Reti Combinatorie E Algebra Di Boole 15092021 1

Reti Combinatorie E Algebra Di Boole 15/09/2021 1

Programma l l l Funzioni di commutazione Espressioni e reti Algebra di commutazione Espressioni POS/SOP Reti all-NAND e all-NOR 15/09/2021 2

Funzioni Di Commutazione Sistema Digitale Immagazzinamento 15/09/2021 Elaborazione 3

Funzioni Di Commutazione ai bi 15/09/2021 ai bi ci si ai bi ci ci+1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 ci ci+1 si 4

Funzioni Di Commutazione a 3 b 3 a 2 b 2 a 1 b 1 a 0 b 0 c 4 c 3 s 3 15/09/2021 s 2 c 1 s 0 5

Funzioni Di Commutazione Una funzione di commutazione è una funzione binaria di variabile binaria. 000 111 001 010 011 101 110 15/09/2021 01 100 6

Funzioni Di Commutazione Funzioni di una variabile f 0 f 1 f 2 f 3 0 0 0 1 1 1 0 1 Funzioni costanti Funzione Identità 15/09/2021 7

Funzioni Di Commutazione Funzioni di due variabili x 1 x 0 g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 g 6 g 7 g 8 g 9 g 10 g 11 g 12 g 13 g 14 g 15 0 0 1 1 15/09/2021 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 8

Funzioni Di Commutazione Utilizzeremo la funzione di una variabile NOT Utilizzeremo le due funzioni di due variabili AND e OR 15/09/2021 9

Espressioni E Reti 1. I terminali di input sono reti combinatorie 2. Se N 1 e N 2 sono reti combinatorie allora lo sono anche: N 1 N 2 15/09/2021 N 2 N 1 N 2 10

Espressioni E Reti 1. Le variabili e le costanti sono espressioni booleane 2. Se 15/09/2021 e sono espressioni booleane allora lo sono anche: 11

Espressioni E Reti x 1 x 2 x 3 x 1 x 3 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 +(x 1 + x 3 )1 x 1 + x 3 (x 1 + x 3 )1 Ogni rete di commutazione data calcola una funzione di commutazione 15/09/2021 12

Espressioni E Reti Data una funzione di commutazione esiste una rete combinatoria che la calcola ai bi ci si 0 0 1 1 15/09/2021 0 0 1 1 0 1 0 0 1 13

Espressioni E Reti Introduciamo la Algebra di Commutazione 15/09/2021 14

Espressioni E Reti Un’algebra di commutazione è un insieme B di elementi (espressioni booleane) contenente le costanti 0 ed 1 con le seguenti operazioni: 1. Due operazioni binarie, AND e OR, che sono commutative, associative, idempotenti e godono delle proprietà di assorbimento e di distributività reciproca. 2. Una operazione unaria, COMPLEMENTO (o NOT), con le proprietà di involuzione, complementarietà e legge di De Morgan 3. Le costanti 0 e 1 godono delle proprietà: 4. NOT(0) = 1 5. x 1=x x+0=x 6. x 0=0 x+1=1 15/09/2021 15

Espressioni E Reti Assioma: Ciascuna espressione assume il valore 0 o il valore 1 per ogni assegnazione dei valori alle sue variabili. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 15/09/2021 x=x x y= y x xx=x x x= 0 x (y+z)= x y + x z x (x+y)= x (x y) z= x (y z) x y = x+y Principio di dualità: Data una espressione valida, otteniamo un’altra espressione valida: 1. Scambiando AND ed OR 2. Scambiano 0 ed 1 16

Espressioni E Reti Consideriamo la seguente espressione per essa possiamo ricavare due forme standard SOP 15/09/2021 POS 17

Espressioni E Reti 15/09/2021 18

Espressioni E Reti 15/09/2021 19

Reti all-NAND La funzione NAND ha la seguente tavola x 1 x 0 0 0 1 1 15/09/2021 0 1 1 0 E’ possibile mostrare che una qualunque espressione logica si può calcolare con una rete che utilizza la sola porta NAND. 20

Reti all-NAND L’insieme AND, OR, NOT è un insieme funzionalmente completo Occorre quindi mostrare che con l’utilizzo della sola porta NAND posso realizzare le tre funzioni AND, OR, NOT 15/09/2021 21

Reti all-NAND La prova discende dalle seguenti relazioni: NAND(x, x)=NOT(AND(x, x))=NOT(x): NAND(x, y), NAND(x, y)) = NOT(AND(NAND(x, y), NAND(x, y)) = NOT(NAND(x, y) = AND(x, y): NAND(x, x), NAND(y, y)) = NOT(AND(NAND(x, x), NAND(y, y)) = NOT(AND(NOT(x), NOT(y)) = OR(x, y): 15/09/2021 22

Reti all-NOR In maniera del tutto analoga è possibile mostrare che una qualunque espressione logica si può calcolare con una rete che utilizza la sola porta NOR. 15/09/2021 23