Riset Operasi Program Linier Penyelesaian Simplek Penyelesaian Tugas

Riset Operasi Program Linier : Penyelesaian Simplek

Penyelesaian Tugas 1: PT CUAWAWATEKSTIL memiliki pabrik yang memproduksi 2 jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari, benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel berikut: Bahan Kg Bahan baku & Jam Tenaga kerja Kain Sutra Penyediaan/hari Kain Wol Benang Sutra 2 3 60 kg Benang Wol - 2 30 kg Tenaga Kerja 2 1 40 Jam Kedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40 juta untuk kain sutera dan Rp 30 juta untuk kain wol. Masalahnya adalah bagaimana menentukan jumlah unit setiap jenis produk yang akan diproduksi setiap hari agar keuntungan yang diperoleh bisa maksimal.

� Variabel Keputusan : � Jumlah maksimum yang diproduksi tiap hari agar keuntungan yang diperoleh maksimal � x 1=jumlah kain sutra � x 2=jumlah kain wol � x 1, x 2≥ 0 � Variabel Tujuan : � Maksimalkan f(x 1, x 2)=40 jtx 1+30 jtx 2

� Variabel Kendala : � 2 x 1+3 x 2≤ 60 � 2 x 2≤ 30 � 2 x 1+ x 1≤ 40 � 2 x 1+3 x 2=60 � Var=0, x 1=0 � 2(0)+3 x 2=60 � x 2=20 � A(0, 20) � Var=0, x 2=0 � 2 x 1+3(0)=60 � 2 x 1=60 � x 1=30 � B(30, 0)

x 2 Segitiga AOB A(0, 20) B(30, 0) 0 2 x 1+3 x 2=60 x 1

� 2 x 2=30 � � x 2=15 C(0, 15) � 2 x 1+x 2=40 � Var=0, x 1=0 � 2(0)+x 2=40 � D(0, 40) � Var=0, x 2=0 � 2 x 1+0=40 � x 1=20 � E(20, 0)

x 2 D(0, 40) Daerah Penyelesaian OEFGC A(0, 20) C C(0, 15) 0 G 2 x 2=30 F E E(20, 0) 2 x 1+x 2=40 B(30, 0) 2 x 1+3 x 2=60 x 1

� Maksimumkan � f(x 1, x 2)=40 x 1+30 x 2 � Titik O (0, 0) � fmax=40(0)+30(0)=0 � Titik E (20, 0) � Fmax=40(20)+30(0)=800 � Titik F (mencari titik potong F-G) � 2 x 1+3 x 2=60 sub 2 x 1+ 3 x 2=60 � 2 x 1+ x 2=40 2 x 1+3(10)=60 � 2 x 2=20 2 x 1=30 � x 2=10 x 1=15

� Masukan x 1, x 2 ke f(x 1, x 2)=40 x 1+30 x 2 � 40(15)+30(10)=900 (optional) � Titik G (perpotongan C) � 2 x 2=30 sub fmax=40 x 1+30 x 2 � x 2=15 = 40(7, 5)+30(15) � Sub ke 2 x 1+3 x 2=60 =750 � 2 x 1+3(15)=60 � 2 x 1=15 � x 1=7, 5

� Titik C(0, 15) � Fmax=40(0)+30(15) � =450 � Jadi untuk mencapai keuntungan maksimal dititik F, maka x 1=15, x 2=10 dengan keuntungan maksimal = 900 jt.

Metode Simplek � Metode Simplek adalah perluasan metode Grafik. Prinsip kerja metode Simplek dan grafik pada dasarnya sama, yaitu mencari nilai fungsi dititik ujung fisibel.

� Beberapa halyang perlu diperhatikan pada metode Simplek ; � 1. Semua kendala harus dalam bentuk persamaan, apabila kendala berbentuk pertidaksamaan, maka harus diubah kebentuk persamaan dengan menambahkan variabel slack. Koefisien variabel slackdalam fungsi sasaran = 0. � 2. Semua ruas kanan kendala tidak boleh negatif. Apabila ada kendala yang ruas kanannya negatif harus diubah dahulu menjadi tak negatif dengan mengalikan kendala tsb dengan (-1).

