Riset Operasi Program Linier Penyelesaian Grafik Model Matematika

Riset Operasi Program Linier : Penyelesaian Grafik

Model Matematika Kasus 1 : Perusahaan mebel akan membuat meja dan kursi. Setiap meja membutuhkan 5 m 2 kayu jati dan 2 m 2 kayu pinus, dan membutuhkan waktu pembuatan selama 4 jam. Untuk membuat sebuah kursi dibutuhkan 2 m 2 kayu jati, 3 m 2 kayu pinus dan 2 jam kerja. Dari penjualan sebuah meja didapat keuntungan sebesar Rp. 12. 000, - dan keuntungan sebuah kursi Rp. 8. 000, Mebel itu ingin dibuat sebanyak-banyaknya, tapi terbatas bahan baku dan tenaga kerja. Dalam satu minggu ia hanya mampu mendapatkan 150 m 2 kayu jati, 100 m 2 kayu pinus serta hanya memiliki 80 jam kerja. Masalah : Berapa buah meja dan kursi yg harus ia buat melihat kendala yg ada, agar mendapat keuntungan sebesar-besarnya?

� Penyelesaian : � Keuntungan ditentukan oleh seberapa banyak meja dan kursi yang dibuat, maka variabel keputusan sbb: � x 1=Jumlah meja yang harus dibuat � x 2=Jumlah kursi yang harus dibuat � Tujuan : � Memaksimumkan keuntungan, sebuah meja Rp. 12000, - dan sebuah kursi Rp. 8000, -, karena membuat x 1 meja dan x 2 kursi maka total keuntungan yang diperoleh sebesar : � f(x 1, x 2)=12000 x 1+8000 x 2

� Kendala : Sumber Daya Meja Kursi Persediaan Kayu Jati 5 2 150 Kayu Pinus 2 3 100 Jam Kerja 4 2 80 � Dengan membuat x 1 buah meja dan x 2 buah kursi, maka kendala yang harus dipenuhi : � 5 x 1+2 x 2≤ 150 � 2 x 1+3 x 2≤ 100 � 4 x 1+2 x 2 ≤ 80 � x 1, x 2≥ 0

� Kasus 2: � Pada waktu menyelesaikan perbaikan rumahnya, Bp. Siang menemukan 100 m 2 plywood dan 80 m 2 tripleks sisa yang bisa ia manfaatkan utk membuat meja dan rak buku. � Untuk membuat sebuah meja diperlukan 16 m 2 plywood dan 8 m 2 tripleks, sedangkan utk membuat rak buku dibutuhkan 12 m 2 plywood dan 16 m 2 tripleks. Dengan menjual hasil pembuatannya tsb, Bp. Siang mampu memperoleh keuntungan sebesar 5 (ribu) utk setiap meja dan 4 (ribu) utk setiap rak buku. � Buatlah model yang optimal bagi Bp. Siang dalam memanfaatkan plywood dan tripleks yang tersisa tsb.

� Penyelesaian : � Hasil diperoleh dari plywood dan tripleks yang tersisa, maka variabel keputusan sbb: � x 1=Jumlah meja yang harus dibuat � x 2=Jumlah rak buku yang harus dibuat � Tujuan : � Memaksimalkan hasil, sebuah meja Rp. 5000, - dan sebuah rak buku Rp. 4000, - maka keuntungan yang diperoleh sebesar : � f(x 1, x 2)=5000 x 1+4000 x 2

� Kendala : Sumber Daya Meja Rak Buku Persediaan Plywood 16 12 100 Tripleks 8 16 80 � 16 x 1+12 x 2≤ 100 � 8 x 1+16 x 2≤ 80 � x 1, x 2≥ 0

Program Linier : Penyelesaian Grafik � Model Program Linier, � Masalah yang dapat diselesaikan dengan program linier memiliki ciri-ciri sbb: 1. Semua variabel penyusunnya bernilai tidak negatif. 2. Fungsi Objektif dapat dinyatakan sebagai fungsi linier variabel-variabelnya. 3. Kendala dapat dinyatakan sebagai suatu sistem persamaan linier.

