Richiami Teorici di Relativit Trasformazione di coordinate Per

Richiami Teorici di Relatività

Trasformazione di coordinate • Per semplicità consideriamo due sistemi inerziali S(x, y, z, t) e S’ (x’, y’, z’, t’) i cui assi siano paralleli e il cui moto relativo con velocità v avvenga lungo la direzione comune dell’asse x, x’ y y’ v x z x’ z’ 2 2

Trasformazioni di Galileo • In fisica classica le trasformazioni di coordinate tra i due sistemi inerziali sono quelle di Galileo • L’ultima eq. stabilisce il fatto che in fisica classica il tempo è assoluto, cioè non dipende dal sistema di riferimento 3 3

Trasformazioni di Lorentz • In relatività, come in fisica classica, si postula che il tempo sia omogeneo e lo spazio sia omogeneo e isotropo, il che implica che le equazioni di trasformazione siano lineari • Inoltre, aggiungendo i due postulati specifici della teoria della relatività, si deduce l’insieme di trasformazioni di coordinate spazio-temporali di Lorentz 4 4

Determinazione di a 11, a 14 • Al piano x’=0, in moto con velocita` v rispetto a S lungo l’asse x, corrisponde x=vt per ogni y, z • viceversa a x’=0, corrisponde x’=-vt’ per ogni y’, z’ • Quindi dev’essere • Usando il principio di relativita` si puo` dimostrare che 5

Determinazione dei coefficienti • Con considerazioni relative alla coincidenza degli altri due piani coordinati si puo` dimostrare che y’ dipende solo da y e z’ solo da z: • Vediamo ora come usando il principio di relativita` si possa dimostrare che i coefficienti a 22, a 33 valgono 1: 6

Determinazione di a 22 Trasformazione diretta Trasformazione inversa • Supponiamo infatti di disporre nel sistema S un regolo di lunghezza unitaria lungo l’asse y: • In S’ la misura della lunghezza di questo regolo sarà • Scambiamo i ruoli dei due sistemi: se ora un regolo unitario è posto in S’ lungo l’asse y’: • in S la misura della lunghezza di questo regolo sarà 7

Determinazione di a 22 Trasformazione diretta Trasformazione inversa • Siccome la trasformazione inversa si può anche scrivere • Avremo che • Confrontiamo ora le misure ottenute nei due sistemi, occorre che sia • altrimenti i due sistemi non soddisfarrebbero il principio di relatività • Questo significa che e di conseguenza 8

Determinazione di a 41, a 44 • Dalle relazioni • Possiamo ricavare le trasformazioni per il tempo 9

Determinazione del coefficiente • Usando il postulato della costanza della velocita` della luce possiamo determinare l’ultima incognita • Immaginiamo un’onda luminosa sferica che si propaga dall’origine delle coordinate • Nel sistema S, al tempo t, la superficie sferica avra` raggio • Similmente nel sistema S’ avremo 10

Determinazione del coefficiente • Sottraendo membro a membro e riordinando, otteniamo • Sostituendo le espressioni di x’, t’ in funzione di x, t, otteniamo • Da questa identità, segue che i coefficienti dei termini corrispondenti devono essere uguali 11

Determinazione del coefficiente • In particolare il coefficiente del termine misto dev’essere nullo • Da cui segue • Posto gamma si puo` riscrivere 12

Trasformazioni di Lorentz • Le trasformazioni di Lorentz (Td. L) sono dunque 13 13

Trasformazioni di Lorentz • Le trasformazioni inverse per passare dal sistema S’ al sistema S si possono ottenere invertendo il sistema lineare precedente • Si possono anche ottenere più semplicemente usando il principio di relativita` e osservando che S si muove con velocità -v rispetto a S’ 14 14

Trasformazioni di Lorentz • Queste eqq. diventano più simmetriche se si introduce la variabile x 0=ct, nel qual caso, dette x 1=x, x 2=y, x 3=z, abbiamo • E in forma matriciale • Ove L è la matrice associata alla Td. L 15 15

Spazio-tempo • Possiamo introdurre uno spazio astratto a quattro dimensioni (lo spazio-tempo) e considerare la quaterna (x 0, x 1, x 2, x 3) come un vettore in tale spazio, ovvero un quadri-vettore (o 4 -vettore) • Le Td. L trasformano le componenti di questo vettore tra loro, in particolare ‘mescolano’ lo spazio e il tempo 16 16

