Rjeavanje jednadbi 5 Jednadbe s razlomcima U ovoj

Rješavanje jednadžbi 5 Jednadžbe s razlomcima

U ovoj ćemo prezentaciji naučiti kako rješavati jednadžbe u kojima se pojavljuju razlomci, decimalni i/ili mješoviti brojevi. Prvo ćemo naučiti rješavati jednadžbe s razlomcima (jer su one osnovne), a tek onda one u kojima se pojavljuju i decimalni i/ili mješoviti brojevi. Ukoliko već znaš rješavati jednadžbe s razlomcima, te želiš proučiti samo kako se rješavaju one s decimalnim i/ili mješovitim brojevima, klikni na donji link: jednadžbe s decimalnim i/ili mješovitim brojevima. U suprotnom klikni bilo gdje izvan njega, te krenimo redom. . .

Prije nego što krenemo na jednadžbe s razlomcima, prisjetimo se nekih detalja u vezi razlomaka koji će nam biti od koristi pri rješavanju jednadžbi. . . Ponovimo i uočimo: a) 4 5 od 15 je 12 Kako to računamo? 15 : 5 • 4 = 12 Ako se želiš podsjetiti zašto tako računamo, klikni ovdje. U suprotnom klikni bilo gdje izvan tog linka.

Prije nego što krenemo na jednadžbe s razlomcima, prisjetimo se nekih detalja u vezi razlomaka koji će nam biti od koristi pri rješavanju jednadžbi. . . Ponovimo i uočimo: a) 4 5 od 15 je 12 Kako to računamo? 15 : 5 • 4 = 12 Isti zadatak možemo riješiti na još jedan način ! Naime, riječ od uvijek označava množenje ! Riješimo ga i na taj način: 4 • 15 = 3 51 12 1 Kratimo Kako se sa to računa? __. 5 = 12 Naravno, oba načina vode do istog rješenja!

Prije nego što krenemo na jednadžbe s razlomcima, prisjetimo se nekih detalja u vezi razlomaka koji će nam biti od koristi pri rješavanju jednadžbi. . . Ponovimo i uočimo: a) 4 5 od 15 je 12 b) 7 9 od 36 je 28 Kako smo to izračunali? 36 : 9 • 7 = 28 2. način:

Prije nego što krenemo na jednadžbe s razlomcima, prisjetimo se nekih detalja u vezi razlomaka koji će nam biti od koristi pri rješavanju jednadžbi. . . Ponovimo i uočimo: a) 4 5 od 15 je 12 b) 7 9 od 36 je 28 Kako smo to izračunali? 36 : 9 • 7 = 28 2. način: 7 • 36 = 4 91 28 1 Kratimo sa __. 9 = 28 Naravno, oba načina su nas opet dovela do istog rješenja!

Prije nego što krenemo na jednadžbe s razlomcima, prisjetimo se nekih detalja u vezi razlomaka koji će nam biti od koristi pri rješavanju jednadžbi. . . Ponovimo i uočimo: a) 4 5 od 15 je 12 b) 7 9 od 36 je 28 Imajući na umu prošle postupke, možeš li brzo napamet izračunati: c) 5 • 72 = 45 8 Vjerujem da imaš ideju: Umjesto simbola množenja • zamislit ćemo riječ od , tj. riješit ćemo zadatak 5 od 72 je 45 8 a njega lako riješimo napamet: 72 : 8 • 5 = 45

Prije nego što krenemo na jednadžbe s razlomcima, prisjetimo se nekih detalja u vezi razlomaka koji će nam biti od koristi pri rješavanju jednadžbi. . . Ponovimo i uočimo: a) 4 5 od 15 je 12 b) 7 9 od 36 je 28 Imajući na umu prošle postupke, možeš li brzo napamet izračunati: c) 5 • 72 = 45 8 d) 6 • 88 = 48 11 Računamo: 88 : 11 • 6 = 48

Prije nego što krenemo na jednadžbe s razlomcima, prisjetimo se nekih detalja u vezi razlomaka koji će nam biti od koristi pri rješavanju jednadžbi. . . Ponovimo i uočimo: a) 4 5 od 15 je 12 b) 7 9 od 36 je 28 Imajući na umu prošle postupke, možeš li brzo napamet izračunati: c) 5 • 72 = 45 8 d) 6 • 88 = 48 11 Uoči da je ovakav račun napamet moguć samo ako je prirodan broj s kojim množimo razlomak djeljiv s nazivnikom! Pri rješavanju jednadžbi s razlomcima koristit ćemo takav račun.

