RICORSIONE DEFINIZIONI RICORSIVE Definizione ricorsiva definizione di una

RICORSIONE: DEFINIZIONI RICORSIVE Definizione ricorsiva: definizione di una classe di “oggetti” in termini di una sottoclasse degli “oggetti” stessi. Consiste di due fasi 1) BASE. Si definiscono uno o più “oggetti” 2) PASSO Induttivo. Si definiscono altri “oggetti” a partire da quelli già definiti. Es. n fattoriale: n!=1 x 2 x…xn= prodotto dei primi n interi Definizione ricorsiva di n fattoriale, f(n): BASE. f(1)=1 PASSO. f(n)=f(n-1)Xn, per n>1 Applicando successivamente il passo induttivo a partire da f(1) otteniamo: f(2)=f(1)x 2=2, f(3)=f(2)x 3=2 x 3=6, f(4)=f(3)x 4=6 x 4=24, …

Definizione ricorsiva di n fattoriale, f(n): BASE. f(1)=1 PASSO. f(n)=f(n-1)Xn Mostriamo che la definizione data è corretta, cioè consideriamo la seguente affermazione S(n): f(n)=n! e dimostriamo che S(n) vera per ogni n>1.

Definizione ricorsiva di n fattoriale, f(n): BASE. f(1)=1 PASSO. f(n)=f(n-1)Xn Mostriamo che la definizione data è corretta, cioè consideriamo la seguente affermazione S(n): f(n)=n! e dimostriamo che S(n) vera per ogni n>1. Dimostrazione per induzione. BASE. n=1. Si ha f(n)=1=1! S(1) vera

Definizione ricorsiva di n fattoriale, f(n): BASE. f(1)=1 PASSO. f(n)=f(n-1)Xn Mostriamo che la definizione data è corretta, cioè consideriamo la seguente affermazione S(n): f(n)=n! e dimostriamo che S(n) vera per ogni n>1. Dimostrazione per induzione. BASE. n=1. Si ha f(n)=1=1! S(1) vera PASSO. Assumiamo come i. i. che S(n) vera (f(n)=n!). Vogliamo mostrare che S(n+1) è vera.

Definizione ricorsiva di n fattoriale, f(n): BASE. f(1)=1 PASSO. f(n)=f(n-1)Xn Mostriamo che la definizione data è corretta, cioè consideriamo la seguente affermazione S(n): f(n)=n! e dimostriamo che S(n) vera per ogni n>1. Dimostrazione per induzione. BASE. n=1. Si ha f(n)=1=1! S(1) vera PASSO. Assumiamo come i. i. che S(n) vera (f(n)=n!). Vogliamo mostrare che S(n+1) è vera. Si ha f(n+1)=f(n)x(n+1)=n!x(n+1) (per i. i. ) =(1 x…xn)x(n+1)=1 x…x(n+1)= (n+1)! Quindi S(n+1) è vera.

Definizione ricorsiva dell’ordine lessicografico Definiamo in modo ricorsivo coppie di stringhe W ed X tali che W<X Indichiamo con e la stringa vuota. BASE. 1. e<W, per ogni stringa W non vuota 2. se c<d (c, d caratteri) allora per ogni coppia di stringhe W, X risulta c. W<d. X PASSO. Date le stringhe W ed X, se W<X allora per c ogni carattere c risulta c. W<c. X

Definizione ricorsiva dell’ordine lessicografico BASE. 1. e<W, per ogni W non vuota 2. se c<d c. W<d. X, per ogni W, X PASSO. W<X c. W<c. X, per ogni carattere c Esercizio. Mostrare che se X<Y secondo la definizione ricorsiva data, allora X precede Y in ordine lessicografico. [Suggerimento: procedere per induzione sulla lunghezza del prefisso comune alle due stringhe] Ricorda: Ordine lessicografico Data una coppia di sequenze c 1 c 2 …ck, d 1 d 2…dm risulta c 1 c 2 …ck < d 1 d 2…dm 1) se k<m e c 1=d 1, …, ck=dk (la prima è l’inizio della seconda) 2) oppure c 1=d 1, . . , ci-1=di-1, ci<di per qualche i. (ordine dato dal primo simbolo in cui le due sequenze differiscono)

Definizione ricorsiva dell’ordine lessicografico BASE. 1. e<W, per ogni W non vuota 2. se c<d c. W<d. X, per ogni W, X PASSO. W<X c. W<c. X, per ogni carattere c Esercizio. Mostrare che se X<Y secondo la definizione ricorsiva data, allora X precede Y in ordine lessicografico. [Suggerimento: procedere per induzione sulla lunghezza del prefisso comune alle due stringhe] Affermazione S(n): Date due stringhe X, Y con prefisso comune lungo n, se X<Y allora X precede Y in ordine lessicografico Si vuole provare che S(n) vera per ogni n>0.