Conseguenze cinematiche • Dilatazione del tempo: supponiamo che un orologio a riposo nel sistema S’ in un punto di coordinata x’ misuri un intervallo di tempo • Per trovare il corrispondente intervallo di tempo T in S, applichiamo l’eq. di trasformazione del tempo, ricordando che x’ 2 = x’ 1 • Sottraendo membro a membro 17 17

Dilatazione del tempo • Quindi si ha cioè una dilatazione del tempo • Questo significa che se misuriamo il tempo caratteristico di un sistema fisico (o biologico) che non sia in quiete nel nostro sistema di riferimento inerziale (SRI), la misura produce un valore maggiore di quella effettuata nel SRI in cui il sistema fisico (o biologico) e` in quiete • Ovvero il ritmo del nostro orologio è maggiore di quello dell’orologio nel sistema in moto, fatto che si esprime dicendo che l’orologio in moto ritarda • A differenza degli orologi di uno stesso SRI, che hanno lo stesso ritmo, orologi in diversi SRI in moto relativo hanno ritmi diversi 18 18

Dilatazione del tempo • Consideriamo un orologio in quiete in S’, il cui ritmo e` dato dal tempo di andata e ritorno T’ tra due specchi paralleli distanti h’ y’ h’ S’ x’ • Nel sistema S, rispetto a cui S’ e gli specchi si muovono con velocita` v, i due specchi distano h=h’ e il cammino ottico del raggio luminoso è • ove Dx e` lo spazio percorso dagli specchi nel tempo in cui il raggio percorre l v S l h Dx 19 19

Dilatazione del tempo v • Valgono le relazioni • Risolvendo per h S l h Dx • e quindi T , il ritmo dell’orologio misurato nel sistema S, risulta • Ma poiche’ • Ne concludiamo che 20 20

Muoni atmosferici • I raggi cosmici sono formati da particelle che, provenienti dallo spazio, interagiscono con i nuclei delle molecole d’aria dell’atmosfera, dando origine a sciami di particelle, alcune delle quali raggiungono terra • Tra queste c’è il muone, una particella instabile di massa pari a 106 Me. V e vita media ’ = 2. 2 s • I muoni vengono prodotti ad un’altezza di circa 15 km da terra, con un’energia media di 4 Ge. V • Qual è la distanza che un muone percorre in media prima di decadere? Siccome a questa energia la velocità del muone è circa c, la risposta sembrerebbe semplicemente 21 21

Muoni atmosferici • Ma se così fosse, come potremmo osservare muoni a terra? • Il punto è che ’ è la vita media nel sistema di riferimento S’ in cui il muone è a riposo, non nel sistema S in cui si trova l’osservatore • Noi osserviamo una vita media dilatata del fattore e quindi lo spazio percorso dai muoni è • Per muoni di 4 Ge. V di energia il fattore vale circa 40, per cui la vita media nel sistema S risulta 22 22

Muoni atmosferici • La lunghezza di decadimento è • più che sufficiente per raggiungere terra 23 23

Conseguenze cinematiche • Contrazione delle lunghezze: siano x 1’ , x 2’ le estremità di un regolo disposto lungo x’ fermo nel sistema S’, la cui lunghezza in S’ vale • Per trovare la corrispondente lunghezza L in S, applichiamo l’eq. di trasformazione di x, x’ tenendo conto che t 2 = t 1 • Sottraendo membro a membro e invertendo 24 24

Contrazione delle lunghezze • Quindi • si ha cioè una contrazione della lunghezza • Ovvero: se misuriamo la lunghezza di un oggetto che non sia in quiete nel nostro sistema di riferimento, la misura produce un valore minore di quella effettuata nel sistema di riferimento in cui l’oggetto e` in quiete 25 25

Grandezze proprie • La lunghezza di un regolo nel sistema in cui è fermo si dice lunghezza propria L 0 • La misura di una lunghezza e` sempre minore o uguale alla lunghezza propria L<L 0 • Il tempo segnato da un orologio nel sistema in cui è a riposo si dice tempo proprio T 0 • La misura di un tempo e` sempre maggiore o uguale al tempo proprio T>T 0 26 26

Contrazione delle lunghezze (2) • Un altro modo di ottenere il risultato si basa sulla dilatazione del tempo • Supponiamo di essere solidali al sistema S’ in moto con velocita` v rispetto al sistema S • Sia L 0 la lunghezza propria di un oggetto in quiete in S (cioe` quella misurata in S) • Ora, invece di misurare le due estremita` dell’oggetto in moto allo stesso tempo, le misuriamo nello stesso luogo x’ in due istanti diversi t 1’, t 2’ corrispondenti al nostro passaggio davanti alle estremita` dell’oggetto S’ (x’, t 1’) v S’ (x’, t 2’) v 27 27

