliko je koja skupila školjkica? Imaš li ideju kako riješiti ovaj primjer? Naravno, možemo pogađanjem, no ta nam metoda u složenijim zadacima neće pomoći. I ovaj ćemo primjer riješiti pomoću jednadžbi, samo je u ovakvim slučajevima slaganje jednadžbi nešto složenije. Krenimo redom. . .

Primjer 3: Ana i Marija skupile su zajedno 84 školjkice. Ana ih je skupila 3 puta više od Marije. Koliko je koja skupila školjkica? Ana: 3 x Marija: x Uočimo da se u ovom zadatku traže dva broja - broj Aninih i broj Marijinih školjkica! Stoga ćemo prvo zapisati "Anine školjkice" i "Marijine školjkice", a možemo i kraće samo "Ana" i "Marija". . . Sad uočimo koja je od njih skupila manje školjkica i broj njezinih školjkica označimo sa x. Iz uokvirene rečenice zaključujemo da je Marija skupila manje, pa broj njezinih školjkica označimo sa x. Ponovo pročitaj uokvirenu rečenicu i iz nje zaključi: Ako je broj Marijinih školjkica upravo x, a Ana je skupila 3 puta više, koliko školjkica ima Ana?

Primjer 3: Ana i Marija skupile su zajedno 84 školjkice. Ana ih je skupila 3 puta više od Marije. Koliko je koja skupila školjkica? Ana: 3 x Marija: x 3 x + x = 84 Za sad smo i broj Aninih i broj Marijinih školjkica označili pomoću x. Sad nam još nedostaje jednadžba. Da bismo složili jednadžbu, uočimo koji još podatak o njihovim školjkicama piše u zadatku, a kojega još nismo iskoristili! Upravo ćemo tu rečenicu iskoristiti da bismo složili jednadžbu, i to ovako: Uočimo koliko školjkica ima Ana, koliko ih ima Marija, te koliko ih imaju zajedno! Što (koju računsku operaciju) trebamo napraviti sa brojem Aninih i brojem Marijinih školjkica da bismo dobili ukupni broj školjkica? Trebamo ih zbrojiti! Taj nam odgovor kaže kako iz gore uokvirenoga složiti jednadžbu. . .

Primjer 3: Ana i Marija skupile su zajedno 84 školjkice. Ana ih je skupila 3 puta više od Marije. Koliko je koja skupila školjkica? Ana: 3 x Marija: x 3 x + x = 84 4 x = 84 / : 4 x = 21 Time smo dobili jednadžbu! Kad tu jednadžbu riješimo, dobit ćemo koliki je x. Nakon toga ćemo dobiveno rješenje (broj) umjesto x-a uvrstiti ovdje. . . i time ćemo saznati koliko je Ana skupila školjkica, a koliko ih je skupila Marija. Riješimo jednadžbu! Što ćemo prvo? Nepoznanice već jesu na lijevoj strani, a poznanica na desnoj. Zbrojimo nepoznanice na lijevoj. . .

Primjer 3: Ana i Marija skupile su zajedno 84 školjkice. Ana ih je skupila 3 puta više od Marije. Koliko je koja skupila školjkica? Ana: 3 x = 3 · 21 = 63 Marija: x = 21 3 x + x = 84 4 x = 84 / : 4 x = 21 Time smo riješili jednadžbu, tj. saznali koliki je x! Sad ćemo to rješenje 21 uvrstiti umjesto x da bismo saznali koliko je Ana, a koliko Marija skupila školjkica. . . Time smo saznali da je Ana skupila 63 školjkice. Izračunajmo sad za Mariju. . . Dakle, Marija je skupila 21 školjkicu. Zapišimo odgovor. . .

Primjer 3: Ana i Marija skupile su zajedno 84 školjkice. Ana ih je skupila 3 puta više od Marije. Koliko je koja skupila školjkica? Ana: 3 x = 3 · 21 = 63 Marija: x = 21 3 x + x = 84 4 x = 84 / : 4 x = 21 Ana je skupila 63, a Marija 21 školjkicu. Time smo gotovi sa rješavanjem zadatka.

Primjer 3: Ana i Marija skupile su zajedno 84 školjkice. Ana ih je skupila 3 puta više od Marije. Koliko je koja skupila školjkica? Ana: 3 x = 3 · 21 = 63 Marija: x = 21 3 x + x = 84 4 x = 84 / : 4 x = 21 Ana je skupila 63, a Marija 21 školjkicu.

