REVIEW MATEMATIKA ALAT PEMECAHAN SOAL REVIEW MATEMATIKA ALAT

  • Slides: 44
Download presentation
REVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOAL

REVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOAL

REVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOAL Tujuan Pembelajaran • • • Mengetahui mampu melakukan

REVIEW MATEMATIKA : ALAT PEMECAHAN SOAL Tujuan Pembelajaran • • • Mengetahui mampu melakukan operasi matematika tertentu serta aplikasi praktis beberapa operasi matematika Mahasiswa akan mengetahui dan memahami prinsip matematika dan aplikasinya pada industri dan proses pengolahan pangan Mahasiswa akan mampu menyelesaikan persamaan matematika, menggambar dan membaca grafik, serta mengembangkan persamaan matematika dari persoalan nyata (kasus industri pangan)

MATEMATIKA DAN INJINIRING Pemecahan soal injinering memerlukan matematika! 1. Formulasi : ekspresikan soal dalam

MATEMATIKA DAN INJINIRING Pemecahan soal injinering memerlukan matematika! 1. Formulasi : ekspresikan soal dalam bahasa math. . . > harus tahu ttg hukum 2 fisik dan injiniring 2. Pemecahan soal : gunakan operasi math yang tepat. . . > harus tahu hukum 2 math 3. Interpretasi : pengembangan/penjelasan hubungan antara hasil matematika dan artinya secara fisik/nyata 4. Penyempurnaan : . . . > ulangi tahap 1, 2 dan 3.

Persamaan Aljabar • Persamaan : Pernyataan (matematika) yang menunjukkan adanya kesamaan (equality) antara satu

Persamaan Aljabar • Persamaan : Pernyataan (matematika) yang menunjukkan adanya kesamaan (equality) antara satu atau lebih ekspresi matematika • Melibatkan variabel dan konstanta • Contoh : konstanta y = ax + b; variabel persamaan garis lurus

Variabel. . . . ? ! • y = 3 x - 7 jika

Variabel. . . . ? ! • y = 3 x - 7 jika x = 1 jika x = 3 . . . . Pers. 1. . . . > y=3 -7=-4. . . . > y= 9 - 7 = 2 jadi, nilai y tergantung pada nilai x. . . . > y = variabel dependen x = variabel independen • Pers. 1 dapat ditulis dalam bentuk lain : x = (1/3)y +(7/3) jika y = - 4 jika y = 2 . . . Pers. 2 . . . . > x = (1/3)(- 4) +(7/3) = 1. . . . > x = (1/3)(2) + (7/3) = 3 Jadi, nilai x tergantung pada nilai y. . . . > x = variabel dependen y = variabel independen UMUM : 1. variabel di sisi kiri persamaan variabel di sisi kanan persamaan 2. Waktu (t) hampir selalu dianggap sebagai variabel independen : variabel independen

Konstanta ? ! • nilai tidak berubah • beberapa konstanta : g : percepatan

Konstanta ? ! • nilai tidak berubah • beberapa konstanta : g : percepatan gravitasi (9. 8 ms-2) NA : bilangan Avogadro (6. 02205 x 1023 atom/mol) : pi (3. 14159) R : konstanta gas (8. 314 Nm. mol-1. K-1) k : Konstanta Boltzmann (1, 38066 x 10 -23 J. K-1) co : kecepatan cahaya di vacum (299792, 5 x 103 m. s-1) h : konstanta Planck (6, 6256 x 10 -34 J. s)

Fungsi • Persamaan Aljabar yang menjelaskan hubungan antara variabel independen dan satu atau lebih

Fungsi • Persamaan Aljabar yang menjelaskan hubungan antara variabel independen dan satu atau lebih konstanta disebut Fungsi • y = f(x). . > dibaca : y merupakan fungsi (independen variabel) x • y=f(x) dimana f(x) = 2 ax + 3 b. . . . Pers. 3 • y = 2 ax + 3 b . . . . Pers. 4 • Pers. 3 dan pers. 4 adalah identik.

