Rgularits et pralgbre Maternelle 3 e anne 1

Régularités et préalgèbre Maternelle – 3 e année 1

Aperçu de l’atelier Pourquoi enseigner les régularités et la préalgèbre? Des régularités simples sont observables partout. Il existe différents types de régularités – Régularités numériques ou non numériques. Une régularité donnée peut être exprimée de plusieurs façons. Vos questions Pause Il existe différents types de régularités – Régularités répétitives et croissantes/décroissantes Vos questions Dîner Les règles de régularités sont des généralisations de relations. Vos questions Pause Les équations expriment des relations entre des nombres. Vos questions et commentaires 2

Pourquoi enseigner les régularités et la préalgèbre? En étudiant des régularités, les élèves développent une interprétation mathématique de leur univers et ils en viennent à considérer les mathématiques comme un outile. L’étude des régularités permet aux élèves d’établir des liens, tant à l’intérieur du domaine des mathématiques que dans d’autres domaines. 3

Pourquoi enseigner les régularités et la préalgèbre? En généralisant des régularités, les élèves acquièrent des stratégies qui peuvent les aider à résoudre un large éventail de problèmes. Ils en viennent à percevoir les mathématiques comme un mode de raisonnement plutôt que comme en ensemble de moyens de résoudre, les uns après les autres, des problèmes dépourvus de liens entre eux. 3+� =5 10 À l’école élémentaire, l’exploration de régularités et de la préalgèbre jette les bases préalables à l’étude de l’algèbre formelle. Ainsi, au lieu d’être perçue comme une matière totalement nouvelle, l’algèbre sera perçue comme une extension naturelle du programme d’études de l’élémentaire, laquelle est souvent définie en termes d’arithmétique et de géométrie généralisées. 4

• Réfléchissez pendant 20 secondes; • Écrivez et dessinez silencieusement pendant 60 secondes; • Échangez votre affiche avec les participants d’une autre table; • Recommencez. 5

Activité – Histoires prévisibles Source : Extrait de Cochrane, Crystal, 2006, St. Leo Catholic Elementary School, Grade 1, Edmonton, AB. 6

Maternelle – actions, sons, couleurs, tailles, formes, orientation 1 re année – ajout de diagrammes et d’évènements 2 e année – attention particulièrement centrée sur les attributs et les nombres 3 e année – expression concrète, imagée et symbolique 7

Activité Quand atteindronsnous enfin ? 8

Les régularités non numériques peuvent être représentées par des codes alphabétiques (ABBA), puis être prolongées dans le but de faire des prédictions et de résoudre des problèmes. A B B A 9

Activités – Conversions de régularités Voici deux régularités AABB. Choix de combinaisons • Créez une unité de base de 2 à 4 éléments avec des objets et des attributs de votre choix (ex. : couleur, orientation, taille). • Répétez votre unité de base encore 2 fois. • Trouvez dans la pièce quelqu’un dont la régularité peut être représentée par le même code alphabétique la vôtre. 10

Une régularité répétitive est créée à partir d’un ensemble d’éléments, soit une unité de base récurrente (qui est répétée). Les régularités croissantes ou décroissantes résultent de changements systématiques. 9 7 5 32 3 16 8 4 2 11

Activités – Régularités répétitives Automne Été Hiver Printemps Régularités cycliques Des rangées et des colonnes 12

Activités – Régularités répétitives Jeux de gobelets Source : Extrait et adaptation autorisés de Gagné, D. , 2001, « Listening Kit Level 4 » , Red Deer, Themes and Variations, Alberta, p. 22 -24. © 2006 Propriété littéraire et artistique de l’auteur. Tous droits réservés. 13

Activités 5 1 10 15 2 3 a) Quelle sera la forme du 20 e bloc? b) Quelle sera la forme du 30 e bloc? c) Quelle sera la forme du 32 e bloc? Prédiction de régularités Établissement de liens entre des régularités répétitives et des régularités croissantes 14

Activités Quelle sera la forme du 32 e bloc? 5 1 5 2 10 7 5 15 12 10 10 15 2 3 20 17 15 22 20 30 31 32 25 27 25 32 30 32 33 34 35 15

Activités 5 1 10 15 2 3 C’est votre tour! a) Créez une régularité dans laquelle le 20 e bloc sera un. e b) Créez une régularité dans laquelle le 12 bloc sera un. e e c) Créez une régularité dans laquelle les 6 et 9 blocs seront des . 16

