Ricerca Operativa 3 a parte Metodo del Simplesso

Ricerca Operativa 3 a parte

Metodo del Simplesso • Eliminazione gaussiana Forma canonica • Cambiamento base Pivoting • Ottimizzazione 10/21/2021 2

PIVOTING: 1 a interpretazione Forma standard a 11 x 1+······+ a 1 nxn= b 1 a 21 x 1+······+ a 2 nxn= b 2 ········· am 1 x 1+······+ amnxn= bm (Eliminazione di Gauss) Forma canonica x 1+ x 2+ 10/21/2021 y 1, m+1 xm+1+····+ y 1, nxn = y 1, 0 y 2, m+1 xm+1+····+ y 2, nxn = y 2, 0 ········· xm + ym, m+1 xm+1+···+ ym, nxn = ym, 0 3

soluzione: x 1 = y 1, 0, ·····, xm = ym, 0 xm+1=···= xm= 0 sistema in forma tabulare 1 Forma canonica tabulare 0 ···y 1, r· 0 y 1, m+1···y 1, s ··· y 1, n ··· ·· 0 ···yr, r· 0 yr, m+1···yr, s ··· yr, n ··· ·· 0·ym, r· 1 ym, m+1···ym, s ··· ym, n y 1, 0 yr, 0 ym, 0 componenti di 10/21/2021 4

Cambiamento di base- Pivoting Sostituzione di xr con xs Se yrs 0 • i = r , j • y’r, j = yr, j/ yr, s i r , j = s y’i, s = 0 (y’i, s = yi, s - (yr, s/ yr, s ) i=0 i= yi, s ) • i r , j s y’i, j = yi, j - (yr, j/ yr, s )yi, s -------------------------------- 1 0 ··· y 1, m+1···y 1, s ··· y 1, n y 1, 0 ··· ··· 1 0·· yi, m+1···yi, s ··· yi, n yr, 0 1 0·· yr, m+1···yr, s ··· yr, n yr, 0 ··· ··· 0 1 ym, m+1···ym, s ··· ym, n ym, 0 10/21/2021 5

esempio 2 x 1+ x 2+x 3=2 x 1+2 x 2+x 3=3 a b a 1 2 1 a 2 a 3 1 1 2 1 b 2 3 eliminazione di gauss: 1 o passo 1 a 1 1/2 1 b 0 3/2 1/2 si ottiene sottraendo alla riga b la a già trasformata, cioè la 1 a 1 2 2 a 1 2 b 0 2 o passo 0 1/3 1 1/3 4/3 2 a si ottiene sottraendo a 1 a la 2 b moltiplicata per 1/2 Si ottiene moltiplicando per 2/3 la 1 b SBP x 1=1/3 , x 2=4/3, x 3=0 10/21/2021 6

Cambiamento di base r 1 0 0 1 1/3 variabili di base x 1, x 2 sostituire var. x 3 a x 2 r = 2, s = 3 , yr, s =y 2, 3 =1/3 0 pivot yr, s y’r, j = yr, j/ yr, s per i = r y’i, j = yi, j - (yr, j/ yr, s )yi, s per i r 1/3 4/3 s 3 o passo 3 b 1 -1 0 -1 3 a 0 3 1 4 x. B=(x 1, x 3)= (-1, 4) x. N = x 2 = 0 x. T=(-1, 0, 4) non è soluzione base possibile 10/21/2021 7

PIVOTING: 2 a interpretazione in Rm Forma standard a 11 x 1+······+ a 1 nxn= b 1 a 21 x 1+······+ a 2 nxn= b 2 ········· am 1 x 1+······+ amnxn= bm Soluzione base ponendo a zero(n-m) coefficienti Forma tabulare canonica 1 0 ·· · 0 y 1, m+1···y 1, s ··· y 1, n ··· 0 ·· ·· ·· 1· · 0 yr, m+1···yr, s ··· yr, n ··· ·· ·· yr, 0 ·· 0·· 1 ym, m+1···ym, s ··· ym, n 10/21/2021 y 1, 0 ym, 0 8

Trasformazioni Si esprime ar in termini degli altri vettori di base e di as 10/21/2021 9

L’operazione di pivoting fa passare da una s. b. all’altra • Non garantisce la non negatività • Hp: ogni s. p. sia non degenere