Contoh. V(t) = (g/2)t + Vo Persamaan ini menyatakan suatu fungsi hubungan antara kecepatan

Contoh. V(t) = (g/2)t + Vo Persamaan ini menyatakan suatu fungsi hubungan antara kecepatan pada waktu tertemtu (Vt), kecapatan awal (Vo), percepatan gravitasi (g), dan waktu (t). . . g, Vo Konstanta? Variabel? . . t, V(t) Mana variable independen? . . . . t Mana variabel dependen? . . . V(t) Apakah kecepatan (V) merupakan. . ya, t fungsi suatu variabel?

Prinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/Fungsi • Kedua sisi persamaan = ekivalen! • Prinsip Manipulasi :

Prinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/Fungsi • Kedua sisi persamaan = ekivalen! • Prinsip Manipulasi : Lakukan operasi aritmatika di kedua sisi persamaan! • penambahan atau pengurangan suatu angka atau variable. . > lakukan pada kedua sisi persamaan : y = ax + b; y + b = ax + b y = ax + b; y - y = ax + b - y • Pengkalian. . > lakukan pada kedua sisi persamaan : ky=kax+kb • Pembagian. . > lakukan pd kedua sisi pers : y/a = x + b/a

Exponents : Prinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/Fungsi a -n = n (a ) m n

Exponents : Prinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/Fungsi a -n = n (a ) m n m a n a 1 n a = a a =a 1 n mn a m n = a x a a m m -n n m +n = a =a m n

Logaritma : Prinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/Fungsi : • Logbx =c . . . >

Logaritma : Prinsip Manipulasi Persamaan Aljabar/Fungsi : • Logbx =c . . . > • 102 = 100 . . > • Jika log 10 (10) = 1, . . . > • Jika log 10 (3. 162) = 0. 5, • Log X . . . . > . . . > • Ln X . . . . > maka bc = X jadi : log 10 (100) = 2 maka 101 =10 maka 100. 5 = 3. 162 berarti log 10 X berarti loge X e = 2. 718 . . tentang logarithma lagi : log XY = log X + log Y log Xn = n log X X log = log X - log Y Y

PV = n. RT Contoh P = tekanan (Pa)[=](N. m-2) V = volume (m

PV = n. RT Contoh P = tekanan (Pa)[=](N. m-2) V = volume (m 3) n = jumlah mol gas (mol) R = konstanta gas (8. 314 Nm. mol-1. K-1) T = suhu mutlak (K) Variabel? P, V. n dan T Isolasi variabel T dari lainnya (gunakan prinsip manipulasi) : PV (1/n) = n. RT (1/n) PV/n = RT lalu : PV/n (1/R) = RT (1/R) jadi : PV/n. R = T Jika diketahui nilai-nilai P, V dan n, maka dapat dihitung nilai T

Hitung suhu gas ideal jika diketahui : Contoh P = 200 Pa; n =

Hitung suhu gas ideal jika diketahui : Contoh P = 200 Pa; n = 2 mol, V = 30 m 3 dari persamaan terdahulu PV/n. R = T, maka : [(200 Pa)(30 m 3)]/[(2 mol)(8. 314 Nm. mol-1 K-1)] = 360. 83 K jadi T = 360. 83 K __________________ Contoh Lagi : y = x 2 - 5 x =? Jawab : y + 5 = x 2 x = (y + 5)1/2

Persamaan Linier : Umum a 11 x 1 + a 12 x 2 +.

Persamaan Linier : Umum a 11 x 1 + a 12 x 2 +. . . + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +. . . + a 2 nxn = b 2. . . an 1 x 1 + an 2 x 2 +. . . + annxn = bn