Jednadžbe s razlomcima

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: a) 4 5 x + 3 = 4 x 5 3 x 2 3 2 x - 4 = - 4 - 3 Jednadžbe s razlomcima možemo rješavati na dva načina. Jedan od njih je - rješavati na isti način kako smo i do sad. Riješimo ovu jednadžbu na taj način (a nakon toga ćemo i na drugi): Prvo trebamo sve nepoznanice staviti na lijevu stranu. Podcrtajmo ih da ih bolje uočimo. . . Podcrtano prebacimo na lijevu stranu! Ne zaboravimo da onim pribrojnicima koji mijenjaju stranu mijenjamo i predznak! S nepoznanicama smo gotovi, pa napišemo znak =. . . Sad poznanice (tj. sve nepodcrtano) ide na desnu stranu! Opet pazimo na to da onim pribrojnicima koji mijenjaju stranu mijenjamo i predznak!

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: a) 4 5 x + 3 = 4 x 5 -7 x 10 3 x 2 3 2 x - 4 = = - 7 - 4 - 3 : -7 10 Što sad? Izračunamo posebno izraz na lijevoj strani, a posebno na desnoj. Na lijevoj strani trebamo izračunati 4 5 8 - 15 3 = = 2 10 -7 10 4 5 Sad izračunamo izraz na desnoj strani. . . Što sad? Podijelimo jednadžbu s brojem uz x. . . 3 , a x ćemo prepisati. 2

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: a) 4 5 x + 3 = 4 x 5 -7 x 10 3 x 2 3 2 x - 4 = = - 7 - 4 - 3 : -7 10 x = 10 Kad lijevu stranu podijelimo sa -7/10, dobivamo. . . Kad desnu stranu dijelimo sa -7/10, računamo: -10 = -7 : -7 = -7 · 1 71 10 10 = 10 1

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: a) 4 5 x + 3 = 4 x 5 -7 x 10 3 x 2 3 2 x - 4 = = - 7 - 4 - 3 : -7 10 x = 10 Time smo riješili ovu jednadžbu. Kao što smo vidjeli, bilo je tu dosta računanja sa razlomcima. Na sreću, postoji i drugi način rješavanja ovakvih jednadžbi pri kojem se već na početku postupka riješimo razlomaka, te time izbjegnemo kasniji mukotrpan račun sa njima. Evo i tog postupka. . .

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: a) 4 5 x + 3 = 3 2 x - 4 2. način! · 10 Da bismo se riješili razlomaka, cijelu jednadžbu trebamo pomnožiti sa zajedničkim nazivnikom razlomaka. Dakle, prvo uočimo razlomke koje ovdje imamo. . . odnosno njihove nazivnike. . . Koji bi bio zajednički nazivnik tih razlomaka, odnosno broj koji je djeljiv sa oba nazivnika? Broj 10! Obje strane jednadžbe ćemo pomnožiti upravo sa tim brojem - brojem 10!

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: a) 4 5 x + 3 = 3 2 x - 4 2. način! · 10 8 x Svaki pribrojnik posebno trebamo pomnožiti sa 10. (Pribrojnici su međusobno odvojeni simbolima + i -. ) Krenimo redom: 4 x · 10. 5 Kako to izračunati? Prvo množimo Jednostavno!!! Na početku ove prezentacije uvježbali smo kako se napamet može pomnožiti 4 · 10 Računamo: 10: 5· 4 = 8 5 A x samo prepišemo uz taj rezultat. . .

