REPS BIOESTADSTICA I PART PROBABILITAT VARIABLE ALEATORIA Bioestadstica

REPÀS BIOESTADÍSTICA I PART PROBABILITAT VARIABLE ALEATORIA Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 1

REPÀS PROBABILITAT Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 2

Repàs probabilitat n n n Un experiment és un procés mitjançant el qual s’obté una observació. L’espai mostral (Ω) és el conjunt de tots els resultats possibles d’un experiment aleatori Un esdeveniment A és qualsevol de tots els resultats possibles d’un experiment que compleix una determinada característica A Un esdeveniment A és un subconjunt de l’espai mostral Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 3

Repàs probabilitat Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 4

Probabilitat condicionada S’anomena probabilitat de A condicionada a B, al valor de la probabilitat de A sabent que l’esdeveniment B ja ha succeït : Si A y B son independents: Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 5

Repàs probabilitat Sigui A 1, A 2, A 3, …, Ak, una partició del espai mostral Ω Ω A 1 Bioestadística FMCS Reus A 2 B Curs 2014 -2015 Ak 6

Repàs probabilitat El Teorema de Bayes ens permet calcular la probabilitat de que es doni un esdeveniment, sabent que com a resultat final del experiment s’ha produït altre determinat esdeveniment Ω A 1 Bioestadística FMCS Reus A 2 B Curs 2014 -2015 Ak 7

Exercici 5 La probabilitat de ser del grup A es d’un 40% El 60% dels individus del grup A desenvolupen una malaltia El 30% dels individus que no pertanyen al grup A desenvolupen una malaltia Si agafem a l’atzar un individu malalt quina es la probabilitat que pertanyi al grup A? Quina es la probabilitat de que un individu o pertany al grup A o estigui malalt (o les dues coses a la vegada)? Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 8

Exercici 5 La probabilitat de ser del grup A es d’un 40% El 60% dels individus del grup A desenvolupen una malaltia El 30% dels individus que no pertanyen al grup A desenvolupen una malaltia Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 9

Exercici 5 Si agafem a l’atzar un individu malalt quina es la probabilitat que pertanyi al grup A? Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 10

Exercici 5 Quina es la probabilitat de que un individu o pertany al grup A o estigui malalt (o les dues coses a la vegada)? Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 11

REPÀS VARIABLE ALEATORIA Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 12

Distribució Binomial Un experiment binomial es aquell que compleix aquestes característiques: q q q N proves idèntiques A cada prova dos resultats possibles (Èxit o fracàs) La probabilitat d’èxit (p) o fracàs (1 -p) es constant a cada prova El resultat de cada prova es independent al de altres proves El nostre interès estarà en la variable aleatòria X, el nombre d'èxits a cada prova Distribució binomial X~B(n, p) E(X)=np Bioestadística FMCS Reus V(X)=np(1 -p) Curs 2014 -2015 13

Distribució Poisson El nombre de successos que ocorren en un interval de temps, de longitud, de espai segueix una distribució de Poisson si q q La probabilitat de un succés es la mateixa en tot l’interval La probabilitat de un succés no depèn dels successos ocorreguts amb anterioritat Distribució Poisson X~P(λ) E(X)=λ Bioestadística FMCS Reus λ: Nombre mig de successos en un interval V(X)=λ Curs 2014 -2015 14

Propietats Esperança i Variança Propietats esperança: q q E(k) = k E(X+Y)=E(X)+E(Y) E(k. X)=k. E(X) E(k 1 X+k 2 Y)=k 1 E(X)+k 2 E(Y) Propietats variança: q q V(k) = 0 V(X+Y)=V(X)+V(Y) V(k. X)=k 2 V(X) V(k 1 X+k 2 Y)=k 12 V(X)+k 22 V(Y) Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 15

Exercici n La probabilitat de una reacció al·lèrgica es del 1% q q Quina es individus Bioestadística FMCS Reus la probabilitat de que en una mostra de 10 hi hagi alguna reacció al·lèrgica? la probabilitat de que en una mostra de 120 hi hagi mes de 2 reaccions al·lèrgiques? Curs 2014 -2015 16