Definizione ricorsiva di espressioni aritmetiche BASE. Singole variabili, interi e reali sono espressioni aritmetiche PASSO. Se E 1 ed E 2 sono espressioni aritmetiche allora (E 1+E 2), (E 1 -E 2), (E 1*E 2), (E 1/E 2), (-E 1) sono espressioni aritmetiche.

Definizione ricorsiva di espressioni aritmetiche BASE. Singole variabili, interi e reali sono espressioni aritmetiche PASSO. Se E 1 ed E 2 sono espressioni aritmetiche allora (E 1+E 2), (E 1 -E 2), (E 1*E 2), (E 1/E 2), (-E 1) sono espressioni aritmetiche. Es. (y*(-(x+9)) è una espressione aritmetica.

Definizione ricorsiva di espressioni aritmetiche BASE. Singole variabili, interi e reali sono espressioni aritmetiche PASSO. Se E 1 ed E 2 sono espressioni aritmetiche allora (E 1+E 2), (E 1 -E 2), (E 1*E 2), (E 1/E 2), (-E 1) sono espressioni aritmetiche. Es. (y*(-(x+9)) è una espressione arirmetica. Verifica: Usando la BASE: x, y e 9 sono espressioni aritmetiche

Definizione ricorsiva di espressioni aritmetiche BASE. Singole variabili, interi e reali sono espressioni aritmetiche PASSO. Se E 1 ed E 2 sono espressioni aritmetiche allora (E 1+E 2), (E 1 -E 2), (E 1*E 2), (E 1/E 2), (-E 1) sono espressioni aritmetiche. Es. (y*(-(x+9)) è una espressione arirmetica. Verifica: Usando la BASE: x, y e 9 sono espressioni aritmetiche Usando il PASSO: x e 9 sono e. a. (x+9) è e. a.

Definizione ricorsiva di espressioni aritmetiche BASE. Singole variabili, interi e reali sono espressioni aritmetiche PASSO. Se E 1 ed E 2 sono espressioni aritmetiche allora (E 1+E 2), (E 1 -E 2), (E 1*E 2), (E 1/E 2), (-E 1) sono espressioni aritmetiche. Es. (y*(-(x+9)) è una espressione arirmetica. Verifica: Usando la BASE: x, y e 9 sono espressioni aritmetiche Usando il PASSO: x e 9 sono e. a. Usando il PASSO: (x+9) è e. a. (-(x+9)) è e. a.

Definizione ricorsiva di espressioni aritmetiche BASE. Singole variabili, interi e reali sono espressioni aritmetiche PASSO. Se E 1 ed E 2 sono espressioni aritmetiche allora (E 1+E 2), (E 1 -E 2), (E 1*E 2), (E 1/E 2), (-E 1) sono espressioni aritmetiche. Es. (y*(-(x+9))) è una espressione arirmetica. Verifica: Usando la BASE: x, y e 9 sono espressioni aritmetiche Usando il PASSO: x e 9 sono e. a. (x+9) è e. a. Usando il PASSO: (x+9) è e. a. (-(x+9)) è e. a. Usando il PASSO: y e (-(x+9)) e. a. (y*(-(x+9))) è e. a.

FUNZIONI RICORSIVE All’interno della funzione P c’è una chiamata a P (su input diverso).