Primjer 3: Ana i Marija skupile su zajedno 84 školjkice. Ana ih je skupila 3 puta više od Marije. Koliko je koja skupila školjkica? Ana: 3 x = 3 · 21 = 63 Marija: x = 21 Provjerimo jesmo li točno riješili: 3 x + x = 84 4 x = 84 x = 21 / : 4 U prvoj rečenici piše da su zajedno skupile 84 školjkice. Provjerimo je li to u skladu s našim rješenjem. . . 63 + 21 = 84 To je u redu! Ana je skupila 63, a Marija 21 školjkicu. U drugoj rečenici piše da je Ana skupila 3 puta više školjkica od Marije. Provjerimo je li to u skladu s našim rješenjem. . . 63 je zaista 3 puta veći od 21, 63 = 3· 21, dakle rješenje je u skladu i sa tom rečenicom.

Primjer 3: Ana i Marija skupile su zajedno 84 školjkice. Ana ih je skupila 3 puta više od Marije. Koliko je koja skupila školjkica? Ana: 3 x = 3 · 21 = 63 Marija: x = 21 3 x + x = 84 4 x = 84 / : 4 x = 21 Ana je skupila 63, a Marija 21 školjkicu. Time smo gotovi i sa rješavanjem zadatka i sa provjerom. Prije prelaska na sljedeći primjer, još jednom se u kratkim crtama podsjetimo kako smo rješavali ovaj. (Iste ćemo korake raditi i u sljedećim primjerima. )

Primjer 3: Ana i Marija skupile su zajedno 84 školjkice. Ana ih je skupila 3 puta više od Marije. Koliko je koja skupila školjkica?

Primjer 3: Ana i Marija skupile su zajedno 84 školjkice. Ana ih je skupila 3 puta više od Marije. Koliko je koja skupila školjkica? Ana: 3 x = 3 · 21 = 63 Marija: x = 21 3 x + x = 84 4 x = 84 1. Pročitamo tekst zadatka i uočimo što se traži, te zapišemo to. . . 2. Iz teksta zadatka uočimo koja je našla manje školjkica i broj njenih školjkica označimo sa x. . . / : 4 x = 21 Ana je skupila 63, a Marija 21 školjkicu. Ako si sve shvatio, krenimo na novi primjer! Ako nisi, možeš se vratiti na pojašnjavanje prethodnog. Za to možeš koristiti sljedeće linkove: početak primjera 3, pojašnjavanje primjera 3 u kratkim crtama, provjera rješenja. Za prelazak na novi primjer, klikni bilo gdje izvan tih linkova. 3. Sad uočimo koliki je broj školjkica druge djevojčice u odnosu na prvu i zapišimo i to pomoću x. . . 4. Kad smo obje tražene veličine označili pomoću x, podvučemo i krećemo na slaganje jednadžbe. . . 5. U tekstu zadatka uočimo podatak kojeg još nismo iskoristili. Pomoću njega, te oznaka 3 x i x zapišemo jednadžbu. . . 6. Riješimo jednadžbu. . . 7. Dobiveno rješenje (broj) uvrstimo gore umjesto x. . . 8. Napišemo odgovor. 9. Napravimo provjeru. . . (to sad nećemo)

Primjer 4: Davor i njegova seka Iva ukupno imaju 108 kuna. Koliko koji od njih ima kuna ako Davor ima 8 puta manje od Ive? Davor: Iva: x = 12 8 x = 8 · 12 = 96 x + 8 x = 108 9 x = 108 / : 9 x = 12 Davor ima 12, a Iva 96 kuna. Provjera: Je li rješenje u skladu sa prvom rečenicom? 12 + 96 = 108 OK! A sa drugom rečenicom? 12 je 8 puta manji od 96, pa je i to u redu. 1. Pročitamo tekst zadatka i uočimo što se traži, te zapišemo to. . . 2. Iz teksta zadatka uočimo tko ima manje novaca i broj njezinih/njegovih kuna označimo sa x. . . 3. Sad uočimo koliko kuna ima Iva u odnosu na Davora, te zapišimo i to pomoću x. . . 4. Kad smo obje tražene veličine označili pomoću x, podvučemo i krećemo na slaganje jednadžbe. . . 5. U tekstu zadatka uočimo podatak kojeg još nismo iskoristili. Pomoću njega, te oznaka x i 8 x zapišemo jednadžbu. . . 6. Riješimo jednadžbu. . . 7. Dobiveno rješenje (broj) uvrstimo gore umjesto x. . . 8. Napišemo odgovor. 9. Napravimo provjeru.