Determinazione vettore uscente x 1 a 1+······+ xmam= b as vettore entrante as =y 1 sa 1 +······+ ymsam as = y 1 sa 1+······+ yms am (x 1 - y 1 s) a 1+(x 2 - y 2 s) a 2+ ··+ (xm- yms) am + as = b = mini{xi/yis : yis > 0 } = xr/yrs = yr 0/yrs, i=r casi particolari soluzione degenere (minimo per più indici) soluzione illimitata (yis < 0, i ) 10/21/2021 11

Cambiamento di base a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 b 1 0 0 1 1 2 12 0 1 0 2 3 1 60 0 0 1 4 90 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 b 1 0 0 1 1 2 12 -2 1 0 0 1 -3 36 -4 0 1 0 -3 -4 42 X 1=0 10/21/2021 X 2=36 X 3=42 X 4=12 X 5=0 X 6=0 12

Ricerca soluzione possibile ottima • min c. T x (max c. T x = - min c. T x ) • vettore di base per ridurre il valore della f. o. : x z =c 1 x 1+······+ cnxn per x = (x. B, 0) z 0= x. B con se la soluzione non è di base x. N 0 sostituendo posto analogamente 10/21/2021 13

Rappresentazione grafica x 2 (2, 6) 2 x 2 = 12 Max z = 3 x 1 + 5 x 2 R 1 3 x 1 + 2 x 2 = 18 R 2 2 x 2 12 R 3 3 x 1 + 2 x 2 18 x 1 , x 2 (4, 3) K x 1 = 4 4 x 1 3 x 1 + 5 x 2 = 36 x 1 10/21/2021 3 x 1 + 5 x 2 = 15 3 x + 5 x = 18 14 1 2 0

Teor. Miglioramento soluzione base possibile Data una SBP non degenere con valore z 0 per la f. o. , • se (cj-zj) < 0 per qualche j SBP con z < z 0 • sia j=s, se yis>0 (as può sostituire un vettore di base) si ottiene una nuova SBP con z < z 0 • se yis 0, i (as non può sostituire un vettore di base) l’insieme K delle soluzioni è illimitato e f. o. - 10/21/2021 15

(cj-zj) Costi ridotti = Coefficienti di variabili non basiche in uno spazio ridotto interpretazione di sia 10/21/2021 : , 16

Costi ridotti e costi ombra Costi ombra (x 1 - y 1 s) a 1+(x 2 - y 2 s) a 2+ ····+ (xm- yms) am + as = b = min{xi/ yis: yis >0} n. b. xi = yi 0 10/21/2021 17

Corollario: Se xj è var di base Teor: Condizioni di ottimalità Se per qualche s. b. p. si verifica che j sol. ottima

Min 5 x 1+3 x 2+4 x 3+6 x 4 6 x 1+4 x 2+2 x 3+ x 4 = 2 x 1+ 3 x 2+5 x 3+6 x 4 = 3 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Rappresentazione costi ombra C z 3 z 0 j a’ 1 a’ 3 c 3 a’ 2 b y 10/21/2021 1 j a 1 a’ 4 a 2 y 2 j a 4 a 3 19

significato economico dei costi ridotti • zj costo del prodotto sintetico è il costo di una unità della colonna aj • calcolato secondo i prodotti di base • se cj - zj< 0 più vantaggioso il prodotto naturale del prodotto sintetico

procedura del metodo del simplesso Dato il sistema in forma canonica a 1 a 2···am am+1 as an 1 0 ··· y 1, m+1···y 1, s ··· y 1, n ··· 1 0·· yr, m+1···yr, s ··· yr, n ··· 1 ym, m+1···ym, s ··· ym, n 00 0 b y 1, 0 yr, 0 ym, 0 -z 0 SBP xi=yi 0 con i=1, m , xi=0 i=m+1, n

passi Scelta vettore entrante • Se • se per qualche j determinazione vettore uscente • se stop - soluzione ottima stop - soluzione illimitata altrimenti • scegli l’indice r t. c. è l’elemento pivot per aggiornare la tavola

