Resoluo SLD As refutaes por resoluo so pesadas

Resolução SLD As refutações por resolução são ‘pesadas’ e ‘caras’, no caso geral. Com um conjunto inconsistente de cláusulas existirão, tipicamente, numerosas formas de derivar a cláusula vazia através da resolução. Podem existir muitas formas de escolher as premissas, enquanto que para cada escolha de premissas podem existir muitas maneiras de as ‘resolver’ de acordo com os vários literais disponíveis para um passo da resolução. Universidade da Madeira Departamento de Matemática Elsa Carvalho 218 Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05)

Resolução SLD No entanto, em certos fragmentos, podemos definir procedimentos de refutação eficientes. É o caso das cláusulas de Horn: q p 1, . . . , pn cláusula de programa p 1, . . . , pn objectivo em que SLD: D de definidas Programa é um conjunto (finito) de cláusulas definidas (cláusulas de programa). Universidade da Madeira Departamento de Matemática Elsa Carvalho 219 Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05)

Resolução SLD: L de linear Cada passo de resolução (aplicação da regra de inferência) usa como premissa (cláusula central) o resolvente mais recente. Partindo de um objectivo e um programa, uma derivação (S)LD só gera objectivos como resolventes. Prova Note-se que, em cada passo, sendo a resolução linear, uma das premissas é um objectivo (o resolvente anterior ou a interrogação inicial) e que os objectivos só admitem como segunda premissa uma cláusula de programa. Isto é, num passo de resolução (S)LD a cláusula central é um objectivo e a outra premissa (cláusula lateral) é uma das cláusulas do programa. Ora o resolvente de um objectivo e de uma cláusula de programa é ainda um objectivo. Universidade da Madeira Departamento de Matemática Elsa Carvalho 220 Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05)

Resolução SLD: S de selecção Regra de computação: selecciona, em cada passo, a fórmula atómica, do objectivo, que vai ser eliminada. Um objectivo diz-se derivável de um programa P e de um objectivo G via uma regra de computação S quando é o resolvente de um passo de resolução, tendo como premissas c P e G, e a fórmula eliminada é S(G). Quer dizer, se G for p 1, . . . , pk, . . . , pm, tal que pk=S(G), e c for q q 1, . . . , qn (o que exige que pk e q sejam unificáveis) o resolvente é (p 1, . . . , pk-1, q 1 , . . . , qn , pk+1, . . . , pm ) em que é um U. M. G de {pk, q }. Universidade da Madeira Departamento de Matemática Elsa Carvalho 221 Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05)

Resolução SLD Uma refutação SLD para P e G 0 via S é uma derivação SLD para P e G 0 via S que termina com (derivação bem sucedida). A resolução mantém a propriedade de ‘refutation complete’ com a restrição SLD. Mais do que isso permite a derivação de todas as respostas distintas à interrogação inicial seja qual for a regra de computação escolhida. Esta propriedade é conhecida como a independência da regra de computação. Universidade da Madeira Departamento de Matemática Elsa Carvalho 222 Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05)

Exemplo Conside-se a seguinterrogação e o programa finito Q 1: ? avo(amelia, Z) C 1: avo(X, Z) progenitor(X, Y), progenitor(Y, Z) C 2: progenitor(amelia, jose) C 3: progenitor(jose, luis) C 4: progenitor(jose, miguel) Construa as árvores em que a) não utiliza regra de computação b) selecciona o literal mais à esquerda para efectuar resolução c) selecciona o literal mais à direita para efectuar resolução Universidade da Madeira Departamento de Matemática Elsa Carvalho 223 Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05)

Exemplo Note-se que o primeiro caso é redundante, pois a mesma resposta é computada mais do que uma vez. As outras duas árvores utilizam resolução SLD. Em ambos os casos obtemos o conjunto completo de respostas possíveis: {avo(amelia, luis), avo(amelia, miguel)} de acordo com a independência da regra de computação. Universidade da Madeira Departamento de Matemática Elsa Carvalho 224 Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05)

Resolução SLD Uma árvore SLD (computação) para um programa P e um objectivo G via uma regra de computação S define-se de seguinte modo: a sua raiz é G cada nó tem um filho para cada um dos objectivos deriváveis de P via S (um filho por cada uma das cláusulas do programa cuja cabeça pode ser unificada com a fórmula do objectivo seleccionada por S). Assim temos que: cada ramo da árvore é uma derivação para P e G via S. um ramo finito com folha (sucesso) indica uma derivação bem sucedida (refutação). um ramo finito sem folha indica uma derivação falhada (completa-se com a folha de insucesso finito). podem existir ramos infinitos! Universidade da Madeira Departamento de Matemática Elsa Carvalho 225 Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05)