Activités – Régularités croissantes/décroissantes Patron 1 Patron 2 Patron 3 Patron 4 Créatures en pleine croissance 17

Activités – Régularités croissantes/décroissantes Pattes 2 4 6 8 ? Parties du corps 1 2 3 4 5 Patron 1 Patron 2 Ajouter deux pattes chaque fois, compter par sauts de 2 (récurrence); les pattes augmentent par coups de deux, et les parties du corps, par coups de un. Patron 3 Patron 4 Observer la relation entre les catégories (fonction) : il faut doubler le nombre de parties du corps pour obtenir le nombre de pattes. 18

Développement du sens des relations 1. Construire et prolonger, d’un patron à l’autre : Combien de pattes la créature devrait-elle avoir au bout d’un an? 2. Continuer de prolonger la régularité, tranche par tranche : Et au bout de l’année suivante? 3. Identifier une régularité (souvent, en comptant par sauts) : Que remarquez-vous? 4. Encourager les élèves à faire des généralisations : Combien de pattes la créature devrait-elle avoir dans 10 ans? Et dans 100 ans? Comment pourriez-vous savoir combien la créature aura de pattes à n’importe quel âge? 19

Activités – Régularités croissantes/décroissantes Pattes et têtes 3 5 ? ? ? Parties du corps 1 2 3 4 5 10 100 Quelle est la relation? Le double, plus 1 20

Activités – Régularités croissantes/décroissantes Source : Les chenilles, vers et arbres en blocs-formes sont tirés de Von Rotz, Leyani et Burns, Marilyn, 2002, Lessons for Algebraic Thinking: Grades K– 2, p. 157 -170, 89 -98, 2 -11. © 2002 Math Solutions. 21

Les règles de régularités décrivent la façon dont ces régularités croissent/décroissent. Elles peuvent être utilisées pour faire des prédictions logiques. Les règles de régularité révèlent des relations mathématiques. Qu’est-ce qui change? Qu’est-ce qui ne change pas? 22

La règle d’une régularité doit rendre compte de tous les éléments de cette régularité, incluant le tout premier. Partie du corps 4 7 10 13 ? ? ? ge 1 2 3 4 5 10 100 Parties du corps : partir de 4, et ajouter 3 chaque fois ge : partir de 1, et ajouter 1 chaque fois Relation : parties du corps = triple de l’âge, plus 1 23

Activités – Règles de régularités Tables d’additions, Grilles de 100, Quels sont les indices? 24

3+2 1= ≠ 5 L’égalité (=) exprime une relation d’équilibre entre des nombres. L’inégalité ( ) exprime une relation de déséquilibre. 25

Selon les élèves de l’élémentaire, que signifie le symbole d’égalité? 26

Source : Extraits et reproduction autorisés de Fennel, F et T. Rowan, janvier 2001, « Representation: An Important Process for Teaching and Learning Mathematics » , Teaching Children Mathematics, vol. 7, no 5, p. 288 -292. © 2001 National Council of Teachers of Mathematics. Tous droits réservés. 27

L’égalité et l’inégalité de quantités peuvent être considérées comme : • • des relations de tout à tout (5 = 5); des relations de partie–partie à tout (3 + 5 = 8); des relations de tout à partie–partie (8 = 5 + 3); des relations de partie–partie à partie–partie (4 + 4 = 3 + 5). 28

8+4= +5 7 12 17 12 et 17 Autre 1 re et 2 e années 5% 58 % 13 % 8% 16 % 3 e et 4 e années 9% 49 % 25 % 10 % 7% 5 e et 6 e années 2% 76 % 21 % 1% 0% • La solution vient ensuite : 8 + 4 = 12 + 5 • Utilisation de tous les nombres (surgénéralisation de l’associativité) : 8 + 4 = 17 + 5 • Prolongement du problème : 8 + 4 = 12 + 5 = 17 Source : Extrait et reproduction autorisés de Carpenter, P. , M. L. Franke et L. Levi, 2003, Thinking Mathematically: Integrating Arithmetic & Algebra in Elementary School, Portsmouth, NH: Heinemann, p. 4. © 2003. 29