Formule di trasformazione pivot per i r per i=r tavola del simplesso c 1 …cr. . . riga c. B IB a 1 …ar. . . 1 ci 1 y 10. . … …… m cim im ym 0 m+1 con cm cm+1 … cs. . . am am+1 … as. . . y 11 …y 1 r y 1 m y 1, m+1 ym 1 …ymr . … …. … ymm ym, m+1 cn an …… a 0 y 1 s y 1 n … . . . yms ymn - z 0

esempio • min (x 2 -3 x 3+2 x 5) con x 1+ 3 x 2 - x 3 + 2 x 5 = 7 - 2 x 2+4 x 3 +x 4 = 12 - 4 x 2+3 x 3 + x 5 + x 6 = 10

Prima base canonica B=(a 1, a 4, a 6) • 1 a tavola 1 -3 2 è candidato ad entrare in base; min { • 2 a tavola , }= r=2, IB=4 a 4 esce pivot y 23 trasformazione

3 a tavola Soluzione ottima

Casi particolari

Degenerazione- regola di Bland Sia x s. b. p. non ottima per

Esempio fabbrica

formalizzazione 1/2 • x 1 e x 2 le unità da prodursi, rispettivamente del tipo A e del tipo B, • z il profitto che si può ricavare dalla loro vendita z = 12. 500 x 1 + 25. 000 x 2 • Le ore di lavoro disponibili in un mese sono 25 x 8 x 4 = 800.

formalizzazione 2/2 • Dai dati sul lavoro manuale: 2 x 1 + 2, 8 x 2 800 • dalla ore mensili disponibili su M: 25 x 8 x 6 = 1200 su N: 25 x 8 x 4 = 800 vincoli di produttività relativi alle macchine : x 2 1200 1, 7 x 1 + 2, 5 x 2 800 • vincoli di non negatività delle variabili: x 1 0 x 2 0 1, 5 x 1 + 1, 6

il modello di P. L. • f. o. da massimizzare: z = 12. 500 x 1 + 25. 000 x 2 • Vincoli: 2 x 1 + 2, 8 x 2 800 1, 5 x 1 + 1, 6 x 2 1200 1, 7 x 1 + 2, 5 x 2 800 x 1 0 x 2 0 vincolo di produzione vincolo di segno

Per applicare il metodo del Simplesso riportiamo a forma standard min y = -12. 500 x 1 -25. 000 x 2 2 x 1 + 2, 8 x 2 + 1 x 3 1, 5 x 1+ 1, 6 x 2 + 1 x 4 1, 7 x 1 + 2, 5 x 2 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0 = 800 = 1200 + 1 x 5 = 800

Tavola 1 Indici Costi di base 3 4 5 - 0 0 0 - a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 b = a 0 2 1, 5 1, 7 2, 8 1, 6 2, 5 1 0 0 0 0 1 0 800 1200 800 0 0 -12. 500 -25. 000

Tavola 2 Indici di Costi di base 1 4 5 - -12. 500 0 0 - a 1 1 0 0 0 a 2 1, 4 -0, 5 0, 12 -7. 500 a 3 0, 5 -0, 75 -0, 85 6. 250 a 4 0 1 0 a 5 0 0 1 b = a 0 400 600 120 5. 000 a 4 0 1 0 0 a 5 0 0 1 0 b = a 0 285, 71 742 85, 71 7. 142. 857, 5 Tavola 3 a 1 0, 71 0, 36 -0, 09 5. 357, 14 a 2 1 0 0 0 a 3 0, 36 -0, 57 -0, 89 8. 928, 57 2 4 5 - -25. 000 0 0 - • • soluzione ottima : x 1 = 0 (prodotti di tipo A), x 2 = 285 (prodotti di tipo B), f. o. z= 7. 125. 000 (valori per i quali l’utile è massimo)

Produzione di whisky • Date 3 quantità di distillato grezzo con disponibilità giornaliera limitata • Date 3 ricette(mix) con quantità min e max di 2 qualità sulle 3 date • Dato il costo di ciascun mix • Individuare le quantità di mix prodotte per massimizzare il profitto

Dati MISCELE PREZZO AL LITRO COMPOSIZIONE Freccia Azzurra I € 6, 80 Non meno del 60% di A Non più del 20% di C Montagna Rocciosa II Vecchio Yankee III € 5, 70 Non meno del 15% di A Non più del 60% di C € 4, 50 Non più del 50% di C A B Costo x litro € 7, 00 € 8, 00 C € 4, 00 Disponibilità l. 2000 l l. 2500 l. 1200

modello matematico

Variabili Artificiali Fase I - Problema ausiliario Se min t>0 il p. non ammette sol. possibile Se min t=0 Fase II 10/21/2021 39

fase II Si ritorna alla f. o. originale con valori trasformati nella riga m+1 10/21/2021 40