� Bentuk Standar model program linier � Mencari X=(x 1, x 2, …, xn)≥ 0 yang memaksimumkan/meminimumkan f(X)=f(x 1, x 2, …, xn)=c 1 x 1+c 2 x 2+…+cnxn � Dengan kendala : � a 11 x 1+a 12 x 2+…+a 1 nxn=b 1 � a 21 x 1+a 22 x 2+…+a 2 nxn=b 2 �… � am 1 x 1+am 2 x 2+…+amnxn=bm

� � � Kasus 3 : Seorang Pengusaha bahan kimia membuat 2 macam cairan pembunuh serangga, yaitu jenis superior (C 1) dan jenis standar (C 2), kedua jenis cairan dibuat dari 2 macam bahan yang sama, yaitu A dan B dengan komposisi yang berbeda. Setiap liter cairan jenis superior dibuat dari campuran 1 unit bahan A dan 3 unit bahan B, sedangkan setiap liter jenis standar dibuat dari campuran 2 unit bahan A dan 1 unit bahan B. Karena keterbatasan pasokan, setiap hari ia hanya dapat memperoleh 20 unit bahan A dan 20 Unit bahan B. Untuk setiap liter cairan jenis superior yang ia buat, akan memperoleh keuntungan sebesar 30. 000. Untuk setiap liter cairan jenis standar, ia akan memperoleh keuntungan 20. 000. Jika diasumsikan bahwa semua cairan yang dibuat laku terjual, berapa literkah cairan masing-masing jenis harus ia buat tiap hari agar keuntungan yang didapat maksimum?

� Penyelesaian : � Variabel keputusan yang harus ditentukan adalah jumlah (liter) cairan kedua jenis yang harus dibuat (dengan keterbatasan bahan) agar keuntungan maksimum. � Karena ada 2 cairan penentu keuntungan, maka ada 2 variabel keputusan. � Misalkan; � x 1=jumlah cairan jenis superior � x 2=jumlah cairan jenis standar � x 1 dan x 2 ≥ 0 � Harga x 1 dan x 2 dicari agar keuntungan maksimum

� Fungsi sasaran yang akan dimaksimumkan adalah keuntungan. � Untuk tiap liter cairan C 1, keuntungan yang didapat adalah 30. 000, maka jika dibuat x 1 liter C 1, keuntungan yang didapat adalah 30. 000 C 1. � Cairan C 2, keuntungan yang diperoleh 20. 000, jika dibuat x 2 liter C 2, dan keuntungan yang didapat 20. 000 x 2. � Dengan demikian, keuntungan yang didapat jika dibuat x 1 liter C 1 dan x 2 liter C 2 adalah sebesar 30. 000 x 1+20. 000 x 2. � Fungsi sasaran : maksimumkan f(x 1, x 2)=30. 000 x 1+20. 000 x 2

� Variabel Bahan kendala: Cairan Superior (C 1) Cairan Standar (C 2) A 1 2 B 3 1 Untung 30. 000 20. 000 � Bahan Pasokan Maksimum 20 20 A: � Setiap liter C 1, membutuhkan 1 unit bahan A, maka untuk membuat x 1 liter C 1 dibutuhkan 1 x 1=x 1 unit bahan A. � Untuk membuat seliter C 2 dibutuhkan 2 unit bahan A, karena yang dibuat adalah x 2 liter C 2, maka dibutuhkan 2 x 2 unit bahan A.

� Secara keseluruhan, untuk membuat x 1 liter C 1 dan x 2 liter C 2 dibutuhkan bahan A sejumlah x 1+2 x 2 unit. � Karena persediaan bahan A sejumlah 20 unit, maka jumlah bahan A yang digunakan utk membuat C 1 dan C 2 tidak boleh lebih dari 20 unit. Didapat kendala : x 1+2 x 2≤ 20.

� Bahan B: � Untuk membuat x 1 liter C 1 dan x 2 liter C 2 dibutuhkan bahan B sejumlah 3 x 1+x 2. � Karena terbatasnya persediaan, hanya tersedia 20 unit, maka kendala yang harus dipenuhi adl : 3 x 1+x 2≤ 20

� Model untuk masalah pengusaha kimia tsb adl sbb: � Maksimumkan f(x 1, x 2)=30. 000 x 1+20. 000 x 2 � Kendala : x 1+2 x 2≤ 20 3 x 1+x 2≤ 20 � x 1, x 2≥ 0