Resolução SLD Podemos voltar a enunciar a propriedade de independência da regra de computação em termos das árvores SLD: duas árvores SLD para o mesmo programa e objectivo, mas via regras de computação diferentes, têm o mesmo número de ramos bem sucedidos e calculam as mesmas respostas. As árvores podem ter formas muito distintas, diferindo em particular nos ramos falhados ou infinitos. Universidade da Madeira Departamento de Matemática Elsa Carvalho 226 Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05)

Exemplo Dinastia_1 C 1: C 2: C 3: C 4: ante(X, Z) pai(X, Y), ante(Y, Z) ante(X, Z) pai(X, Z) pai(joao. II, afonso. V) pai(afonso. V, duarte) Q 1: ante(joao. II, Q) Universidade da Madeira Departamento de Matemática Elsa Carvalho (quem são os antecessores de joao. II? ) 227 Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05)

Exemplo (cont. ) Selecção do primeiro ante(joao. II, Q) pai(joao. II, Y 1), ante(Y 1, Q) pai(joao. II, Q) ante(afonso. V, Q) pai(afonso. V, Y 2), ante(Y 2, Q) ante(duarte, Q) pai(duarte, Y 3), ante(Y 3, Q) Universidade da Madeira Departamento de Matemática Elsa Carvalho {Q/afonso. V} pai(afonso. V, Q) {Q/duarte} pai(duarte, Q) 228 Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05)

Exemplo (cont. ) Selecção do último ante(joao. II, Q) pai(joao. II, Y 1), ante(Y 1, Q) pai(joao. II, Y 1), pai(Y 1, Y 2), ante(Y 2, Q) pai(joao. II, Y 1), pai(Y 1, Q) {Q/afonso. V} pai(joao. II, Y 1), pai(Y 1, Y 2), pai(Y 2, Q) ∞ pai(joao. II, Y 1), pai(Y 1, joao. II) pai(joao. II, afonso. V) pai(joao. II, Y 1), pai(Y 1, afonso. V) {Q/duarte} pai(joao. II, joao. II) Universidade da Madeira Departamento de Matemática Elsa Carvalho 229 Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05)

Estratégia de Pesquisa Finalidade: Determinar a existência de um ramo bem sucedido (refutação). Possivelmente, determinar todas as respostas calculáveis (uma por cada ramo bem sucedido). Questão: Que estratégia usar para explorar a árvore? (Regra de Pesquisa) Como construir a árvore? A necessidade de uma tal estratégia é característica do formalismos relacionais (existência de mais de uma resposta) em oposição aos formalismos funcionais. Universidade da Madeira Departamento de Matemática Elsa Carvalho 230 Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05)

Estratégia de Pesquisa Execução Sequencial Descendente, em Profundidade, com Retrocesso Relativamente a cada nó, atribui-se uma prioridade a cada um dos seus filhos (atribuir uma prioridade a cada uma das cláusulas do programa cuja cabeça pode ser unificada com a fórmula do objectivo seleccionada pela regra de computação). A execução começa com a geração da raiz. Encontrando-se o controlo num nó, gera-se o filho de maior prioridade entre os que ainda não foram gerados e passa-se-lhe o controlo. Se não houver filhos, ou se já tiverem sido todos gerados, então o controlo é passado ao ascendente mais próximo que ainda tem filhos por gerar. Se tal ascendente não existe, é porque a árvore já foi totalmente gerada, terminando-se então a execução. Universidade da Madeira Departamento de Matemática Elsa Carvalho 231 Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05)

Estratégia de Pesquisa Esta é a estratégia seguida pelo Prolog, sendo a prioridade determinada pela ordem das cláusulas no programa - estratégia padrão. No nosso exemplo o Prolog teria gerado a primeira árvore (se seguirmos a convenção habitual de apresentar as computações da esquerda para a direita ao longo da página de acordo com a ordem cronológica com que são geradas). Universidade da Madeira Departamento de Matemática Elsa Carvalho 232 Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05)

Estratégia de Pesquisa Execução Descendente, em Largura Todos os nós de uma geração são gerados antes de passar à geração seguinte (sendo P finito, cada geração é finita). Se a árvore é finita, a escolha da estratégia de pesquisa é inconsequente (apenas a ordem das respostas varia). A pesquisa em profundidade optimiza a utilização de memória. No entanto, se a árvore possui um ramo infinito, a execução nunca sai desse ramo, e as respostas calculáveis nos outros ramos não serão geradas (inadequação). A pesquisa em largura garante que cada resposta calculável é gerada em tempo finito (se bem que a pesquisa numa árvore infinita se prolongaria indefinidamente). No entanto exige demasiada utilização de memória. Universidade da Madeira Departamento de Matemática Elsa Carvalho 233 Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05)