FUNZIONI RICORSIVE All’interno della funzione P c’è una chiamata a P (su input diverso). Funzioni ricorsive Definizioni ricorsive Es. Calcolo di n! usando la definizione ricorsiva di fattoriale. Base. 1!=1 Passo. n!= (n-1)! X n

FUNZIONI RICORSIVE All’interno della funzione P c’è una chiamata a P (su input diverso). Funzioni ricorsive Definizioni ricorsive Es. Calcolo di n! usando la definizione ricorsiva di fattoriale. Base. 1!=1 Passo. n!= (n-1)! X n Int fact(int n) { if(n<=1) return 1 /*Base*/ else return n*fact(n-1); /*Passo*/ }

Int fact(int n) { if(n<=1) return 1 /*Base*/ else return n*fact(n-1); /*Passo*/ } n=1: fact(1) termina e restituisce 1!=1

Int fact(int n) { if(n<=1) return 1 /*Base*/ else return n*fact(n-1); /*Passo*/ } n=1: n=2: fact(1) termina e restituisce 1!=1 fact(2) chiama 1 fact(1)

Int fact(int n) { if(n<=1) return 1 /*Base*/ else return n*fact(n-1); /*Passo*/ } n=1: n=2: n=3: fact(1) termina e restituisce 1!=1 fact(2) fact(3) chiama 1 chiama 2 fact(1) fact(2) chiama 1 fact(1)

Int fact(int n) { if(n<=1) return 1 /*Base*/ else return n*fact(n-1); /*Passo*/ } n=1: n=2: n=3: fact(1) termina e restituisce 1!=1 fact(2) fact(3) chiama 1 chiama fact(1) fact(2) chiama 2 n: fact(n) chiama (n-1)! fact(n-1) fact(1) 1 chiama (n-2)! … chiama 1 fact(1)

Selection. Sort RICORSIVO Idea alla base del Selection. Sort: Array A diviso in due parti A[0. . i-1] ordinato A[i. . n-1] elementi più grandi da ordinare 1. Trova min A[i. . n-1], sia A[small] 2. Scambia A[i] ed A[small] 3. 2. Ordina la parte non ordinata, cioè A[i+1. . n-1]

Selection. Sort RICORSIVO Idea alla base del Selection. Sort: Array A diviso in due parti A[0. . i-1] ordinato A[i. . n-1] elementi più grandi da ordinare 1. Trova min A[i. . n-1], sia A[small] 2. Scambia A[i] ed A[small] 3. 2. Ordina la parte non ordinata, cioè A[i+1. . n-1] BASE. Se i=n-1, la parte da ordinare PASSO. Se i<n-1, trova min A[i. . n-1], è A[n-1], ok. scambialo con A[i]; ordina (ricorsivamente) A[i+1. . n-1]

Selection. Sort RICORSIVO BASE. Se i=n-1, la parte da ordinare PASSO. Se i<n-1, trova min A[i. . n-1], è A[n-1], ok. scambialo con A[i]; ordina (ricorsivamente) A[i+1. . n-1] void Rec- Selection. Sort(int A[], int i, int n) int j, small, temp; { if (i<n-1) /* Base: i=n-1, Esci*/ { /*Esegui Passo*/ small=i; for(j=i+1, j<n, j++) if (A[j]<A[small]) small=j; /*trova min*/ temp=A[small]; A[small]=A[i]; A[i]=temp; /*scambia*/ Rec-Selection. Sort(A, i+1, n) } }

Numeri di FIBONACCI BASE. fib(0)=fib(1)=1; PASSO. fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)

Numeri di FIBONACCI BASE. fib(0)=fib(1)=1; PASSO. fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) int Fib (int n) { if (i<=1) return 1 /* Base*/ else return Fib(n-1)+Fib(n-2); /* Passo*/ }

Numeri di FIBONACCI int Fib (int n) { if (i<=1) return 1 /* Base*/ else return Fib(n-1)+Fib(n-2); /* Passo*/ } n=0, oppure n=1: restituisce 1 Fib(1) n=2: Fib(2)

Numeri di FIBONACCI int Fib (int n) { if (i<=1) return 1 /* Base*/ else return Fib(n-1)+Fib(n-2); /* Passo*/ } n=0, oppure n=1: restituisce 1 Fib(1) n=2: Fib(2) Fib(0)

Numeri di FIBONACCI int Fib (int n) { if (i<=1) return 1 /* Base*/ else return Fib(n-1)+Fib(n-2); /* Passo*/ } n=0, oppure n=1: restituisce 1 Fib(1) n=2: Fib(2) Fib(0) Fib(1) Fib(2) n=3: Fib(3) Fib(0)