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: a) 4 5 x + 3 = 3 2 x - 4 2. način! · 10 8 x + 30 = Sad računamo 3 · 10. Koliko je to?

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: a) 4 5 x + 3 = 3 2 x - 4 2. način! · 10 8 x + 30 = 15 x Kako izračunati 3 x · 10 ? 2 10: 2· 3 = 15 A x samo prepišemo uz taj rezultat. . .

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: a) 4 5 x + 3 = 3 2 x - 4 8 x + 30 = 15 x - 40 I na kraju, -4· 10 je. . . 2. način! · 10

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: a) 4 5 x + 3 = 3 2 x - 4 2. način! · 10 8 x + 30 = 15 x - 40 8 x - 15 x = -40 - 30 -7 x = -70 Što sad? Nepoznanice idu na lijevu stranu, a poznanice na desnu. . . A sad?

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: a) 4 5 x + 3 = 3 2 x - 4 2. način! · 10 8 x + 30 = 15 x - 40 8 x - 15 x = -40 - 30 -7 x x = -70 / : (-7) = 10 Sad sve dijelimo sa brojem uz x. . .

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: a) 4 5 x + 3 = 3 2 x - 4 2. način! · 10 8 x + 30 = 15 x - 40 8 x - 15 x = -40 - 30 -7 x x = -70 / : (-7) = 10 Time smo ovu jednadžbu riješili i na drugi način! Naravno, dobili smo isto rješenje koje smo dobili i na prvi način. Ti možeš rješavati na koji način želiš. (Oba načina vode do istog rješenja. ) Sad ćemo riješiti još nekoliko primjera na drugi način - tako da se odmah na početku riješimo razlomaka. . .

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: b) 1 x + 4 1 6 - 2 = 1 x - 2 2 1 3 · 12 Uočimo nazivnike. . . Koji bi bio najmanji zajednički nazivnik, odnosno najmanji broj djeljiv sa svim ovim nazivnicima? Broj 12! Stoga obje strane jednadžbe pomnožimo sa 12. . .

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: b) 1 x + 4 1 6 - 2 = 1 x - 2 2 Svaki pribrojnik pomnožimo sa 12: 1 x · 12. 4 Sjećaš li se kako to izračunati? Prvo množimo 1 3 · 12

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: b) 1 x + 4 1 6 - 2 = 1 x - 2 2 1 3 3 x + Svaki pribrojnik pomnožimo sa 12: 1 x · 12. 4 Sjećaš li se kako to izračunati? Prvo množimo Ovako: 12 : 4 • 1 = 3 A x samo prepišemo uz taj rezultat. . . · 12

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: b) 1 x + 4 1 6 - 2 = 1 x - 2 2 3 x + 1 · 12 6 Kako to izračunati? Sad množimo . 1 3 · 12

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: b) 1 x + 4 1 6 - 2 = 1 x - 2 2 3 x + 2 - 1 · 12 6 Kako to izračunati? Sad množimo 12 : 6 • 1 = 2 . 1 3 · 12

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: b) 1 x + 4 1 6 - 2 = 1 x - 2 2 3 x + 2 - 24 = Sad računamo 2 · 12. To je. . . 1 3 · 12

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: b) 1 x + 4 1 6 - 2 = 1 x - 2 2 3 x + 2 - 24 = 6 x - 1 x · 12. 2 Računamo: 12 : 2 • 1 = 6 Sad množimo A x samo prepišemo. . . 1 3 · 12

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: b) 1 x + 4 1 6 - 2 = 1 x - 2 2 1 3 3 x + 2 - 24 = 6 x - 24 - 4 · 12 Koliko je to?

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: b) 1 x + 4 1 6 - 2 = 1 x - 2 2 1 3 · 12 3 x + 2 - 24 = 6 x - 24 - 4 3 x - 6 x -3 x = -24 - 2 + 24 = -6 Sad više nemamo razlomke. Nastavljamo po starom - nepoznanice na lijevu, a poznanice na desnu stranu! Podvucimo nepoznanice. . . A sad?