Problema con vincoli ridondanti e soluzione multipla min 2 x 1 -x 2+x 4 = z x 1+ x 2+ x 3 + x 4+ x 5 = x 1+ x 2+ 2 x 3+ 2 x 4+ 2 x 5 = x 1+ x 2 = x 3+ x 4+ x 5 = xi 0 aggiungendo le variabili artificiali si ha: min t= x 6+ x 7+ x 8 + x 9 x 1+ x 2+ x 3 + x 4+ x 5 + x 6 x 1+ x 2+2 x 3 +2 x 4+2 x 5 + x 7 x 1+ x 2 + x 8 x 3 + x 4+ x 5 xi 0 5 8 2 3 = 5 = 8 = 2 + x 9 = 3

fase I c. B IB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 0 1 6 1 1 1 0 0 0 5 1 7 1 1 2 2 2 0 1 0 0 8 1 1 0 0 0 1 0 2 1 9 0 0 1 1 1 0 0 0 1 3 / / -3 - -4 -4 3 -4 0 0 -18 c. B IB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 0 1 6 1 1 0 0 0 1 0 0 -1 2 1 7 1 1 0 0 1 0 -2 2 1 8 1 1 0 0 0 1 0 2 0 3 0 0 1 1 1 0 0 0 1 3 -3 -3 0 0 0 4 -6

fase I c. B IB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 -1 2 1 7 0 0 0 -1 1 0 -1 0 1 8 0 0 0 -1 0 1 1 0 0 3 0 0 1 1 1 0 0 0 1 3 0 0 0 3 0 0 1 0 Fase II 10/21/2021 43

fase II c 1=2 c 2=1 c 3=0 c 4=1 c 5=0 i c. B IB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 0 1 2 1 1 1 0 0 0 2 2 0 3 0 0 1 1 1 3 0 -3 0 1 0 -4 c 1=2 c 2=1 c 3=0 c 4=1 c 5=0 i c. B IB a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 0 1 -1 2 1 1 0 0 0 2 2 0 3 0 0 1 1 1 3 3 0 0 1 0 2 10/21/2021 44

Simplesso modificato

Passi del Simplesso modificato dati B-1 e la soluzione corrente 10 passo: calcolo dei moltiplicatori del simplesso e dei costi ridotti 20 passo: determina vettore entrante e trasforma il corrispondente vettore as

30 passo: test sulle componenti di sol. illimitata o individuazione vettore uscente 40 passo: aggiornamento di B-1 e B-1 b

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trasformazioni 1/2 10/21/2021 49

trasformazioni 2/2 10/21/2021 50

moltiplicare per Er-1 1/2 Moltiplicare un vettore riga per la matrice Er-1 10/21/2021 51

moltiplicare per Er-1 2/2 Moltiplicare la matrice Er-1 per un vettore colonna Quindi se i = r allora br 1 = yrηr Mentre se i ≠ r allora bi 1 = yi + yrηi 10/21/2021 52

Esempio simplesso modificato (senza ausilio matrice Pk)

Preparazione 1 a tavola pivot 10/21/2021 -z 0 54

2 a iterazione 10/21/2021 55

10/21/2021 56

esempio 2 Fase I-iter 0 variabile artificiale dati: 10/21/2021 57

s=1 iter 1 - k=0: 10/21/2021 58

K+1=1 fine fase I 10/21/2021 59

fase II da s=2 r=2 esce k=2 10/21/2021 60

k=2, s=2, r=2 stop, soluzione ottima 10/21/2021 61

es. simplesso modificato s=1 10/21/2021 62

k=1 , s=1 - entra a 1 , r=2 - esce a 8 10/21/2021 63

s=5, r=9 s=5 esce a 9 10/21/2021 64

k=2, entra a 5, r=3 esce a 9 10/21/2021 65

s=2, r=7 s=2 esce a 7 10/21/2021 66

k=3, entra a 2, r=1 esce a 7 10/21/2021 fine fase I 67

Per esercizio trasformare la tavola per la fase II e risolvere 10/21/2021 68