Numeri di FIBONACCI int Fib (int n) { if (i<=1) return 1 /* Base*/ else return Fib(n-1)+Fib(n-2); /* Passo*/ } n=0, oppure n=1: restituisce 1 Fib(1) n=2: Fib(2) Fib(0) Fib(1) Fib(2) n=3: Fib(3) Fib(0) Fib(1)

Numeri di FIBONACCI int Fib (int n) { if (i<=1) return 1 /* Base*/ else return Fib(n-1)+Fib(n-2); /* Passo*/ } Fib(1) Fib(2) n=3: Fib(3) Fib(0) Fib(1) Fib(2) Fib(3) n=4: Fib(4) Fib(0) Fib(1)

Numeri di FIBONACCI int Fib (int n) { if (i<=1) return 1 /* Base*/ else return Fib(n-1)+Fib(n-2); /* Passo*/ } Fib(1) Fib(2) n=3: Fib(3) Fib(0) Fib(1) Fib(2) Fib(3) n=4: Fib(4) Fib(0) Fib(1) Fib(2) Fib(0)

INDUZIONE COMPLETA Vogliamo dimostrare che S(n) vale per ogni intero n>a. Dimostrazione per induzione completa: 1. BASE INDUTTIVA. Si dimostra che l’affermazione è vera per il primo valore, cioè S(a) è vera. 2. PASSO INDUTTIVO. Assumiamo che 3. S(a), S(a+1), …, S(n-1) 4. sono tutte vere e dimostriamo che anche S(n) è vera.

VALIDITA’ delle dim. per INDUZIONE Completa Dim. per induzione Base: S(a) vera S(n) vera, ogni n>a Passo induttivo Minimo controesempio. Supponiamo S(n) falsa per qualche n. Sia b il più piccolo intero tale che S(b) falsa. DEDUCIAMO: Se b=a contraddiciamo la base. Quindi b>a. Essendo b-1>a e b = minimo intero per cui l’affermazione è falsa, si ha S(a), …, S(b-1) vere Per il Passo Induttivo, se S(a), …, S(b-1) sono vere allora anche S(b) è vera. Abbiamo una contraddizione con l’assunzione che S(b) falsa. Quindi ipotesi è sbagliata e non esiste intero per cui l’affermazione è falsa.

Numeri di FIBONACCI int Fib (int n) { if (n<=1) return 1 /* Base*/ else return Fib(n-1)+Fib(n-2); /* Passo*/ } Mostriamo per induzione completa l’affermazione S(n): il numero di chiamate fatte per calcolare Fib(n) è maggiore di fib(n). Per ogni n > 2

Numeri di FIBONACCI int Fib (int n) { if (n<=1) return 1 /* Base*/ else return Fib(n-1)+Fib(n-2); /* Passo*/ } Mostriamo per induzione completa l’affermazione S(n): il numero di chiamate fatte per calcolare Fib(n) è maggiore di fib(n). Per ogni n > 2 1. BASE INDUTTIVA. S(2) è vera. 2. 2. PASSO Ind. S(2), …, S(n-1) implicano S(n) vera.

Numeri di FIBONACCI int Fib (int n) { if (n<=1) return 1 /* Base*/ else return Fib(n-1)+Fib(n-2); /* Passo*/ } Mostriamo per induzione completa l’affermazione S(n): il numero di chiamate fatte per calcolare Fib(n) è maggiore di fib(n). Per ogni n>1. BASE. Se n=2 abbiamo 3 chiamate, fib(2)=2. S(2) è vera.

Numeri di FIBONACCI int Fib (int n) { if (n<=1) return 1 /* Base*/ else return Fib(n-1)+Fib(n-2); /* Passo*/ } Mostriamo per induzione completa l’affermazione S(n): il numero di chiamate (ricorsive) fatte per calcolare Fib(n) è maggiore di fib(n). Per ogni n>1. BASE. Se n=2 abbiamo 3 chiamate, fib(2)=2. S(2) vera. PASSO. Assumiamo S(2), …, S(n-1) vere. Il numero di chiamate fatte per calcolare Fib(n) è 1+(numero chiamate per Fib(n-1)) +(numero chiamate per Fib(n-2))> (per i. i. ) 1+fib(n-1)+fib(n-2)=1+fib(n)>fib(n) Quindi S(n) vera.