Primjer 5: Na skladištu su crveni i zeleni bicikli. Crvenih je bicikala za 7 više nego zelenih, a ukupno ih je 43. Koliko je kojih bicikala na tom skladištu? crveni: x+7 zeleni: x 1. Pročitamo tekst zadatka i uočimo što se traži, te zapišemo to. . . 2. Iz teksta zadatka uočimo kojih bicikala ima manje i broj tih bicikala označimo sa x. . . x + 7 + x = 43 x + x = 43 - 7 2 x = 36 x = 18 / : 2 3. Sad uočimo koliki je broj crvenih bicikala u odnosu na broj zelenih, te zapišimo i to pomoću x. . . 4. Kad smo obje tražene veličine označili pomoću x, podvučemo i krećemo na slaganje jednadžbe. . . 5. U tekstu zadatka uočimo podatak kojeg još nismo iskoristili. Pomoću njega, te oznaka x+7 i x zapišemo jednadžbu. . . 6. Riješimo jednadžbu. . . 7. Dobiveno rješenje (broj) uvrstimo gore umjesto x. . .

Primjer 5: Na skladištu su crveni i zeleni bicikli. Crvenih je bicikala za 7 više nego zelenih, a ukupno ih je 43. Koliko je kojih bicikala na tom skladištu? crveni: x+7 = 18 + 7 = 25 zeleni: x = 18 2. Iz teksta zadatka uočimo kojih bicikala ima manje i broj tih bicikala označimo sa x. . . x + 7 + x = 43 x + x = 43 - 7 2 x = 36 1. Pročitamo tekst zadatka i uočimo što se traži, te zapišemo to. . . / : 2 x = 18 Na tom skladištu je 25 crvenih i 18 zelenih bicikala. 3. Sad uočimo koliki je broj crvenih bicikala u odnosu na broj zelenih, te zapišimo i to pomoću x. . . 4. Kad smo obje tražene veličine označili pomoću x, podvučemo i krećemo na slaganje jednadžbe. . . 5. U tekstu zadatka uočimo podatak kojeg još nismo iskoristili. Pomoću njega, te oznaka x+7 i x zapišemo jednadžbu. . . 6. Riješimo jednadžbu. . . 7. Dobiveno rješenje (broj) uvrstimo gore umjesto x. . . 8. Napišemo odgovor. 9. Provjeru napravi sam. . .

Evo i nekoliko zadataka za vježbu. Pokušaj ih samostalno riješiti! Ako ćeš imati poteškoća, vrati se na prošle primjere. Nakon sljedećeg klika prikazat će ti se rješenja zadataka da si možeš prekontrolirati jesi li dobro riješio. Sretno! Rješenja: 1. ) U Micikinom i Pepičinom dvorištu zajedno ima 70 kokoši, pri čemu je u Micikinom dvorištu 4 puta više kokoši nego u Pepičinom. Koliko je kokoši u Micikinom, a koliko u Pepičinom dvorištu? 2. ) Bara je ispekla 18 kolačića više nego Đurđa, a zajedno su ispekle 166 kolačića. Koliko ih je ispekla Bara, a koliko Đurđa? 3. ) Marko ima 36 kuglica triju boja: bijele, žute i plave. Bijelih kuglica ima 2 puta više nego žutih, a plavih koliko bijelih i žutih zajedno. Koliko Marko ima bijelih, koliko žutih i koliko plavih kuglica? 1. ) U Micikinom dvorištu je 56, a u Pepičinom 14 kokoši. Uputa: Micika: 4 x Pepica: x 4 x + x = 56. . . 2. ) Bara je ispekla 92, a Đurđa 72 kolačića. Uputa: Bara: x+18 Đurđa: x x+18+x=166. . . 3. ) Marko ima 12 bijelih, 6 žutih i 18 plavih kuglica. Uputa: bijele: 2 x žute: x plave: 3 x 2 x+x+3 x = 36. . .

U prošlim smo zadacima uvijek imali zadan ukupan broj - bilo kuna, kuglica, školjkica i dr. , pa smo prilikom slaganja jednadžbi uvijek zbrajali (jer ukupan broj dobivamo zbrajanjem). Sad ćemo rješiti i nekoliko drugačijih primjera. . .

Primjer 6: Lolek i Bolek puhali su balone. Lolek je napuhao 4 puta više balona nego Bolek, a Bolek je napuhao 9 balona manje nego Lolek. Koji je napuhao koliko balona? Lolek: 4 x Bolek: x 4 x - x = 9 Pažljivo razmisli: Što moramo učiniti (koju računsku operaciju) sa brojem Bolekovih i brojem Lolekovih balona da bismo dobili koliko je balona Bolek napuhao manje od Loleka? Trebamo ih oduzeti - od broja Lolekovih balona oduzmemo broj Bolekovih balona! Tebi je možda na pamet pao drugačiji način slaganja jednadžbe: od broja Lolekovih balona oduzeti razliku 9 i time se dobije broj Bolekovih balona: 4 x - 9 = x Ili: broj Bolekovih balona je za 9 manji od broja Lolekovih: x = 4 x - 9 1. Krenimo po starom! Pročitajmo tekst zadatka, uočimo što se traži, te zapišemo to. . . 2. Iz teksta zadatka uočimo tko je napuhao manje balona i broj njegovih balona označimo sa x. . . 3. Sad uočimo koliko je balona napuhao Lolek u odnosu na Boleka, te zapišimo i to pomoću x. . . 4. Kad smo obje tražene veličine označili pomoću x, podvučemo i krećemo na slaganje jednadžbe. . . 5. U tekstu zadatka uočimo podatak kojeg još nismo iskoristili. Pomoću njega, te oznaka 4 x i x zapišemo jednadžbu. . . Ili: broj Lolekovih balona je za 9 veći od broja Bolekovih: 4 x = x + 9 Sve ove jednadžbe u biti govore isto i sve one vode do istog rješenja. Svejedno je koju ćeš koristiti, samo pazi da ne složiš neku jednadžbu koja ne vrijedi!

