Rgression linaire STT2400 Section 3 Distributions des formes

Régression linéaire (STT-2400) Section 3 Distributions des formes quadratiques Version: 12 février 2007 STT-2400; Régression linéaire

Introduction l L’objectif de cette section est de cerner les distributions de probabilité de quantités telle l De plus, on sera en mesure d’établir les distributions statistiques différentes sommes de carrés dans la table d’ANOVA. On va justifier la distribution F du test global dans la table d’ANOVA. l 2 STT-2400; Régression linéaire

Remarque: hypothèse de normalité 3 l Afin d’obtenir les distributions exactes on doit présumer: l Pour un vecteur aléatoire on considère sa norme: l La loi de la norme est telle que: l C’est un exemple de distribution khi-carrée centrée: STT-2400; Régression linéaire

Distribution des estimateurs des moindres carrés l Considérons: l On a vu que l’estimateur des moindres carrés est: l 4 STT-2400; Régression linéaire

Régions de confiance 5 l Puisque la matrice X’X est symétrique, inversible et par conséquent définie positive, on peut écrire: l On rappelle que contient les valeurs propres de la matrice X’X. STT-2400; Régression linéaire

l On rappelle: Ainsi: l Ceci implique que: l 6 STT-2400; Régression linéaire

Région de confiance quand la variance est connue l Considérons l’ensemble suivant: l L’ensemble précédent est appelé une région de confiance de niveau de confiance 1 – a. En général il est difficile de représenter les régions de confiance graphiquement. Les régions de confiance sont des ellipsoïdes. l l 7 STT-2400; Régression linéaire

Définition: distribution chi-carrée décentrée 8 l Définition: Soit un vecteur aléatoire l où le vecteur constant La loi de l est une chi-carrée à n degrés de liberté et paramètre de décentralité On note STT-2400; Régression linéaire

Définition: distribution F de Fisher décentrée 9 l Définition: Considérons U et V deux variables aléatoires indépendantes: l La loi de la variable aléatoire: l est dite une loi de Fisher décentrée de degrés de liberté (m, n) et paramètre de décentralité l. On note STT-2400; Régression linéaire

Propriété 3. 10 l Soit A une matrice symétrique. Considérons la forme quadratique: Alors nous avons le résultat suivant: l Dans un tel cas l 10 STT-2400; Régression linéaire .

Propriété 3. 11: Indépendance entre deux formes quadratiques 11 l Soit. Soient A 1 et A 2 deux matrices symétriques. Considérons les deux formes quadratiques suivantes: l On a alors le résultat suivant: STT-2400; Régression linéaire

Propriété 3. 12: Théorème de Cochran l l Soit. Considérons les p formes quadratiques suivantes: où: Le Théorème de Cochran affirme que sont mutuellement indépendantes, 12 STT-2400; Régression linéaire