Numeri di FIBONACCI BASE. fib(0)=fib(1)=1; PASSO. fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) Esercizio. Mostrare per induzione completa l’affermazione S(n): Per ogni n>5.

Numeri di FIBONACCI BASE. fib(0)=fib(1)=1; PASSO. fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) Esercizio. Scrivere un programma iterativo per il calcolo di fib(n). Nota: è sufficiente un ciclo iterativo (con n iterazioni)

Sorting: MERGESORT Vogliamo ordinare lista (a 1, …, an). 1. Dividi lista in 2 sottoliste aventi (quasi) la stessa 2. dimensione: (a 1, a 3, a 5, …) e (a 2, a 4, …) 3. 2. Ordina le due liste separatamente 4. 3. Fai “merge” delle due lista ottenute (ordinate) in una 5. unica lista ordinata

Sorting: MERGESORT Esempio di una tecnica generale: “Divide and Conquer” Sottoproblema 1 (simile, più semplice) Sottoproblema 2 Problema …… Sottoproblema n Ogni sottoproblema risolto con la stessa tecnica. Finchè non si raggiunge un sottopr. risolvibile direttamente.

Sorting: MERGESORT Esempio di una tecnica generale: “Divide and Conquer” Sottoproblema 1 (simile, più semplice) Sottoproblema 2 Problema …… Sottoproblema n Ogni sottoproblema risolto con la stessa tecnica. Finchè non si raggiunge un sottopr. risolvibile direttamente. soluzione Sottoproblema 1 soluzione Sottoproblema 2 … … soluzione Sottoproblema n soluzione Problema

Sorting: MERGESORT Vogliamo ordinare lista (a 1, …, an). 1. Dividi lista in 2 sottoliste aventi (quasi) la stessa 2. dimensione: (a 1, a 3, a 5, …) e (a 2, a 4, …) 3. 2. Ordina le due liste separatamente 4. 3. Fai “merge” delle due lista ottenute (ordinate) in una 5. unica lista ordinata

MERGE (di due liste ordinate L 1, L 2 M) Es. L 1=(1, 2, 7, 7, 9), L 2=(2, 4, 7, 8) M=(1, 2, 2, 4, 7, 7, 7, 8, 9) - Trova il minimo tra il primo elemento di L 1 e di L 2 Rimuovilo dalla lista di appartenenza ed aggiungilo ad M. - Ripeti Es. L 1=(1, 2, 7, 7, 9), L 2=(2, 4, 7, 8), M=(), minimo=1 in L 1

MERGE (di due liste ordinate L 1, L 2 M) Es. L 1=(1, 2, 7, 7, 9), L 2=(2, 4, 7, 8) M=(1, 2, 2, 4, 7, 7, 7, 8, 9) - Trova il minimo tra il primo elemento di L 1 e di L 2 Rimuovilo dalla lista di appartenenza ed aggiungilo ad M. - Ripeti Es. L 1=(1, 2, 7, 7, 9), L 2=(2, 4, 7, 8), L 1=(2, 7, 7, 9), L 2=(2, 4, 7, 8), M=(), minimo=1 in L 1 M=(1), minimo=2 in L 1

MERGE (di due liste ordinate L 1, L 2 M) Es. L 1=(1, 2, 7, 7, 9), L 2=(2, 4, 7, 8) M=(1, 2, 2, 4, 7, 7, 7, 8, 9) - Trova il minimo tra il primo elemento di L 1 e di L 2 Rimuovilo dalla lista di appartenenza ed aggiungilo ad M. - Ripeti Es. L 1=(1, 2, 7, 7, 9), L 2=(2, 4, 7, 8), M=(), minimo=1 in L 1=(2, 7, 7, 9), L 2=(2, 4, 7, 8), M=(1), minimo=2 in L 1=(7, 7, 9), L 2=(2, 4, 7, 8), M=(1, 2), minimo=2 in L 2