Primjer 6: Lolek i Bolek puhali su balone. Lolek je napuhao 4 puta više balona nego Bolek, a Bolek je napuhao 9 balona manje nego Lolek. Koji je napuhao koliko balona? Lolek: 4 x = 4 · 3 Bolek: x = 3 4 x - x = 9 3 x = 9 = 12 / : 3 x = 3 Lolek je napuhao 12, a Bolek 3 balona. 1. Krenimo po starom! Pročitajmo tekst zadatka, uočimo što se traži, te zapišemo to. . . 2. Iz teksta zadatka uočimo tko je napuhao manje balona i broj njegovih balona označimo sa x. . . 3. Sad uočimo koliko je balona napuhao Lolek u odnosu na Boleka, te zapišimo i to pomoću x. . . 4. Kad smo obje tražene veličine označili pomoću x, podvučemo i krećemo na slaganje jednadžbe. . . 5. U tekstu zadatka uočimo podatak kojeg još nismo iskoristili. Pomoću njega, te oznaka 4 x i x zapišemo jednadžbu. . . 6. Riješimo jednadžbu. . . 7. Dobiveno rješenje (broj) uvrstimo gore umjesto x. . . 8. Napišemo odgovor. 9. Napravimo provjeru. . . (to napravi sam)

Primjer 7: Dalijo je 5 puta stariji od Marina, a Marin je 12 godina mlađi od Dalija. Koliko godina ima Dalijo, a koliko Marin? Dalijo: 5 x = 5 · 3 Marin: x = 3 5 x - x = 12 4 x = 12 = 15 1. Pročitajmo tekst zadatka, uočimo što se traži, te zapišemo to. . . 2. Iz teksta zadatka uočimo tko ima manje godina i broj njegovih godina označimo sa x. . . / : 4 x = 3 Dalijo ima 15, a Marin 3 godine. Pažljivo razmisli: Kako složiti jednadžbu ako znamo da je Marin 12 godina mlađi od Dalija? Jedna od mogućnosti je - od broja Dalijovih godina oduzeti broj Marinovih godina i time dobivamo razliku u godinama. . . Može i: 5 x - 12 = x , 5 x = x + 12, x = 5 x - 12 , x + 12 = 5 x. . . 3. Sad uočimo koliko je puta Dalijo stariji od Marina i to zapišimo pomoću x. . . 4. Kad smo obje tražene veličine označili pomoću x, podvučemo i krećemo na slaganje jednadžbe. . . 5. U tekstu zadatka uočimo podatak kojeg još nismo iskoristili. Pomoću njega, te oznaka 5 x i x zapišemo jednadžbu. . . 6. Riješimo jednadžbu. . . 7. Dobiveno rješenje (broj) uvrstimo gore umjesto x. . . 8. Napišemo odgovor. 9. Napravimo provjeru. . . (to napravi sam)

Evo i nekoliko zadataka za vježbu. Pokušaj ih samostalno riješiti! Ako ćeš imati poteškoća, vrati se na prošle primjere. Nakon sljedećeg klika prikazat će ti se rješenja zadataka da si možeš prekontrolirati jesi li dobro riješio. Rješenja: Sretno! 1. ) U jednom kokošinjcu bilo je 7 puta više kokoši nego pijevaca, a pijevaca je bilo za 24 manje nego kokoši. Koliko je tu bilo kokoši, a koliko pijevaca? 1. ) Bilo je 28 kokoši i 4 pijevca. 2. ) Otac je 4 puta stariji od kćeri. On je ujedno i za 33 godine stariji od kćeri. Koliko godina ima otac, a koliko kćer? 2. ) Otac ima 44, a kćer 11 godina. 3. ) Pet učenika 6. razreda skupljali su boce. Ivica i Stipe skupili su jednaki broj boca. Josip je skupio 2 puta više od Ivice, a Vinko je skupio 3 puta više od Josipa. Zlatko je skupio dvije boce manje od Vinka. Koliko je koji skupio boca ako je Josip skupio 17 boca više od Ivice? Uputa: kokoši: 7 x pijevci: x 7 x - x = 24. . . otac: 4 x kćer: x 4 x-x=33. . . 3. ) Ivica i Stipe skupili su svaki po 17, Josip 34, Vinko 102, a Zlatko 100 boca. Uputa: Ivica: x Stipe: x Josip: 2 x Vinko: 6 x Zlatko: 6 x-2 2 x-x=17. . .

