RESOLUCIN DE SISTEMAS U D 1 2 BCS

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS U. D. 1 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 1

SISTEMAS ESCALONADOS U. D. 1. 3 * 2º BCS @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 2

SISTEMAS ESCALONADOS • • • Sea el sistema de orden dos: ax + by = c b’y =c’ • • Sea el sistema de orden tres: ax + by + cz = d b’y + c’z =d’ c”z =d” • Ambos sistemas se llaman escalonados, puesto que resolviendo consecutivamente las ecuaciones de abajo hacia arriba nos permiten fácilmente deducir el valor de cada incógnita, siempre que el sistema sea compatible y determinado. Otra ventaja de dicha estructura es poder ver rápidamente si el sistema es o no compatible. Todos los sistemas se pueden convertir en sistemas equivalentes escalonados. • • @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 3

SISTEMAS ESCALONADOS • EJEMPLO_1 • • 3 x + 5 y = 13 2 y = 4 • • De la (2) y = 4/2=2 En la (1) 3 x + 10 = 13 3 x = 3 x = 1 • EJEMPLO_2 • • • 4 x + y + 7 z = - 6 2 y + 3 z = – 1 5 z = – 5 • • • De la (3) z = – 5 / 5 = – 1 En la (2) 2 y – 3 = – 1 2 y = 2 y = 1 En la (3) 4 x + 1 – 7 = – 6 4 x = 0 @ Angel Prieto Benito (1) (2) (3) Apuntes 2º Bachillerato C. S. 4

OTROS S. ESCALONADOS SISTEMAS • EJEMPLO_3 • • • -7 y - 3 z 3 x + 5 y + z 5 z • Variando el orden de las ecuaciones: • • 3 x + 5 y + z -7 y - 3 z 5 z Resolución: • • • De la (3) z = - 2 En la (2) - 7 y + 6 = 13 - 7 y = 7 y = - 1 En la (1) 3 x – 5 – 2 = 2 3 x = 9 x = 3 @ Angel Prieto Benito =7 =2 = – 10 =2 =7 = – 10 (1) (2) (3) Apuntes 2º Bachillerato C. S. 5

TRANSFORMACIÓN • Sea el sistema de orden dos: • ax + by = c (1) • a’x + b’y = c’ (2) • Para transformar el sistema dado en otro equivalente de forma escalonado se procederá en dos pasos: • 1º. - Dividir la (1) entre el valor de “a”. Quedará: • x + my = n (1) • a’x + b’y = c’ (2) • 2º. - A la ecuación (2) la restamos la (1) multiplicada por “a’”. Quedará ya escalonado: • x + my = n (1) • py = q (2) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 6

TRANSFORMACIÓN Ejemplo • Ejemplo • • • Sea el sistema de orden dos: 2 x – 4 y = 10 (1) 3 x + 7 y = - 11 (2) • • • 1º. - Divido la (1) entre 2: x – 2 y = 5 (1) 3 x + 7 y = - 11 (2) • • • 2º. - A la ecuación (2) la restamos la (1) multiplicada por 3: x – 2 y = 5 (1) 13 y = - 26 (2) • • Y queda escalonado. Resolviendo el sistema: @ Angel Prieto Benito y = - 2 x = 5+2 y = 5 – 4 = 1 Apuntes 2º Bachillerato C. S. 7

TRANSFORMACIÓN • • Sea el sistema de orden tres: ax + by + cz = d (1) a’x + b’y + c’z = d’ (2) a”x + b”y + c”z = d” (3) • Para transformar el sistema dado en otro equivalente de forma escalonado se procederá en tres pasos: 1º. - Dividir la (1) entre el valor de “a”. Quedará: x + my + nz = p (1) a’x + b’y + c’z = d’ (2) a”x + b”y + c”z = d” (3) • • 2º. - A la ecuación (2) la restamos la (1) multiplicada por a’. Y a la ecuación (3) la restamos la (1) multiplicada por a”. Quedará: x + my + nz = p (1) ey + fz = g (2) ky + qz = t (3) @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 8

TRANSFORMACIÓN • 3º. - A la ecuación (3) la restamos la (2) multiplicada por k/e. Quedará ya escalonado: • x + my + nz = p • ey + fz = g • + hz = r (1) (2) (3) • Para otros sistemas se seguirá la estrategia más conveniente a cada caso, aunque se recomienda utilizar el método expuesto. • No obstante la clave estará en conseguir que el coeficiente de x en la primera ecuación sea la unidad. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 9

TRANSFORMACIÓN Ejemplo • Ejemplo • • Sea el sistema de orden tres: 3 x + 6 y + 9 z = 18 (1) 2 x + 5 y + 7 z = 13 (2) 5 x + 3 y + 2 z = 10 (3) • • 1º. - Divido la (1) entre 3: x + 2 y + 3 z = 6 (1) 2 x + 5 y + 7 z = 13 (2) 5 x + 3 y + 2 z = 10 (3) • 2º. - A la ecuación (2) la restamos la (1) multiplicada por 2. Y a la ecuación (3) la restamos la (1) multiplicada por 5. Quedará: x + 2 y + 3 z = 6 (1) y+z =1 (2) – 7 y – 13 z = – 20 (3) • • • @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C. S. 10

TRANSFORMACIÓN • 3º. - A la ecuación (3) la sumamos la (2) multiplicada por 7. Quedará finalmente un sistema equivalente al dado pero ya escalonado: • x + 2 y + 3 z = 6 (1) • y+z = 1 (2) • – 6 z = – 13 (3) • Resolviéndolo: • En la (3): • En la (2): • En la (1): @ Angel Prieto Benito z = 13/6 y= 1 – z = 1 – 13/6 = - 7/ 6 x= 6 – 2 y – 3 z = 6 +14/6 – 39/6 = 11 / 6 Apuntes 2º Bachillerato C. S. 11