MERGE (di due liste ordinate L 1, L 2 M) L 1=(1, 2, 7, 7, 9), L 2=(2, 4, 7, 8), M=(), minimo=1 in L 1=(2, 7, 7, 9), L 2=(2, 4, 7, 8), M=(1), minimo=2 in L 1=(7, 7, 9), L 2=(2, 4, 7, 8), M=(1, 2), minimo=2 in L 2 L 1=(7, 7, 9), L 2=(4, 7, 8), L 1=(7, 7, 9), L 2=(7, 8), L 1=(7, 9), L 1=(9), L 2=(7, 8), L 1=(9), L 2=(8), L 1=(9), L 2=(), Aggiungi L 2 ad M. M=(1, 2, 2), minimo=4 in L 2 M=(1, 2, 2, 4), minimo=7 in L 1 M=(1, 2, 2, 4, 7), minimo=7 in L 1 M=(1, 2, 2, 4, 7, 7), minimo=7 in L 2 M=(1, 2, 2, 4, 7, 7, 7), minimo=8 in L 1 M=(1, 2, 2, 4, 7, 7, 7, 8), L 2 vuota M= =(1, 2, 2, 4, 7, 7, 7, 8, 9).

MERGESORT BASE: Se la lista contiene 0 o 1 elemento, stop Ind. : Split di (a 1, a 2, …) in (a 1, a 3, …) e (a 2, a 4, …) Mergesort delle due liste separatamente Merge delle 2 liste ordinate

MERGESORT 7 -4 -2 -8 -9 -7 -7 -2 -1

MERGESORT 7 -4 -2 -8 -9 -7 -7 -2 -1 7 -2 -9 -7 -1 4 -8 -7 -2

MERGESORT 7 -4 -2 -8 -9 -7 -7 -2 -1 4 -8 -7 -2 7 -2 -9 -7 -1 7 -9 -1 2 -7

MERGESORT 7 -4 -2 -8 -9 -7 -7 -2 -1 4 -8 -7 -2 7 -2 -9 -7 -1 7 -9 -1 7 -1 9 2 -7

MERGESORT 7 -4 -2 -8 -9 -7 -7 -2 -1 4 -8 -7 -2 7 -2 -9 -7 -1 7 -9 -1 7 9 1 2 -7

MERGESORT 7 -4 -2 -8 -9 -7 -7 -2 -1 4 -8 -7 -2 7 -2 -9 -7 -1 7 -9 -1 7 -1 9 7 1 1 -7 2 -7

MERGESORT 7 -4 -2 -8 -9 -7 -7 -2 -1 4 -8 -7 -2 7 -2 -9 -7 -1 7 -9 -1 7 -1 9 7 1 1 -7 -9 9 2 -7

MERGESORT 7 -4 -2 -8 -9 -7 -7 -2 -1 4 -8 -7 -2 7 -2 -9 -7 -1 7 -9 -1 7 1 7 1 1 -7 2 -7 9 2 7 1 -7 -9 1 -2 -7 -7 -9 2 -7

MERGESORT 7 -4 -2 -8 -9 -7 -7 -2 -1 4 -8 -7 -2 7 -2 -9 -7 -1 7 -9 -1 7 1 7 1 1 -7 2 -7 4 -7 9 2 7 1 -7 -9 1 -2 -7 -7 -9 2 -7 8 -2

MERGESORT 7 -4 -2 -8 -9 -7 -7 -2 -1 4 -8 -7 -2 7 -2 -9 -7 -1 7 -9 -1 7 1 7 1 1 -7 2 -7 4 -7 8 -2 9 2 7 4 7 1 -7 -9 1 -2 -7 -7 -9 2 -7 4 -7

MERGESORT 7 -4 -2 -8 -9 -7 -7 -2 -1 4 -8 -7 -2 7 -2 -9 -7 -1 7 -9 -1 7 1 7 1 1 -7 2 -7 4 -7 8 -2 9 2 7 4 7 8 2 1 -7 -9 1 -2 -7 -7 -9 2 -7 2 -8 4 -7 2 -4 -8 -7

MERGESORT 7 -4 -2 -8 -9 -7 -7 -2 -1 4 -8 -7 -2 7 -2 -9 -7 -1 7 -9 -1 7 1 7 1 1 -7 2 -7 4 -7 8 -2 9 2 7 4 7 8 2 1 -7 -9 2 -7 2 -8 4 -7 2 -4 -7 -8 1 -2 -7 -7 -9 1 -2 -2 -4 -7 -7 -7 -8 -9