Robin : élève de 2 e année 18 + 27 = � + 29 « Vingt-neuf, c’est deux de plus que 27, alors le chiffre de la case doit être deux de moins que 18 pour que les deux côtés soient égaux. C’est donc 16. » Source : Extrait et reproduction autorisés de Carpenter, P. , M. L. Franke et L. Levi, 2003, Thinking Mathematically: Integrating Arithmetic & Algebra in Elementary School, Portsmouth, NH: Heinemann, p. 4. © 2003. 30

Mini leçons – Vrai/faux 3+5=8 8=3+5 8=8 3+5=5+3 3+5=4+4 Développement de la compréhension du symbole d’égalité Source : Extrait et reproduction autorisés de Carpenter, P. , M. L. Franke et L. Levi, 2003, Thinking Mathematically: Integrating Arithmetic & Algebra in Elementary School, Portsmouth, NH: Heinemann, p. 4. © 2003. 31

Autres contextes vrai/faux 9 + 5 = 14 + 0 9 + 5 = 0 + 14 9 + 5 = 14 + 1 9 + 5 = 13 + 1 56 = 50 + 6 87 = 7 + 80 93 = 9 + 30 94 = 80 + 14 94 = 70 + 24 Utilisation de zéro pour présenter des égalités de la forme partie-partie = partie-partie Valeur de position Quels changements pourriez-vous apporter aux énoncés faux pour qu’ils deviennent vrais? 32

Défi Déterminez si ces égalités sont vraies ou fausses sans calculer la somme ou la différence réelle. Pensez aux relations! 37 + 56 = 39 + 54 33 – 27 = 34 – 26 471 – 382 = 474 – 385 674 – 389 = 664 – 379 583 – 529 = 83 – 29 33

Nous sommes très capables de créer des variables! + 9 = 12 + 9 = 12 34

Résultat inconnu Problèmes reliés Problèmes indépendants Marion avait 15 billes, puis Juan lui en a donné 28 de plus. Combien de billes Marion a-t-elle en tout, maintenant? Changement inconnu Marion a 15 billes. Combien de billes de plus faudrait-il lui donner pour qu’elle en ait 43 en tout? Point de départ inconnu Marion avait quelques billes, puis Juan lui en a donné 15 de plus. Maintenant, Marion a 43 billes en tout. Combien de billes Marion avait-elle au départ? Marion avait 43 billes, Marion avait quelques puis elle en a donné billes, puis elle en a 15 à Juan. Combien quelques-unes à Juan. donné 14 à Juan. de billes reste-t-il à Maintenant, il reste Marion maintenant? 15 billes à Marion. 28 billes à Marion. Combien de billes a-t. Combien de billes elle données Marion a-t-elle à Juan? données à Juan? 35

Activités – Qu’est-ce qui se cache dans le sac? reliés–résultat inconnu reliés–changement inconnu reliés–point de départ inconnu 2+1=? 3=2+? ? +1=3 36

Activités – Qu’est-ce qui se cache dans le sac? indépendants–résultat inconnu 5– 2=? indépendants–changement inconnu indépendants–point de départ inconnu 5 –? = 3 5– 2=? 37

partie– tout Égalisation et comparaison Tout inconnu Marion a 15 billes rouges et 28 billes bleues. Combien de billes a-t-elle en tout? Partie inconnue Marion a 43 billes. Quinze d’entre elles sont rouges, et toutes les autres sont bleues. Combien de billes bleues Marion possède-t-elle? Différence inconnue Quantité inconnue Référent inconnu Marion a 43 billes, et Juan en a 15. Combien de billes Marion a-t-elle de plus que Juan? (Comparaison) Combien de billes de plus faudrait-il à Juan pour qu’il en ait autant que Marion? (Égalisation) Juan a 15 billes, et Marion en a 28 de plus que lui. Combien de billes Marion a-t-elle en tout? Marion a 43 billes, ce qui fait qu’elle en a 15 de plus que Juan. Combien de billes Juan a-t-il? 38

Mini leçons – Équations (ou énoncés ouverts) L’enseignant écrit une équation (ou, si on préfère, un énoncé ouvert) au tableau et il demande aux élèves comment ils pourraient faire pour la rendre vraie. Les élèves peuvent justifier leurs réponses à l’aide de balances ou en comparant des distances le long d’une droite numérique. 3+5=� 8=3+� 8=� 3+5=� +3 3+5=� +4 39