contoh : cari nilai x 1, x 2, x 3. . . x 2

contoh : cari nilai x 1, x 2, x 3. . . x 2 6 x 1 + 8 x 2 - 10 x 3 = -4 . . . . 3 x 1 + 4 x 2 - 5 x 3 = -2 9 x 1 - 2 x 2 + 3 x 3 = 1 -6 x 1 + 3 x 2 - x 3 = 3 x lakukan dengan cara eliminasi variabel, dengan prinsip 2 manipulasi pers aljabar! 3 9 x 1 + 12 x 2 - 15 x 3 = -6 9 x 1 - 2 x 2 + 3 x 3 = 1 pers (1) dan (2) dapat diselesaikan sbb: 11 x 2 - 11 x 3 = -1 14 x 2 - 18 x 3 = -7 . . x 14/11 11 x 2 - 11 x 3 = -1 +. . . . (1) 14 x 2 - 18 x 3 = -7. . . . (2) 14 x 2 - 14 x 3 = -14/11 14 x 2 - 18 x 3 = -7 . . dengan cara yang sama. x 1 dan x 2 dapat dipecahkan!. . Lanjutkan! - - 4 x 3 = 63/11. . x 3 = 63/44 Pur Hariyadi/TPG/Fateta/IPB

Persamaan kuadrat Salah satu variablenya dalam bentuk : ax 2 + bx + c

Persamaan kuadrat Salah satu variablenya dalam bentuk : ax 2 + bx + c = 0, a ‡ 0. . . Pers ini memberikan 2 nilai x (x 1 dan x 2) = x 1, 2 Jika b 2 -4 ac >0. . . > b 2 -4 ac = 0. . . > b 2 -4 ac <0. . . > - b+ = b 2 - 4 ac 2 a x 1 ‡ x 2, bil riil x 1 = x 2, bil riil x 1 ‡ x 2, bil kompleks

Contoh : Pecahkan pers. berikut : x 2 + 5 xy - y 2

Contoh : Pecahkan pers. berikut : x 2 + 5 xy - y 2 - 15 = 0 x + 2 y = 10. . . > kerjakan. 5 ± 2 155. . . kunci : y = 7

Persamaan/Fungsi Linier dan non-linier Bentuk umum persamaan linier/garis lurus adalah : y = ax

Persamaan/Fungsi Linier dan non-linier Bentuk umum persamaan linier/garis lurus adalah : y = ax + b y = variable dependen x = variable independen a = konstanta (slope/tangen garis lurus) b = konstanta (nilai y jika x=0) Catatan : • Sering pers linier tdk eksplisit dalam bentuk umum : . . . . > perlu diatur supaya dalam bentuk tsb • Bentuk linier adalah bentuk pers paling sederhana. . . . > mudah interpretasinya! • Pers yang tidak dalam bentuk tsb. . . . > pers non-linier

Persamaan/Fungsi Linier dan non-linier Bentuk pers linier : y = ax +b. . .

Persamaan/Fungsi Linier dan non-linier Bentuk pers linier : y = ax +b. . . . > formula titik-kemiringan (point-slope formula) Jika data linier, prinsip ini dapat digunakan sbb : 1. Pilih dua titik (P 1 dan P 2) pada garis lurus 2. Kemiringan a dapat ditentukan : a = [y 1 - y 2] / [x 1 - x 2] dimana P 1 = (x 1, y 1) dan P 2 =(x 2, y 2) 3. Titik potong (intercept) pada sumbu-y; yaitu b adalah : y - y 1 = a (x-x 1) atau y = ax + (y 1 -ax 1) jadi b = (y 1 -ax 1)

Grafik & Sistem Koordinat • Koordinat Umum (cartesian) – Sumbu tegak (vertical) dan horizontal

Grafik & Sistem Koordinat • Koordinat Umum (cartesian) – Sumbu tegak (vertical) dan horizontal – kedua sumbu bisa merupakan cerminan variabel Contoh persamaan garis lurus : konstanta y = ax + b; y variabel a= slope b x

Grafik & Sistem Koordinat • Koordinat Umum (cartesian) A C – kedua sumbu bisa

Grafik & Sistem Koordinat • Koordinat Umum (cartesian) A C – kedua sumbu bisa mempunyai skala yang sama – kedua sumbu bisa mempunyai skala yang berbeda – contoh 2 : B A : linier (skala x dan y. > linier) B : Semi log (x. > linier, y. > log) C : Log-log (skala x dan y. . > log)

Contoh. Suatu indek pertumbuhan mikroorganisme, dinyatakan sebagai waktu generasi (g). Pada phase log, m.