Penyelesaian grafik � Kendala x 1+2 x 2≤ 20 (pertidaksamaan), ubah kebentuk persamaan x 1+2 x 2=20. � Untuk menggambar garis x 1+2 x 2=20, cari 2 titik berbeda yg memenuhi persamaan. � Misal, isikan variabel = 0, utk x 1=0, � maka 0+2 x 2=20 � x 2=20/2 � x 2=10 � Didapat titik A(0, 10)

� Variabel=0, utk x 2=0, � Maka x 1+2(0)=20 � x 1=20 � Didapat titik B(20, 0)

x 2 A(0, 10) B(20, 0) � Garis x 1+2 x 2=20 membagi kuadran I menjadi 2 bagian, segitiga AOB dan bidang tak terbatas.

x 2 A(0, 10) B(20, 0) � Karena, x 1+2 x 2≤ 20 maka x 1+2 x 2 tidak boleh lebih dari 20, AOB (garis arsir)

� Penggambaran bidang kendala 3 x 1+x 2≤ 20, dibuat persamaan 3 x 1+x 2=20 � Diujikan, misal variabel=0 utk x 1=0 � Maka 3(0)+x 2=20 � Didapat titik C(0, 20) � Variabel=0 utk x 2=0 � Maka 3 x 1+(0)=20 � 3 x 1=20 � x 1=20/3 � Didapat titik D(20/3, 0)

x 2 C(0, 20) A(0, 10) B(20, 0) D(20/3, 0) 3 x 1+x 2=20 � Garis x 1+2 x 2=20 3 x 1+x 2=20 membagi kuadran I menjadi 2 bagian, yaitu segitiga COD dan bidang tak hingga.

� Jika kembali diambil titik (0, 0) sebagai titik uji utk memenuhi bidang pertidaksamaan 3 x 1+x 2≤ 20 maka didapat 3(0)+0 ≤ 20 yang merupakan pertidaksamaan yang benar. Jadi penyelesaian pertidaksamaan 3 x 1+x 2≤ 20 adalah segitiga COD.

x 2 C(0, 20) A(0, 10) E B(20, 0) D(20/3, 0) 3 x 1+x 2=20 � x 1+2 x 2=20 Perpotongan bidang yang memenuhi semua kendala disebut daerah fisibel (perpotongan AOB dan COD), yaitu segiempat AEDO.

� Kemudian mencari koordinat daerah fisibel, titik E. Karena E merupakan perpotongan x 1+2 x 2=20 dan 3 x 1+x 2=20, maka koordinat dengan menyelesaikan kedua persamaan tsb: � x 1+2 x 2=20 (1 x) x 1+2 x 2=20 � 3 x 1+x 2=20 (2 x) 6 x 1+2 x 2=40 � -5 x 1=-20 � x 1=4 � Dengan men-substitusikan x 1=4 ke persamaan x 1+2 x 2=20 didapat x 2=8 � Jadi E=(4, 8)

� Langkah terakhir yaitu menentukan nilai fungsi dititik-titik sudut daerah fisible. Titik Sudut Daerah Fisibel O (0, 0) Nilai Fungsi = f(x 1, x 2) = 3 x 1+2 x 2 3(0)+2(0)=0 A (0, 10) 3(0)+2(10)=20 E (4, 8) 3(4)+2(8)=28 D (20/3, 0) 3(20/3)+2(0)=20 � Nilai fungsi maksimum terjadi pada titik E(4, 8) dengan nilai fungsi 28. � Maka supaya keuntungan maksimum, pengusaha kimia tsb harus membuat 4 liter cairan C 1 dan 8 liter C 2. Keuntungan maksimum yang didapat adalah 280. 000

� Kasus 4: � Seorang wirausaha membuat produk shampo mobil, yaitu Washcar Extra (W 1) dan Washcar Standar (W 2), keduanya dibuat dengan bahan yang sama Natrium Karbonat (NK) dan Natrium Bikarbonat (NB) dengan komposisi yang berbeda. � Setiap liter Washcar Extra dibuat dari 2 unit bahan NK dan 4 unit bahan NB sedangkan setiap liter Washcar Standar dibuat dari campuran 4 unit NK dan 1 unit NB. Dan setiap hari hanya mendapat 20 unit NK dan 20 unit NB dari suplier. � Keuntungan yang diperoleh produk Washcar Extra sebesar Rp. 150. 000 dan Washcar standar Rp. 100. 000 � Berapa liter yang harus dibuat tiap hari agar keuntungan maksimum?

� End of Day