Geometrijski zadaci Geometrijske problemske zadatke rješavat ćemo na isti način kao i prethodne, s tim da ovdje trebamo napraviti i skicu. Ona nam ponekad pomaže u slaganju jednadžbe. . .

x+7 Primjer 8: x Širina pravokutnika je za 7 cm veća od duljine. Kolike su stranice tog pravokutnika ako mu je opseg 54 cm? širina: x+7 duljina: x x x+7 1. Pročitamo tekst zadatka i uočimo što se traži, te zapišemo to. . . 2. Iz teksta zadatka uočimo je li manja širina ili duljina i nju označimo sa x. . . x + 7 + x = 54 3. Sad uočimo kolika je širina u odnosu na duljinu, te zapišimo i to pomoću x. . . x + x+ x 4. Kad smo obje tražene veličine označili pomoću x, podvučemo. = 54 - 7 4 x = 40 / : 4 x = 10 Pažljivo razmisli: Što je opseg bilo kojeg lika? Što moramo učiniti sa stranicama pravokutnika da bismo dobili opseg? Trebamo zbrojiti duljine svih stranica! Uočavajmo redom stranice na skici i zbrajajmo ih - tako dobivamo jednadžbu. . . 5. Prije nego što krenemo na pisanje jednadžbe, napravimo i skicu lika koji je zadan, te na skici stranice označimo u skladu sa oznakama koje smo uveli (x+7 i x). 6. U tekstu zadatka uočimo podatak kojeg još nismo iskoristili. Pomoću njega, te oznaka x+7 i x zapišemo jednadžbu. . . 7. Riješimo jednadžbu. . . 8. Dobiveno rješenje (broj) uvrstimo gore umjesto x. . .

x+7 Primjer 8: x Širina pravokutnika je za 7 cm veća od duljine. Kolike su stranice tog pravokutnika ako mu je opseg 54 cm? širina: x+7 = 10 + 7 = 17 duljina: x = 10 x x+7 1. Pročitamo tekst zadatka i uočimo što se traži, te zapišemo to. . . 2. Iz teksta zadatka uočimo je li manja širina ili duljina i nju označimo sa x. . . x + 7 + x = 54 3. Sad uočimo kolika je širina u odnosu na duljinu, te zapišimo i to pomoću x. . . x + x+ x 4. Kad smo obje tražene veličine označili pomoću x, podvučemo. = 54 - 7 4 x = 40 / : 4 x = 10 Stranice tog pravokutnika duge su 17 cm i 10 cm. 5. Prije nego što krenemo na pisanje jednadžbe, napravimo i skicu lika koji je zadan, te na skici stranice označimo u skladu sa oznakama koje smo uveli (x+7 i x). 6. U tekstu zadatka uočimo podatak kojeg još nismo iskoristili. Pomoću njega, te oznaka x+7 i x zapišemo jednadžbu. . . 7. Riješimo jednadžbu. . . 8. Dobiveno rješenje (broj) uvrstimo gore umjesto x. . . 9. Napišemo odgovor. 10. Provjeru napravi sam. . .

Primjer 9: Kraci jednakokračnog trokuta 2 puta su dulji od osnovice, a opseg tog trokuta je 40 cm. Kolike su mu stranice? kraci: osnovica: 2 x = 2· 8 = 16 x = 8 2 x x 1. Pročitamo tekst zadatka i uočimo što se traži, te zapišemo to. . . 2. Iz teksta zadatka uočimo je li manja osnovnica ili krak, te to označimo sa x. . . 3. Sad uočimo koliki je krak u odnosu na osnovicu, te zapišimo i to pomoću x. . . x + 2 x = 40 5 x = 40 2 x / : 5 Osnovica tog trokuta duga je 8 cm, a kraci 16 cm. Pažljivo razmisli: Što je opseg bilo kojeg lika? Što moramo učiniti sa stranicama trokuta da bismo dobili opseg? Trebamo zbrojiti duljine svih stranica! Uočavajmo redom stranice na skici i zbrajajmo ih - tako dobivamo jednadžbu. . . 4. Kad smo obje tražene veličine označili pomoću x, podvučemo. 5. Prije nego što krenemo na pisanje jednadžbe, napravimo i skicu lika koji je zadan, te na skici stranice označimo u skladu sa oznakama koje smo uveli (2 x i x). 6. U tekstu zadatka uočimo podatak kojeg još nismo iskoristili. Pomoću njega, te oznaka 2 x i x zapišemo jednadžbu. . . 7. Riješimo jednadžbu. . . 8. Dobiveno rješenje (broj) uvrstimo gore umjesto x. . . 9. Napišemo odgovor. 10. Provjeru napravi sam. . .