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: b) 1 x + 4 1 6 - 2 = 1 x - 2 2 1 3 3 x + 2 - 24 = 6 x - 24 - 4 3 x - 6 x -3 x x = -24 - 2 + 24 = -6 / : (-3) = 2 Time je ova jednadžba riješena! · 12

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: c) 1 - 3 b = 1 15 b 5 Kako ćemo se ovdje riješiti razlomaka? S kojim brojem trebamo množiti cijelu jednadžbu? Imamo nazivnike 15 i 5. Zajednički nazivnik je 15, pa sa njime množimo. . .

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: c) 1 - 3 b = 1 15 b 5 · 15 1 - 45 b = 15 - 3 b Koje rezultate dobivamo sljedećim množenjima? Kod zadnjeg množenja računali smo: 15 : 5 · b, odnosno 15 : 5 = 3, 3 · b = 3 b. Umjesto toga, možemo si uz b u brojniku zamisliti broj 1 ( 1 b ), pa onda računamo 15 : 5 · 1, a b samo prepišemo. U oba slučaja dobivamo isti rezultat, naravno, 3 b !

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: c) 1 - 3 b = 1 15 b 5 · 15 1 - 45 b = 15 - 3 b -45 b + 3 b = 15 - 1 -42 b = 14 Što sad? Nepoznanice na lijevu, a poznanice na desnu stranu. . . A sad?

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: c) 1 - 3 b = 1 15 b 5 · 15 1 - 45 b = 15 - 3 b -45 b + 3 b = 15 - 1 / : (-42) -42 b = 14 b = -14 -1 42 3 -1 3

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: d) -x 29 6 30 = -1 - 2 x 5 · 30 -5 x Sa čime ćemo ovdje množiti da bismo se riješili razlomaka? Koje rezultate dobivamo sljedećim množenjima? Objašnjenje: Računali smo: 30 : 6 · (-x), odnosno 30 : 6 = 5, 5 · (-x) = -5 x. Umjesto toga, možemo si uz x u brojniku zamisliti broj -1 ( -1 x ), pa onda računamo 30 : 6 · (-1), a x samo prepišemo. U oba slučaja dobivamo isti rezultat, naravno, -5 x !

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: d) -x 29 6 30 -5 x - 29 = -1 - 2 x 5 = -30 - 12 x · 30

Primjer 1. : Riješi jednadžbe: d) -x 29 6 30 -5 x - 29 = -1 - 2 x 5 = -30 - 12 x -5 x + 12 x = -30 + 29 7 x = -1 7 / : 7 · 30

Time smo razjasnili kako se rješavaju jednadžbe u kojima se pojavljuju razlomci. Ako ti nešto nije jasno, vrati se na primjere iz prezentacije i ponovo ih prouči. Ako si sve shvatio, uzmi papir, prepiši na njega sljedeće zadatke i riješi ih! Nakon sljedećeg klika prikazat će ti se rješenja zadataka da si možeš prekontrolirati jesi li dobro riješio. Sretno! Rješenja: 1. ) Riješi jednadžbe: 7 a) x = -6 4 2 7 8 a) x+1= x 5 5 4 b) y = -2 -2 5 b) y + 7 = -5 y 3 3 9 c) x = x 1 3 x 2 13 c) + = 2 5 1 d) a = 1 6 d) 3 a + 2 = a + 7 7 7 3 1 e) b = 3 2 e) 2 b – 4 = b - 1 2

A ako se u zadacima pojavljuju decimalni i mješoviti brojevi?

Primjer 2. : Riješi jednadžbe: a) 0. 3 x - 2 = 1 1 - x 2 Imaš li ideju kako riješiti ovu jednadžbu? Vjerujem da imaš: Prvo ćemo decimalne i mješovite brojeve pretvoriti u razlomke, a zatim nastaviti rješavati kao u prošlim primjerima. Ako si zaboravio kako se decimalni i mješoviti brojevi pretvaraju u razlomke, klikni ovdje. U suprotnom klikni bilo gdje izvan tog linka.