Contoh. Suatu indek pertumbuhan mikroorganisme, dinyatakan sebagai waktu generasi (g). Pada phase log, m. o. tumbuh mengikuti model berikut : N = No[2]t/g. . . . (pers. 1) Perhatikan data berikut : Jumlah (N) 980 1700 4000 6200 waktu pertumbuhan (menit) 0 10 30 40 Tentukan waktu generasi (g) m. o. tsb!

Jawab : . . . 1 Jika data tsb diplot pada grafik linier-linier, akan

Jawab : . . . 1 Jika data tsb diplot pada grafik linier-linier, akan diperoleh grafik sbb:

Jawab : . . . 2. . . . . (pers. 1) Diketahui :

Jawab : . . . 2. . . . . (pers. 1) Diketahui : N = No[2]t/g Bentuk log dari pers (1) adalah : log N =log No + (t/g) log 2 log N = log No + (log 2)/g t artinya : plot antara log N dan t (atau plot N dan t pada kertas semilog) akan menghasilkan garis lurus dgn slope = (log 2)/g = 0. 301/g Kemiringan : log 10000 - log 1000 48. 7 - 0 = 4 -3 48. 7 = 1 48. 7 Berdasarkan model : kemiringan = 0. 301/g = 1/48. 7 g = 14. 66 menit!

Contoh Soal. . . . Lagi! Waktu (menit) 0 2 4 6 8 10

Contoh Soal. . . . Lagi! Waktu (menit) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Jumlah m. o 980 2261 6017 18474 65428 267305 1259765 6848792 42951716 310734257 Jika pertumbuhan m. o. tsb mengikuti model N = No[2]t/g tentukan waktu generasinya!. . . . . PR.

Bandingkan ! Skala x dan y linier Skala x linier, skala y log

Bandingkan ! Skala x dan y linier Skala x linier, skala y log

Catatan ttg pembuatan grafik • Grafik harus secara jelas menyajikan informasi yang dimaksudkan •

Catatan ttg pembuatan grafik • Grafik harus secara jelas menyajikan informasi yang dimaksudkan • Nilai X dan Y yang tepat harus diperlihatkan pada kedua sumbu • Garis-garis pada grafik harus jelas diidentifikasi • Simbol-simbol (legend) yang berbeda dapat digunakan untuk menunjukkan data-data yang berbeda • Judul grafik : jelas dan akurat

Linierisasi. . . ? ! • Sering persamaan non-linier dapat dibuat linier. . .

Linierisasi. . . ? ! • Sering persamaan non-linier dapat dibuat linier. . . . > menjadi pseudo-linier Contoh : • Apakah persamaan y = x 2 - 3 merupakan pers linier? • Jika tidak, dapatkan dibuat dalam bentuk linier? Jawab : • Pers y = x 2 - 3 adalah non-linier (dalam variable x) • Tetapi dapat dibuat linier jika digunakan variabel baru; yaitu u=x 2, maka persamaan tsb menjadi : . . . . > y = u - 3

Contoh Persamaan berikut sering digunakan untuk menjelaskan tingkah laku viskositas fluida Herschel-Bulkley : t

Contoh Persamaan berikut sering digunakan untuk menjelaskan tingkah laku viskositas fluida Herschel-Bulkley : t = t o + K gn . . . Pers. 5 dimana t : gaya geser (shear stress), (Pa), (Nm-2) to : gaya geser awal (yield stress), (Pa) n : indeks tingkah laku aliran, tak bersatuan K : indeks konsistensi (sn) g : laju geser (shear rate), (s-1). . . . Tidak Apakah pers. 5 tsb linier thd sumbu t? Jika tidak, dapatkah dibuat supaya linier? ? . . . ya. . . Yaitu dengan cara substitusi variable; variable u = gn maka akan diperoleh persamaan linier : t = to + Ku

Pekerjaan Rumah. . . Kerjakan! Berikut adalah data hasil pengukuran yang menjelaskan hubungan antara

Pekerjaan Rumah. . . Kerjakan! Berikut adalah data hasil pengukuran yang menjelaskan hubungan antara gaya geser dan laju geser fluida suatu (t = to + Kg ): gaya geser (t )[=] Pa 15 25 33 44 56 65 laju geser (g)[=]s-1 0 2 4 6 8 10 Tentukan model matematika (t = to + Kg ) yang cocok menggambarkan fulida tsb!. . . . jawab : t = 14 Pa + (5 Pas)g

Metoda liniarisasi yang umum ditemukan. . . 1 y = axb . . .