Contrazione delle lunghezze (2) • Noi transitiamo da un’ estremità all’altra nell’intervallo • dove L’ e` la lunghezza da determinare e Dt’ è un intervallo di tempo proprio, in quanto misurato con un solo orologio • Un osservatore in S, solidale con l’oggetto, ci vede transitare da un’ estremità all’altra in un intervallo di tempo • Intervallo non proprio, in quanto misurato con due orologi, uno per ciascuna estremità 28 28

Contrazione delle lunghezze (2) • La relazione tra gli intervalli di tempo nei due sistemi e` • E per conseguenza la lunghezza misurata in S’ vale 29 29

Sfasamento degli orologi • Due orologi sincronizzati A’, B’, a riposo nel sistema S’, posti in punti con diversa coordinata x’ (x’A, x’B), risultano sfasati per un osservatore nel sistema S • Nel sistema S misuriamo, ad un dato istante t. A=t. B, i tempi segnati da A e B (gli orologi in S corrispondenti a A’, B’) 30

Sfasamento degli orologi • Da cui segue • Cioè più l’orologio con coordinata x’ maggiore (B) è lontano dall’altro (A), più grande è il suo ritardo di fase su questo • Per l’osservatore nel sistema S, i due orologi, pur avendo ugual ritmo (rallentato rispetto a quello degli orologi in S), non risultano sincronizzati 31

Sfasamento degli orologi • La cosa può essere vista anche con le trasformazioni inverse, in funzione della distanza tra gli orologi (lungo la direzione del moto relativo) misurata in S (di nuovo t. A=t. B) • Da cui • Notare che una distanza lungo direzioni diverse da x non influisce sullo sfasamento 32

Relatività della simultaneità • È conseguenza della finitezza della velocità limite • Supponiamo di avere due sistemi, S e S’, in moto relativo con velocità v • In ciascun sistema ci sia un regolo, a riposo, e disposto parallelamente al moto S S’ v 33 33

Relatività della simultaneità descrizione in S • Supponiamo di essere gli osservatori del sistema S e di trovarci in O • Supponiamo che un fulmine colpisca il nostro regolo (in S) nel punto A (e il regolo di S’ nel punto A’) e un secondo fulmine colpisca il nostro regolo nel punto B (e l’altro regolo nel punto B’) • A e B siano equidistanti da O A A’ A’ O B S B’ B’ S’ v 34 34

Relatività della simultaneità descrizione in S • Poiché siamo equidistanti dai punti A e B, possiamo dire che i due fulmini hanno colpito simultaneamente se (e solo se) riceviamo la loro luce in O nello stesso istante • Se questo è il caso, allora possiamo concludere che per l’osservatore O’ in S’, posto a metà tra i punti A’ e B’ i due eventi non sono simultanei A O B S A’ O’ B’ S’ 35 35

Relatività della simultaneità descrizione in S • Questo è dovuto al fatto che mentre la luce si muove da A e B verso O’, con velocità c, O’ si muove a sinistra con velocità v, allontanandosi da A e avvicinandosi a B A O B v S t 1 S’ O’ A t 0 S’ O’ A S O B O’ v t 2 S S’ v 36 36

Relatività della simultaneità descrizione in S • L’osservatore in O’ riceverà quindi prima il segnale da B’ e successivamente quello da A’ • Trovandosi a metà strada dai due punti, ne conclude che l’evento in B’ è antecedente a quello in A’ cioè gli eventi, simultanei in S, non lo sono in S’ • È chiaro che se la luce avesse velocità infinita, essa raggiungerebbe sia O che O’, sia da DX che da SX, in un tempo nullo, e quindi i due eventi sarebbero simultanei sia in S che in S’ A O B S A’ O’ B’ S’ v 37 37

Relatività della simultaneità (2) descrizione in S • In S si ha: e AB=L e` una lunghezza propria • S giudica che per S’ i due fulmini non siano simultanei ma siano separati temporalmente da un intervallo di tempo che in S vale A O B S S’ O’ A t 1 O B O’ v t 2 S S’ v 38 38