Regra de Computação e Regra de Pesquisa PROLOG - Regra de Computação Escolha do primeiro literal do objectivo. PROLOG - Regra de Pesquisa Descendente, em profundidade, escolhendo as cláusulas do programa de acordo com a ordem pela qual ocorrem no programa. Uma vez fixadas, as regras de computação e de pesquisa permitem escolher, entre programas logicamente equivalentes, os que têm uma execução mais eficiente fazendo variar a ordem dos predicados no corpo das cláusulas, e a das cláusulas no corpo do programa. É neste sentido que se programa em PROLOG (programação vs. representação). Universidade da Madeira Departamento de Matemática Elsa Carvalho 234 Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05)

Regra de Computação e Regra de Pesquisa A Ordem das Cláusulas determina o percurso de construção. Pode, por exemplo, comparar-se o percurso de construção da árvore de pesquisa para o objectivo ante(joao. II, Q) e o programa Dinastia_2 ante(X, Z) pai(X, Z) ante(X, Z) pai(X, Y), ante(Y, Z) pai(joao. II, afonso. V) pai(afonso. V, duarte) com o caso anterior (Dinastia_1: ordem inversa das cláusulas para o procedimento ante) Universidade da Madeira Departamento de Matemática Elsa Carvalho 235 Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05)

Regra de Computação e Regra de Pesquisa ante(joao. II, Q) pai(joao. II, Q) {Q/afonso. V} pai(joao. II, Y 1), ante(Y 1, Q) ante(afonso. V, Q) pai(afonso. V, Y 2), ante(Y 2, Q) pai(afonso. V, Q) ante(duarte, Q) {Q/duarte} pai(duarte, Q) Universidade da Madeira Departamento de Matemática Elsa Carvalho 236 pai(duarte, Y 3), ante(Y 3, Q) Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05)

Regra de Computação e Regra de Pesquisa A Ordem dos Predicados determina a forma da árvore. Pode, por exemplo, comparar-se o percurso de construção da árvore de pesquisa para o objectivo ante(joao. II, Q) e o programa Dinastia_3 ante(X, Z) pai(X, Z) ante(X, Z) ante(Y, Z), pai(X, Y) pai(joao. II, afonso. V) pai(afonso. V, duarte) com o caso anterior (Dinastia_2: ordem inversa dos predicados para a cláusula recursiva) Universidade da Madeira Departamento de Matemática Elsa Carvalho 237 Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05)

Regra de Computação e Regra de Pesquisa ante(joao. II, Q) pai(joao. II, Q) ante(Y 1, Q), pai(joao. II, Y 1) ante(Y 2, Q), pai(Y 1, Y 2), pai(joao. II, Y 1) pai(Y 1, Q), pai(joao. II, Y 1) {Q/afonso. V} pai(joao. II, joao. II) pai(joao. II, afonso. V) pai(Y 2, Q), pai(Y 1, Y 2), pai(joao. II, Y 1) pai(Y 1, joao. II), pai(joao. II, Y 1) pai(Y 1, afonso. V), pai(joao. II, Y 1) {Q/duarte} pai(joao. II, joao. II) Universidade da Madeira Departamento de Matemática Elsa Carvalho 238 ∞ Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05)

Regra de Computação e Regra de Pesquisa Que aconteceria se a ordem das cláusulas do procedimento ante fosse trocada? (Dinastia_4) Num programa recursivo, a base deve estar antes do passo! Podemos ainda concluir que a árvore originada por Dinastia_2 é a mais simples (juntamente com Dinastia_1 para este objectivo). Esta comparação remete-nos para uma regra a utilizar aquando da resolução de problemas: é normalmente melhor tentar a ideia mais simples primeiro! Universidade da Madeira Departamento de Matemática Elsa Carvalho 239 Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05)

Regra de Computação e Regra de Pesquisa No nosso caso, todas as versões da relação ante(cessor) são baseadas em 2 ideias: a ideia mais simples é verificar se os dois argumentos da relação satisfazem a relação de pai. a ideia mais complicada é descobrir alguém entre as duas pessoas (alguém que esteja relacionado com elas através da relação de pai e antecessor) No caso de Dinastia_2 as ideias mais simples são resolvidas em primeiro lugar. No caso de Dinastia_4 tenta-se sempre resolver as ideias mais complicadas em primeiro lugar. Universidade da Madeira Departamento de Matemática Elsa Carvalho 240 Programação em Lógica e Funcional (2000/01) (Actualizado em 2004/05)