Metoda liniarisasi yang umum ditemukan. . . 1 y = axb . . . . > log y = log a + b log x Log y Kemiringan = b log a Log x y = aebx . . . . > Log y log y = log a + b log e x Kemiringan = b log e log a x

Metoda liniarisasi yang umum ditemukan. . . 2 y= x a + bx .

Metoda liniarisasi yang umum ditemukan. . . 2 y= x a + bx . . . . > 1/y = b + a/x 1/y Kemiringan = a esktrapolasi b 1/x y = a + bx + cx 2 . . . . > y - y 1 x - x 1 = b + cx 1 + cx Kemiringan = c b + cx 1 x

Metoda liniarisasi yang umum ditemukan. . . 3 (kerjakan. . . PR) y =

Metoda liniarisasi yang umum ditemukan. . . 3 (kerjakan. . . PR) y = x a + bx + c 2 bx+cx y = ae y = 1 - e-bx b y = a + x y = a + b x

Berbagai kondisi pers garis lurus : Kondisi 1. Sejajar sumbu-x 2. Sejajar sumbu-y 3.

Berbagai kondisi pers garis lurus : Kondisi 1. Sejajar sumbu-x 2. Sejajar sumbu-y 3. Melalui titik (x 1, y 1) kemiringan m 4. Titik potong sb-y (0, b) kemiringan m 5. Titik potong sb-x (a, 0) kemiringan m persamaan garis lurus : . . . . > y = konstan x = konstan y-y 1 = m(x-x 1) . . . . > y = mx + b . . . . > y = m (x-a) y 2 - y 1. . . . > y - y = (x - x ) 1 x - x 1 2 1 x y 7. Melalui 2 titik (sb-x dan sb-y). . > + = 1 (a, 0) dan (0, b) a b 6. Melalui 2 titik (x 1, y 1) dan (x 2, y 2)

Kalkulus : DIferensial f(x) Df(x) f(x+Dx) - f(x) Kemiringan : = Dx Dx D

Kalkulus : DIferensial f(x) Df(x) f(x+Dx) - f(x) Kemiringan : = Dx Dx D f(x) Dx f(x+Dx) D f(x) Dx x 1 x 2 x Jika, Dx adalah kecil mendekati nol, maka = adalah turunan f(x) terhadap x

Kalkulus : DIferensial D f(x) Limit = Dx. . . >0 D f(x) Dx

Kalkulus : DIferensial D f(x) Limit = Dx. . . >0 D f(x) Dx Jika f(x)=x 2 maka df(x)/dx = Dx = df(x) dx = adalah turunan f(x) terhadap x = limit D x. . >0 f(x + Dx) - f(x) Dx (x + Dx)2 - (x)2 lim = Dx Dx. . . >0 [x 2 + 2 x. Dx + (Dx)2] - (x)2 = lim Dx Dx. . . >0 = lim [2 x + Dx] Dx. . . >0 Dx = 2 x, jika D x = 0 Jadi, turunan f(x) = x 2. . . > df(x)/dx = 2 x atau df(x) = 2 x dx

Rumus Diferensiasi Umum d(x n) = nx n- 1 Konstanta dx d(a) = 0

Rumus Diferensiasi Umum d(x n) = nx n- 1 Konstanta dx d(a) = 0 Penjumlahan d[f(x) + g(x)] = df(x) + dg(x) Pengkalian d[f(x)g(x)] = f(x) dg(x) = g(x) df(x) Pembagian d[f(x)/g(x)] = {g(x) df(x) - f(x) dg(x)} / [g(x)]2 Fungsi pangkat d[f(x)]n = n[f(x)n-1 df(x) Fungsi exponensial d(a) f(x) = (a)f(x) [df(x)] ln a Fungsi logaritma d ln [f(x)] = df(x)/f(x) d log [f(x)] = df(x)/{f(x)(ln 10)}