Relatività della simultaneità (2) descrizione in S • Ove t 1 e` il tempo che la luce impiega (in S) per andare da B=B’ a O’ e t 2 quello per andare da A=A’ a O’ • t 1 e` tale per cui mentre la luce percorre lo spazio BO’=ct 1, O’ si muove a destra di O della quantita` vt 1 ovvero • e quindi A O B t 1 S S’ O’ t 2 A O B O’ v S S’ v 39 39

Relatività della simultaneità (2) descrizione in S • Similmente t 2 è tale per cui mentre la luce percorre lo spazio AO’=ct 2, O’ si muove a destra di O della quantita` vt 2 ovvero • E quindi A O B O’ t 2 S S’ v 40 40

Relatività della simultaneità (2) descrizione in S • Tra i due fulmini intercorre dunque il tempo • Questo tempo non e` proprio, in quanto in S gli istanti di tempo vengono registrati da due orologi diversi: ciascuno in corrispondenza della posizione occupata dal punto O’ rispetto ad S quando O’ riceve i due segnali 41 41

Relatività della simultaneità (2) descrizione in S’ • Come descrive i fatti l’osservatore in S’? • Innanzitutto se per S A O A’ O’ B S B’ S’ v 42 42

Relatività della simultaneità (2) descrizione in S’ • Allora S’, a causa della contrazione delle lunghezze, concludera` che la lunghezza di A’B’ (propria in S’) vale v A A’ O B O’ S B’ S’ • mentre per AB misurera` la lunghezza 43 43

Relatività della simultaneità (2) descrizione in S’ • L’intervallo di tempo tra i due fulmini (in S’) si puo` calcolare notando che esso corrisponde al tempo impiegato dal regolo in S per spostarsi dalla posizione in cui B=B’ a quella in cui A=A’ e quindi v t’ 1 O A’ v t’ 2 A A A’ O’ O S O’ S’ S B S’ B’ B B’ 44 44

Relatività della simultaneità (2) • Questo intervallo è proprio perchè gli istanti di tempo in cui i segnali dei fulmini arrivano in O’ vengono registrati da un solo orologio, quello in O’ • La relazione tra gli intervalli di tempo nei due sistemi deve dunque essere • Che, riscrivendo le formule trovate, è proprio quel che accade 45 45

GPS • Nel sistema Global Positioning System (GPS) sono considerati gli effetti relativistici sul tempo • Qui è presente anche un effetto di relatività generale: orologi posti in potenziali gravitazionali diversi risentono di una diversa dilatazione del tempo • Questo effetto si sovrappone al quello della relatività ristretta, con il risultato che il tempo scorre in modo diverso sui satelliti e al suolo 46

GPS • Le differenze sono minuscole, ma senza correzione non riusciremmo a localizzare la nostra posizione • La precisione nella posizione dipende dalla precisione con cui misuriamo il tempo di andata e ritorno dei segnali scambiati tra il nostro apparecchio e i satelliti orbitanti • Se vogliamo una precisione spaziale di qualche metro, ci serve una precisione temporale di una decina di nanosecondi 47

GPS • L’effetto di relatività ristretta ammonta a circa 7 s/giorno di ritardo dell’orologio del satellite rispetto al nostro a terra • Il minor potenziale gravitazionale in cui si trova il satellite comporta un anticipo di circa 45 s/giorno • In totale avremmo 38 s/giorno di anticipo e siccome ogni microsecondo corrisponde a 300 metri, ignorare le correzioni relativistiche comporterebbe un errore maggiore di 10 km/giorno 48

Trasformazione della velocità • La velocita` di un corpo, in ciascun sistema di riferimento, e` definita come rapporto tra intervallo spaziale percorso e intervallo di tempo necessario a percorrerlo • In S avremo quindi la coppia dr, dt cui corrisponde in S’ la coppia dr’, dt’ e le velocita` sono y y’ S’ S x z v x’ z’ 49 49

Trasformazione della velocità • Calcoliamo la trasformazione della velocità per componenti • Sia ux la componente della velocità u di un corpo lungo x nel sistema S, vogliamo trovare il valore ux’ della componente lungo x’ della velocità u’ nel sistema S’ • Differenziando le eqq. di trasformazione 50 50

Trasformazione della velocità • Facendo il rapporto dei differenziali troviamo la velocità 51 51

Trasformazione della velocità • Sia uy la componente della velocità u di un corpo lungo y nel sistema S, vogliamo trovare il valore uy’ della componente lungo y’ della velocità u’ nel sistema S’ • Differenziando le eqq. di trasformazione 52 52