Opet zadaci za vježbu. . . Nakon sljedećeg klika prikazat će ti se rješenja zadataka da si možeš prekontrolirati jesi li dobro riješio. Sretno! Rješenja: 1. ) Širina pravokutnika je 3 puta veća od duljine, a opseg je 64 cm. Kolike su mu stranice? 2. ) Kraci jednakokračnog trokuta za 8 cm su dulji od osnovice, a opseg tog trokuta je 46 cm. Kolike su mu stranice? 3. ) U raznostraničnom trokutu najdulja stranica je 3 puta dulja od najkraće, a srednja je za 4 cm kraća od najdulje. Kolike su stranice tog trokuta ako mu je opseg 38 cm? 4. ) Duljina pravokutnika je 2 puta veća od širine, a širina je za 6 cm kraća od duljine. Kolike su stranice tog pravokutnika? 1. ) Stranice tog pravokutnika su 24 cm i 8 cm. Uputa: širina: 3 x duljina: x 3 x+x+3 x+x = 64. . . 2. ) Osnovica mu je 10 cm, a kraci 18 cm. Uputa: osnovica: x kraci: x+8 x+x+8=46. . . 3. ) Stranice su mu duge 6 cm, 14 cm i 18 cm. Uputa: najkraća: x najdulja: 3 x srednja: 3 x-4 x+3 x+3 x-4=38. . . 4. ) Stranice su mu duge 12 cm i 6 cm. Uputa: duljina: 2 x širina: x 2 x-x=6. . .

Složeniji problemski zadaci

Primjer 10: Lete dva jata ptica. U prvom je jatu 2 puta više ptica nego u drugome. Ako 20 ptica iz drugog jata pređe u prvo jato, tada će u prvom jatu biti 3 puta više ptica nego u drugome. Koliko je ptica u kojem jatu? prije poslije 1. jato: 2 x 2 x+20 2. jato: x x-20 1. Pročitajmo tekst zadatka, uočimo što se traži, te zapišemo to. . . 2. Iz teksta zadatka uočimo koje jato ima manje ptica i broj ptica u tom jatu označimo sa x. . . 3. Sad uočimo koliko je ptica u 1. jatu u odnosu na 2. jato i to zapišimo pomoću x. . . Ako je u 1. jatu bilo 2 x ptica Ako je u 2. jatu bilo x ptica i došlo je još 20 ptica, i otišlo je 20 ptica, nakon toga u tom jatu ima - koliko ptica? 4. Sa 2 x i x smo označili brojeve ptica prije prelaska ptica iz jednog jata u drugo. Međutim, nakon prelaska stanje se promijenilo. Zabilježimo i to pomoću x. . .

Primjer 10: Lete dva jata ptica. U prvom je jatu 2 puta više ptica nego u drugome. Ako 20 ptica iz drugog jata pređe u prvo jato, tada će u prvom jatu biti 3 puta više ptica nego u drugome. Koliko je ptica u kojem jatu? prije poslije 1. jato: 2 x 2 x+20 2. jato: x x-20 2 x + 20 = 3 • (x - 20) Sjetimo se da nakon seljenja u 1. jatu imamo 2 x+20 ptica, a u 2. jatu x-20 ptica. Tekst zadatka kaže da je broj ptica u 1. jatu (tj. 2 x+20) tri puta veći od broja ptica u 2. jatu (tj. od x-20 ). Zapišimo to matematičkim simbolima. . . 1. Pročitajmo tekst zadatka, uočimo što se traži, te zapišemo to. . . 2. Iz teksta zadatka uočimo koje jato ima manje ptica i broj ptica u tom jatu označimo sa x. . . 3. Sad uočimo koliko je ptica u 1. jatu u odnosu na 2. jato i to zapišimo pomoću x. . . 4. Sa 2 x i x smo označili brojeve ptica prije prelaska ptica iz jednog jata u drugo. Međutim, nakon prelaska stanje se promijenilo. Zabilježimo i to pomoću x. . . 5. Nakon što smo oba stanja (prije i poslije promjene) označili pomoću x, podvučemo. 6. U tekstu zadatka uočimo podatak kojeg još nismo iskoristili i pomoću njega zapišimo jednadžbu. . .

