Reviso Matemtica ANO 2011 Camilo Daleles Renn camilodpi

Revisão Matemática ANO 2011 Camilo Daleles Rennó camilo@dpi. inpe. br

Álgebra: Funções Sendo A e B dois conjuntos, diremos que uma relação de A em B é uma função se e somente se, nesta relação, para cada x, x A, tivermos um único y, y B. A B A B

Álgebra: Funções Sendo A e B dois conjuntos, diremos que uma relação de A em B é uma função se e somente se, nesta relação, para cada x, x A, tivermos um único y, y B. B A Exemplo: Considere os conjuntos A = {x Z | -2 x 3} e B = {y Z | -1 y 9} N Z Q R reais {. . . , 1, . . . , 3, . . . , , . . . } racionais {. . . , -1, . . . , 1/3, . . . } inteiros {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . . } naturais {0, 1, 2, . . . }

Álgebra: Funções Sendo A e B dois conjuntos, diremos que uma relação de A em B é uma função se e somente se, nesta relação, para cada x, x A, tivermos um único y, y B. A B -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Exemplo: Considere os conjuntos A = {x Z | -2 x 3} e B = {y Z | -1 y 9} -1 Associando a cada elemento de A, o seu quadrado em B, estabelecemos uma função de A em B. 2 De outra forma podemos dizer que y = x 2 ou f(x) = x 2 0 1 3 Domínio = A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} Contradomínio = B = {-1, 0, . . . , 9} Imagem = {0, 1, 4, 9}

Álgebra: Funções Gráfico de uma função A = {x R | 2 x 5} e B = {y R | y 6} f(x) = x imagem A = {x Z | 2 x 5} e B = {y Z | y 6} f(x) = x domínio

Álgebra: Funções y y x y x y x x

Álgebra: Funções f(2) = 0, 84 y = f(x) x f(x) f(12) = ? interpolação linear 0 0 10 2, 94 1 0, 37 12 y 2 0, 84 20 3, 98 3 1, 25 4 1, 65 5 1, 97 10 2, 94 20 3, 98 30 4, 62 40 4, 86 50 4, 98 12 - 10 y - 2, 94 20 - 10 3, 98 - 2, 94

Álgebra: Funções Função polinomial do 1 o grau f(x) = ax + b, a R*, b R a = tan( ) coeficiente angular b = f(0) coeficiente linear Exemplo: f(x) = 2 x - 1 = 63, 435 o b = -1 tan(63, 435 o) = 2

Álgebra: Funções Função polinomial do 1 o grau Exemplo: f(x) = 2 x - 1 f(x) = ax + b, a R*, b R f(x) = -x - 1 f(x) = -x + 2

Álgebra: Funções Função polinomial do 1 o grau Exercícios resolvidos 1. Sabendo que uma função é representada por uma reta com inclinação de 45º e que esta reta cruza o eixo das ordenadas (y) no ponto -3, qual a equação desta função? y = ax + b a = tan( ) = tan(45º) = 1 b = f(0) = -3 y=x– 3 2. Uma função é representada por uma reta e passa pelos pontos (x; y): (-1; 3) e (4; -1). Qual a equação desta função? y y = ax + b 3 = a(-1) + b -a + b = 3 Resolvendo o sistema -1 = a(4) + b 4 a + b = -1 3 De , b = 3 + a y = ax + b Substituindo em , 4 a + 3 + a = -1 5 a = -4 a = -4/5 Substituindo em , 4/5 + b = 3 - 4/5 = (15 – 4)/5 =411/5 -1 -1 x

Álgebra: Funções Função polinomial do 1 o grau Exercícios resolvidos (cont. ) 3. Obtenha a equação das funções (A e B) mostradas no gráfico: Função A: y = ax + b a = tan(0 o) = 0 b = f(0) = 3 y=3 Função B: y = ax + b y A B 150 o x ?

Álgebra: Funções Função polinomial do 1 o grau Exercícios resolvidos (cont. ) 4. Determine o ponto no qual a função y = -3 x + 6 intercepta o eixo das abscissas (x)? A função intercepta o eixo das abscissas quando y = 0, então 0 = -3 x + 6 3 x = 6 x=2 ou seja, o ponto é (2; 0) 5. Qual é o ponto em que ocorre o cruzamento entre as funções y = 2 x + 3 e y = -x + 6? Igualando-se as funções, tem-se 2 x + 3 = -x + 6 3 x = 6 – 3 = 3 x=1 Substituindo na primeira função y = 2(1) + 3 = 5 ou seja, o ponto é (1; 5)

Álgebra: Funções f(x) = ax 2 + bx + c, a R*, b R, c R Função polinomial do 2 o grau (função quadrática) y= x 2 – 1 y = -x 2 y = 2 x 2 – 2 x + 1

Álgebra: Funções Função polinomial do 2 o grau (função quadrática) f(x) = ax 2 + bx + c, a R*, b R, c R Propriedades: a) a função tem concavidade para cima caso a > 0 e concavidade para baixo caso a < 0 a>0 a<0 b) o vértice da parábola é dado por e onde c) quando > 0, então a parábola intercepta o eixo das abscissas em dois pontos, dados por d) quando = 0, então a parábola intercepta o eixo das abscissas apenas num ponto (xv) e) quando < 0, então a parábola não intercepta o eixo das abscissas

Álgebra: Funções Função polinomial do 2 o grau Exercícios resolvidos 1. Qual é a função quadrática que intercepta o eixo das abscissas nos pontos (-1; 0) e (2; 0) e intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0; -6)? y = ax 2 + bx + c 0 = a(-1)2 + b(-1) + c 0 = a(2)2 + b(2) + c -6 = a(0)2 + b(0) + c a–b+c=0 4 a + 2 b + c = 0 c = -6 a–b=6 Resolvendo o sistema 4 a + 2 b = 6 De , a = 6 + b Substituindo em , 4(6 + b) + 2 b = 6 24 + 4 b + 2 b = 6 6 b = -18 b = -3 Substituindo em , a – (-3) = 6 a + 3 = 6 a = 3 y = 3 x 2 – 3 x – 6 Ou, y = ax 2 + bx + c = a(x + 1)(x – 2) -6 = a(0 + 1)(0 – 2) -2 a = -6 a = 3 y = 3(x + 1)(x – 2) = 3 x 2 – 6 x + 3 x – 6 y = 3 x 2 – 3 x – 6

Álgebra: Funções Função polinomial do 2 o grau Exercícios resolvidos (cont. ) 2. Qual o vértice e o conjunto imagem da função y = 3 x 2 – 7 x + 1? Como a = 3 (> 0), então a concavidade é para cima e portanto o vértice é um ponto de mínimo ou seja: se x R, então Im = {y R | y ≥ }

Álgebra: Funções Função polinomial do 2 o grau Exercícios resolvidos (cont. ) 3. Esboce o gráfico da função y = x 2 – x – 2. Encontrando os zeros da função: Determinando os vértices:

Álgebra: Funções Função exponencial f(x) = bg(x), b y = 2 x , eb 1

Álgebra: Funções Função exponencial f(x) = bg(x), b y = 2 x , eb 1

Álgebra: Funções Função exponencial f(x) = bg(x), b y = 2 x , eb 1

Álgebra: Funções Função exponencial f(x) = bg(x), b y = 2 x , eb 1

Álgebra: Funções Função exponencial f(x) = bg(x), b y = 2 x Se b > 1, então f(x) = bx é crescente Se 0 < b < 1, então f(x) = bx é decrescente , eb 1