Trasformazione della velocità • Facendo il rapporto dei differenziali troviamo la velocità • E similmente per la componente lungo z 53 53

La velocità della luce nei sistemi inerziali • Vediamo il caso particolare in cui la luce in S e` diretta lungo y, allora • In S’ le componenti saranno • E il modulo della velocità 54 54

La velocità della luce è uguale in tutti i sistemi inerziali • Lo si puo` dimostrare nel caso piu` generale verificando la relazione • inserendo nella formula le componenti della velocita` nel sistema S’ 55 55

Trasformazione dell’accelerazione • Si possono trovare le eqq. di trasformazione dell’accelerazione partendo dalle definizioni 56 56

Trasformazione dell’accelerazione • E analogamente per le componenti y e z 57 57

Quantità di moto • Si puo` dimostrare che in relatività bisogna introdurre una nuove definizione di quantità di moto (di un punto materiale di massa m), affinche’ il principio di conservazione di questa grandezza continui a valere • La definizione classica • viene ora sostituita da 58

Energia cinetica • Vogliamo trovare l’espressione dell’energia cinetica per una particella che viene accelerata da una forza F da velocità iniziale u. A fino ad una velocità u. B 59 59

Energia cinetica • Partiamo dal lavoro elementare • Esplicitiamo il differenziale della QM • Il lavoro è 60 60

Energia cinetica • Esprimiamo u in funzione di • Il lavoro della forza esterna si ritrova come variazione di energia cinetica del corpo (th. dell’energia cinetica) 61 61

Energia cinetica • L’energia cinetica si può scrivere come • Per determinare la costante poniamo u. A=0, in tal caso =1 e K=0, ne segue • L’energia cinetica è dunque • Si introduce anche l’energia relativistica • Tale relazione stabilisce l’equivalenza tra massa ed energia • Il termine è la cosiddetta energia a riposo, cioè quella posseduta dal corpo fermo 62 62

Relazione tra K e p in meccanica classica • Possiamo esprimere K in funzione di p eliminando v dalle equazioni classiche • Troviamo le relazioni 63 63

Relazione tra E e p in relatività • Similmente in relatività eliminiamo v dalle eqq. • Dividendo membro a membro otteniamo • Reintroducendo u in • e sostituendo in E abbiamo 64 64

Particelle senza massa • Un’onda em può essere considerata come un insieme di fotoni, particelle senza massa che viaggiano alla velocità fissa c • Molte delle relazioni che abbiamo trovato perdono di significato per particelle di massa nulla • La relazione • continua invece a valere e diviene semplicemente 65 65

Casi limite di E e p in relatività • Caso u<<c , diventa • QM ed energia diventano, all’ordine piu` basso in u • L’energia cinetica diventa • Cioè ritroviamo le espressioni newtoniane • Caso ultrarelativistico u~c , QM ed energia diventano 66 66

Conservazione di E • Si puo` dimostrare che l’energia relativistica E di un sistema isolato si conserva • Poiche’ E è somma di energia cinetica K e energia a riposo, ne segue che, in generale, ne’ K ne’ l’energia a riposo (la ‘massa’) si conservano separatamente • Vediamo un esempio 67

Conservazione di E • Supponiamo di avere due corpi di massa m che si urtano centralmente con velocità uguali e contrarie • Inizialmente abbiamo una massa, un’energia cinetica e un’energia relativistica pari a 68

Conservazione di E • Supponiamo che l’urto sia totalmente anelastico, nello stato finale avremo un unico oggetto fermo di massa M • Dopo l’urto abbiamo una massa, un’energia cinetica e un’energia relativistica pari a 69

Conservazione di E • Applichiamo ora la conservazione di E • Ne segue che • cioè la massa finale è maggiore della massa iniziale • Poiche’ l’urto è totalmente anelastico, c’è perdita di energia cinetica 70

Conservazione di E • Per il primo principio della termodinamica ci dev’essere una produzione di calore Q (<0) pari alla perdita di energia cinetica • Dal punto di vista relativistico, a questo calore corrisponde l’aumento di massa del sistema • Questo è un’esempio di equivalenza tra massa ed energia 71

Conservazione di E • In realtà il concetto di massa va pensato non come somma delle sole masse dei singoli costituenti il sistema, ma anche dell’energia interna del sistema • In tal modo la ‘massa relativistica’ si conserva, è infatti un’altro modo di scrivere la conservazione dell’energia relativistica 72