Primjer 10: Lete dva jata ptica. U prvom je jatu 2 puta više ptica nego u drugome. Ako 20 ptica iz drugog jata pređe u prvo jato, tada će u prvom jatu biti 3 puta više ptica nego u drugome. Koliko je ptica u kojem jatu? prije poslije 1. jato: 2 x 2 x+20 2. jato: x x-20 1. Pročitajmo tekst zadatka, uočimo što se traži, te zapišemo to. . . 2. Iz teksta zadatka uočimo koje jato ima manje ptica i broj ptica u tom jatu označimo sa x. . . 2 x + 20 = 3 • (x - 20) 3. Sad uočimo koliko je ptica u 1. jatu u odnosu na 2. jato i to zapišimo pomoću x. . . 2 x + 20 = 4. Sa 2 x i x smo označili brojeve ptica prije prelaska ptica iz jednog jata u drugo. Međutim, nakon prelaska stanje se promijenilo. Zabilježimo i to pomoću x. . . 3 x - 60 Kako ćemo riješiti ovu jednadžbu? Naravno, prvo se trebamo riješiti zagrade. Kako ćemo je se riješiti u ovom slučaju? Ispred zagrade je množenje, pa ćemo broj ispred zagrade (tj. broj 3) pomnožiti sa svakim pribrojnikom u zagradi. Sve prije tog broja 3 prepišemo. . . 5. Nakon što smo oba stanja (prije i poslije promjene) označili pomoću x, podvučemo. 6. U tekstu zadatka uočimo podatak kojeg još nismo iskoristili i pomoću njega zapišimo jednadžbu. . . 7. Riješimo jednadžbu. . .

Primjer 10: Lete dva jata ptica. U prvom je jatu 2 puta više ptica nego u drugome. Ako 20 ptica iz drugog jata pređe u prvo jato, tada će u prvom jatu biti 3 puta više ptica nego u drugome. Koliko je ptica u kojem jatu? prije 1. jato: 2. jato: poslije 2 x =2 • 80 2 x+20 x =160 = 80 x-20 =2 • 80+20 =180 = 80 -20 = 60 1. Pročitajmo tekst zadatka, uočimo što se traži, te zapišemo to. . . 2. Iz teksta zadatka uočimo koje jato ima manje ptica i broj ptica u tom jatu označimo sa x. . . 2 x + 20 = 3 • (x - 20) 3. Sad uočimo koliko je ptica u 1. jatu u odnosu na 2. jato i to zapišimo pomoću x. . . 2 x + 20 = 4. Sa 2 x i x smo označili brojeve ptica prije prelaska ptica iz jednog jata u drugo. Međutim, nakon prelaska stanje se promijenilo. Zabilježimo i to pomoću x. . . 3 x - 60 2 x - 3 x = -60 - 20 -x = -80 / : (-1) x = 80 U prvom je jatu 160, a u drugom 80 ptica. Ako se 20 ptica preseli iz drugog jata u prvo, nakon toga će u prvom jatu biti 180, a u drugom 60 ptica. 5. Nakon što smo oba stanja (prije i poslije promjene) označili pomoću x, podvučemo. 6. U tekstu zadatka uočimo podatak kojeg još nismo iskoristili i pomoću njega zapišimo jednadžbu. . . 7. Riješimo jednadžbu. . . 8. Dobiveno rješenje (broj) uvrstimo gore umjesto x. . . 9. Napišemo odgovor. 10. Provjeru napravi sam. . .

Primjer 11: U prvoj je vreći bilo 5 puta više brašna nego u drugoj. Iz prve vreće su 24 kg brašna presipana u drugu, te su nakon toga obje vreće postale jednako teške. Koliko je brašna u kojoj vreći bilo prije presipavanja, a koliko poslije? prije poslije 1. vreća: 5 x 5 x-24 2. vreća: x x+24 1. Pročitajmo tekst zadatka, uočimo što se traži, te zapišemo to. . . 2. Iz teksta zadatka uočimo u kojoj vreći ima manje brašna, te tu količinu brašna označimo sa x. . . 3. Sad uočimo koliko je brašna u 1. vreći u odnosu na 2. vreću i to zapišimo pomoću x. . . Ako je u 1. vreći bilo 5 x kg brašna Ako je u 2. vreći bilo x kg brašna i iz nje smo uzeli 24 kg brašna, i dosipana su 24 kg brašna, nakon toga u toj vreći ima - koliko brašna? 4. Sa 5 x i x smo označili količine brašna prije presipavanja. Označimo pomoću x i količine nakon presipavanja. . .