� Contoh : � Z=3 x 1+5 x 2 � Kendala � 1) 2 x 1 ≤ 8 � 2) 3 x 2 ≤ 15 � 3) 6 x 1+5 x 2 ≤ 30

� Penyelesaian : � Mengubah fungsi tujuan dan kendala � Fungsi tujuan : � Z=3 x 1+5 x 2 Z-3 x 1 -5 x 2=0 � Fungsi kendala: � 2 x 1 ≤ 8 2 x 1+x 3 = 8 � 3 x 2 ≤ 15 3 x 2+x 4=15 � 6 x 1+5 x 2 ≤ 30 6 x 1+5 x 2+x 5=30 � x 1, x 2, x 3 adalah variabel slack

� Menyusun persamaan-persamaan kedalam tabel Z Var Dasar X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 NK Z 1 -3 -5 0 0 X 3 0 2 0 1 0 0 8 0 0 3 0 15 X 5 0 6 5 0 0 1 30 X 4 index

� Memilih kolom kunci � Kolom kunci adalah kolom yang mempunyai nilai pada baris Z yang bernilai negatif dengan angka terbesar. Z Var Dasar X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 NK Z 1 -3 -5 0 0 X 3 0 2 0 1 0 0 8 0 0 3 0 15 X 5 0 6 5 0 0 1 30 X 4 index

� Memilih baris kunci � Index = Nilai Kanan (NK) � Nilai Kolom Kunci � Baris kunci adalah baris yang mempunyai index terkecil Z Var Dasar X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 NK index Z 1 -3 -5 0 0 X 3 0 2 0 1 0 0 8 ~ 0 0 3 0 15 5 X 5 0 6 5 0 0 1 30 6 X 4 Angka kunci Koefisien Kolom Angka Kunci

� Mengubah nilai baris kunci dengan cara membaginya dgn angka kunci � Baris baru kunci = baris kunci : angka kunci Z Var Dasar X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 NK index Z 1 -3 -5 0 0 X 3 0 2 0 1 0 0 8 ~ 0 0 1/3 0 5 5 X 5 0 6 5 0 0 1 30 6 X 2

� Mengubah nilai-nilai selain baris kunci sehingga nilai-nilai (selain baris kunci)=0 � Baris Z Baris lama NBBK -5 [ -3 -5 0 0 ] [ 0 1/3 0 5 ] -3 0 0 5/3 0 25 [ 2 0 1 0 0 8 ] [ 0 1/3 0 5 ] 2 0 1 0 0 8 Baris baru Baris lama NBBK 0 Baris baru Baris lama NBBK Baris baru 5 [ 6 5 0 0 1 30 ] [ 0 1/3 0 5 ] 6 0 0 -5/3 1 5

� Masukan ke dalam tabel Z Var Dasar X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 NK Z 1 -3 0 0 5/3 0 25 X 3 0 2 0 1 0 0 8 0 0 1/3 0 5 X 5 0 6 0 0 -5/3 1 5 X 2 index

� Melanjutkan perbaikan-perbaikan sampai nilai Z positif (tidak ada nilai negatif). Z Var Dasar X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 NK index Z 1 -3 0 0 5/3 0 25 X 3 0 2 0 1 0 0 8 4 0 0 1/3 0 5 ~ X 5 0 6 0 0 -5/3 1 5 5/6 X 2

Z Var Dasar X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 NK index Z 1 -3 0 0 5/3 0 25 X 3 0 2 0 1 0 0 8 4 0 0 1/3 0 5 ~ X 5 0 6 0 0 -5/3 1 5 5/6 X 2 Z Var Dasar X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 NK index Z 1 -3 0 0 5/3 0 25 X 1 0 1/2 0 0 4 ~ 0 0 1/3 0 5 5 X 5 0 6 0 0 -5/3 1 5 6 X 2

Baris lama NBBK -3 [ -3 0 0 5/3 0 25 ] [ 1 0 1/2 0 0 4 ] 0 0 3/2 5/3 0 37 Baris baru Baris lama NBBK 0 [ 0 1/3 0 5 ] [ 1 0 1/2 0 0 4 ] 0 1/3 0 5 Baris baru Baris lama NBBK Baris baru 6 [ 6 0 0 -5/3 1 5 ] [ 1 0 1/2 0 0 4 ] 0 0 -6/2 5/3 1 -19

Z Var Dasar X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 NK Z 1 0 0 3/2 5/3 0 37 X 1 0 1/2 0 0 4 0 0 1/3 0 5 X 5 0 0 0 -6/2 5/3 1 -19 X 2 � Diperoleh hasil x 1=4, x 2=5 zmax=37 index

� Soal : � Selesaikan linear program berikut ini dengan metode Simplex � Maksimumkan Z = 400 x 1 + 300 x 2 � Fungsi kendala/ batasan: � 1) 4 x 1 + 6 x 2 ≤ 1200 � 2) 4 x 1 + 2 x 2 ≤ 800 � 3) x 1 ≤ 250 � 4) x 2 ≤ 300