Maksimum dan Minimum Fungsi. . 1 Diketahui fungsi sbb : y = 2 x

Maksimum dan Minimum Fungsi. . 1 Diketahui fungsi sbb : y = 2 x 3 3 + x 2 2 - 6 x dy/dx = 2 x 2 + x -6 Minimum/maksimum terdapat pada kondisi dy/dx = 0 jadi, 2 x 2 + x - 6 = 0 x = 1, 2 - 1 ± 1 - 4(2)( - 6) 4 . . . > x 1 = - 2 ; x 2 = 1. 5 Mana maksimum? Mana minimum? . . . . > perlu dicari turunan kedua

Maksimum dan Minimum Fungsi. . 2 y = dy/dx d 2 y/dx 2 2

Maksimum dan Minimum Fungsi. . 2 y = dy/dx d 2 y/dx 2 2 x 3 + x 2 3 2 = 2 x 2 + x -6 - 6 x = 4 x + 1 untuk x 1 = - 2, maka d 2 y/dx 2 = 4(- 2) + 1 = -7. . . > titik dimana x =-2 merupakan titik maksimum; 1 yaitu pada : 2(-2) 3 (-2) 2 y = + - 6(-2) = 8. 667 3 2 untuk x 2 = 1. 5, maka d 2 y/dx 2 = 4(1. 5) + 1 = 7. . . > titik dimana x = 1. 5 merupakan titik minimum; 2 yaitu pada : 2(1. 5) 3 (1. 5)2 y = + - 6(1. 5) = -5. 625 3 2

INTEGRAL : anti derivative dy/dx = 5 dy/dx = 4 x dy/dx = 2

INTEGRAL : anti derivative dy/dx = 5 dy/dx = 4 x dy/dx = 2 x - 1 ò udx . . > y = 5 x + C. . > y = 2 x 2 + C. . > y = x 2 - x + C : menunjukkan integral fungsi u(x) terhadap x 1 n n +1 x dx x = + C ò n +1 ò cf(x)dx ò (du = c ò f(x)dx + dv) = ò ò ò du + ò dv du = lnu + C u e au du = 1 e au + C a

Contoh : Pecahkan persamaan berikut : dy/dx = 3 x 2 - 4 x

Contoh : Pecahkan persamaan berikut : dy/dx = 3 x 2 - 4 x + 5 jawab : kalikan kedua sisi dgn dx dy = (3 x 2 - 4 x + 5)dx Integralkan kedua sisi persamaan tsb : ò dy = ò (3 x - 4 x + 5)dx y = 3ò x dx - 4ò xdx + 5ò dx 2 2 3 2+1 4 1+1 y = x + 5 x +C 3 2 y = x + 2 x + 5 x + C

Integral tertutup 3 y = ò 3 x dx 2 2 3 3 2+1

Integral tertutup 3 y = ò 3 x dx 2 2 3 3 2+1 2 y = ò 3 x dx = x 2 +1 2 =x 3 3 2 3 3 3 2 = 3 - 2 = 27 - 8 = 19

INTEGRAL TERTUTUP : mengukur luas daerah di bawah kurva, diantara x 1 dan x

INTEGRAL TERTUTUP : mengukur luas daerah di bawah kurva, diantara x 1 dan x 2 f(x) x 2 x 1 dx x

Beberapa Rumus Geometri penting Lingkaran A = (p. D 2)/4 = pr 2 C

Beberapa Rumus Geometri penting Lingkaran A = (p. D 2)/4 = pr 2 C = p. D = 2 pr Bola A = p D 2 V = (4/3)pr 3 = (p. D 3)/6 Silinder A = 2 prh = p. Dh V = p r 2 h