Primjer 11: U prvoj je vreći bilo 5 puta više brašna nego u drugoj. Iz prve vreće su 24 kg brašna presipana u drugu, te su nakon toga obje vreće postale jednako teške. Koliko je brašna u kojoj vreći bilo prije presipavanja, a koliko poslije? prije poslije 1. vreća: 5 x 5 x-24 2. vreća: x x+24 5 x - 24 = x + 24 Sjetimo se da nakon presipavanja u 1. vreći imamo 5 x-24 kg brašna, a u 2. vreći x+24 kg brašna. Tekst zadatka kaže da su te količine brašna jednake. Zapišimo to pomoću matematičkih simbola. . . 1. Pročitajmo tekst zadatka, uočimo što se traži, te zapišemo to. . . 2. Iz teksta zadatka uočimo u kojoj vreći ima manje brašna, te tu količinu brašna označimo sa x. . . 3. Sad uočimo koliko je brašna u 1. vreći u odnosu na 2. vreću i to zapišimo pomoću x. . . 4. Sa 5 x i x smo označili količine brašna prije presipavanja. Označimo pomoću x i količine nakon presipavanja. . . 5. Nakon što smo oba stanja (prije i poslije promjene) označili pomoću x, podvučemo. 6. U tekstu zadatka uočimo podatak kojeg još nismo iskoristili i pomoću njega zapišimo jednadžbu. . .

Primjer 11: U prvoj je vreći bilo 5 puta više brašna nego u drugoj. Iz prve vreće su 24 kg brašna presipana u drugu, te su nakon toga obje vreće postale jednako teške. Koliko je brašna u kojoj vreći bilo prije presipavanja, a koliko poslije? prije poslije 1. vreća: 5 x 5 x-24 2. vreća: x =5 • 12 =60 x+24 = 12 =5 • 12 -24 =36 = 12+24 = 36 5 x - 24 = x + 24 5 x - x = 24 + 24 4 x = 48 / : 4 x = 12 Prije presipavanja u 1. vreći je bilo 60 kg brašna, a u 2. vreći 12 kg. Nakon presipavanja u svakoj je vreći bilo 36 kg brašna. 1. Pročitajmo tekst zadatka, uočimo što se traži, te zapišemo to. . . 2. Iz teksta zadatka uočimo u kojoj vreći ima manje brašna, te tu količinu brašna označimo sa x. . . 3. Sad uočimo koliko je brašna u 1. vreći u odnosu na 2. vreću i to zapišimo pomoću x. . . 4. Sa 5 x i x smo označili količine brašna prije presipavanja. Označimo pomoću x i količine nakon presipavanja. . . 5. Nakon što smo oba stanja (prije i poslije promjene) označili pomoću x, podvučemo. 6. U tekstu zadatka uočimo podatak kojeg još nismo iskoristili i pomoću njega zapišimo jednadžbu. . . 7. Riješimo jednadžbu. . . 8. Dobiveno rješenje (broj) uvrstimo gore umjesto x. . . 9. Napišemo odgovor. 10. Provjeru napravi sam. . .

Opet zadaci za vježbu. . . Nakon sljedećeg klika prikazat će ti se rješenja zadataka da si možeš prekontrolirati jesi li dobro riješio. Sretno! 1. ) Zoran je imao 4 puta više autića od Gorana. Kad je Zoran izgubio 5 autića, ukupan broj Zoranovih i Goranovih autića bio je 10. Koliko je autića na početku imao koji dječak? 2. ) Tanja i Vanja dobile su bombonijere. U Tanjinoj bombonijeri bilo je 2 puta više bombona nego u Vanjinoj. Stoga je Tanja poklonila Vanji 7 bombona, pa su nakon toga imale jednako mnogo bombona. Koliko je koja dobila bombona? 3. ) U jednoj je bačvi bilo 3 puta više ulja nego u drugoj. Zatim je iz druge bačve istočeno 17 litara, a iz prve 6 litara, pa je u obje bačbe zajedno ostalo 105 litara ulja. Koliko je litara u kojoj bačvi bilo na početku? Rješenja: 1. ) Zoran je imao 12, a Goran 3 autića. Uputa: prije Zoran: 4 x Goran: x 4 x-5+x=10. . . poslije 4 x-5 x 2. ) Tanja je dobila 28, a Vanja 14 bombona. Uputa: prije Tanja: 2 x Vanja: x 2 x-7 = x+7. . . poslije 2 x-7 x+7 3. ) Na početku je u 1. bačvi bilo 96 litara, a u drugoj bačvi 32 litre ulja. Uputa: prije poslije 1. bačva: 3 x 3 x-6 2. bačva: x x-17 3 x-6+x-17 = 105. . .

Time smo došli do kraja ove cjeline. Nadam se da je bilo korisno, jasno i ne preteško.

Autorica prezentacije: Antonija Horvatek lipanj 2008.