Primjer 2. : Riješi jednadžbe: a) 0. 3 x - 2 = 1 3 x - 2 10 = 1 - x 2 3 - x 2 · 10 0. 3 pretvorimo u razlomak! Sad se riješimo razlomaka! (A x samo prepišemo. ) S kojim brojem trebamo množiti obje strane jednadžbe? Što dobivamo?

Primjer 2. : Riješi jednadžbe: a) 0. 3 x - 2 = 1 3 x - 2 10 3 x - 20 = = 1 - x 2 3 - x 2 · 10 15 - 10 x Koje rezultate dobivamo sljedećim množenjima?

Primjer 2. : Riješi jednadžbe: a) 0. 3 x - 2 = 1 3 x - 2 10 = = 13 x 3 - x 2 15 - 10 x 3 x - 20 = 3 x + 10 x 1 - x 2 15 + 20 = 35 x = 35 13 9 x = 2 13 / : 13 · 10

Primjer 2. : Riješi jednadžbe: b) -0. 04 x + 1. 2 = 2 Imaš li ideju kako riješiti ovu jednadžbu? Jedan od načina je da postupimo kao i u prošlom primjeru, tj. da sve decimalne brojeve pretvorimo u razlomke, zatim se riješimo razlomaka itd. Riješi ovu jednadžbu na taj način, zabilježi rješenje, a tek onda klikni dalje. . . Ova se jednadžba razlikuje od prošle po tome što u ovoj imamo samo decimalne i cijele brojeve, bez razlomaka i mješovitih brojeva! Stoga je možemo brzo i jednostavno riješiti i bez pretvaranja u razlomke. Evo kako: Prisjetimo se kako decimalne brojeve množimo sa 10, 1000. . . Množimo ih tako da decimalnu točku pomaknemo udesno za onoliko mjesta koliko broj s kojim množimo (10, 1000. . . ) ima nula! Pomicanjem točke udesno decimalan broj može postati prirodan broj! To je ono što želimo postići sa svim decimalnim brojevima u zadanoj jednadžbi. . .

Primjer 2. : Riješi jednadžbe: b) -0. 04 x + 1. 2 = 2 / · 100 Uočimo koji decimalni broj ima najviše decimala i koliko on decimala ima! Prvi broj ima najviše decimala i on ima dvije decimale! Stoga nam je cilj da se decimalne točke pomaknu za dva mjesta udesno! Sa kojim brojem trebamo pomnožiti da bi se to dogodilo? Sa 100! Stoga Obje strane jednadžbe pomnožimo sa 100!

Primjer 2. : Riješi jednadžbe: b) -0. 04 x + 1. 2 = 2 -4 x + 120 = / · 100 200 Koje rezultate dobivamo sljedećim množenjima?

Primjer 2. : Riješi jednadžbe: b) -0. 04 x + 1. 2 = 2 -4 x + 120 -4 x = = = / · 100 200 - 120 80 x = -20 / : (-4)

Time smo došli do kraja prezentacije. Naučili smo kako rješavati jednadžbe u kojima se pojavljuju razlomci, mješoviti i decimalni brojevi. Ako ti nešto nije jasno, vrati se na primjere iz prezentacije i ponovo ih prouči. Ako si sve shvatio, uzmi papir, prepiši na njega sljedeće zadatke i riješi ih! Nakon sljedećeg klika prikazat će ti se rješenja zadataka da si možeš prekontrolirati jesi li dobro riješio. Sretno! Rješenja: 1. ) Riješi jednadžbe: a) b = -3 1 3 b a) -1 + 0. 05 = b 4 5 b) -x - 2 1 = 3 b) x = -2 -x - 0. 5 3 c) c = -2 c) 0. 3 c - 2. 1 = c - 0. 7 d) 0. 03 x = 0. 7 + x e) a + 0. 5 = 1 1 a 4 2 3 4 1 5 d) x = -70 97 e) a = 14 25

Autorica prezentacije: Antonija Horvatek lipanj 2008.