Exercici Quina es la probabilitat de que en una mostra de 10 individus hi hagi alguna reacció al·lèrgica? n n n N=10 P=0’ 01 X: Nombre de persones amb reacció al·lèrgica X~B(10, 0’ 01) P(X≥ 1)= 1 -P(X=0) = Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 17

Exercici n x p=0, 01 10 0 0, 90438 1 0, 09135 2 0, 00415 3 0, 00011 4 0, 00000 5 0, 00000 6 0, 00000 7 0, 00000 8 0, 00000 9 0, 00000 10 0, 00000 Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 18

Exercici Quina es la probabilitat de que en una mostra de 10 individus hi hagi alguna reacció al·lèrgica? n n n N=10 P=0’ 01 X: Nombre de persones amb reacció al·lèrgica X~B(10, 0’ 01) P(X≥ 1)= 1 -P(X=0) = 1 – 0’ 9044 = 0’ 0956 Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 19

Exercici Quina es la probabilitat de que en una mostra de 120 individus hi hagi mes de 2 reaccions al·lèrgiques? n n n N=120 P=0’ 01 X: Nombre de persones amb reacció al·lèrgica X~B(120, 0’ 01) N gran X~B(120, 0’ 01) Bioestadística FMCS Reus X~Poisson(λ=120· 0’ 01) X~Poisson(λ=1’ 2) Curs 2014 -2015 20

Exercici X~Poisson(λ=1’ 2) p(X>2) = 1 – [ p(X=0) + p(X=1) + p(X=2) ] = Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 22

Exercici λx 0 1 2 1, 2 0, 3012 0, 3614 0, 2169 Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 23

Exercici X~Poisson(λ=1’ 2) p(X>2) = 1 – [ p(X=0) + p(X=1) + p(X=2) ] = = 1 – [ 0’ 3012 + 0’ 3614 + 0’ 2169] = = 1 – 0’ 8795 = 0’ 1205 Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 24

Distribución normal o de Gauss X ~ N( µ, σ) Està caracteritzada per dos paràmetres: n La mitjana, μ, n la desviació típica, σ. Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 25

P(X>a) a P(Z > (a-µ) / σ ) 0 Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 a-µ σ 26

Distribución normal o de Gauss q. P(a≤X≤b)=P(X≥a) – P(X≥b) q. P(Z>-a) = 1 - P(Z>a) Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 27

Exercici El pes de les persones d'una determinada població es distribueix normalment amb una mitjana de 80 kg. i una desviació típica 10 kg. Quina és la probabilitat de que una persona pesi entre 70 i 85 kg? Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 28

Exercici X~N(80, 10) Z~N(0, 1) P(X>a) a - 80 10 a Bioestadística FMCS Reus P(Z > (a-80) / 10 ) Curs 2014 -2015 29

Exercici X: N(80, 10) P(70 < X < 85) = P (X > 70) – P (X >85) = =P( > ) -P( > ) = P (Z > -1) – P (Z > 0’ 5) = = [1 – P(Z>1)] – P(Z>0’ 5) = Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 30

Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 31

Exercici X: N(80, 10) P(70 < X < 85) = P (X > 70) – P (X >85) = =P( > ) -P( > ) = P (Z > -1) – P (Z > 0’ 5) = = [1 – P(Z>1)] – P(Z>0’ 5) = = [1 – 0’ 1587] – 0’ 3086 = 0’ 8413 – 0’ 3086 = 0’ 5327 Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 32

REPÀS BIOESTADÍSTICA II PART INTERVAL DE CONFIANÇA PROVES D'HIPÒTESIS COMPARACIÓ DE DUES VARIABLES Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 33

REPÀS INTERVAL DE CONFIANÇA Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 34

Repàs interval de confiança Interval de confiança d’una mitjana: q σ coneguda q σ desconeguda, n gran (n≥ 30) q σ desconeguda, n petita (n<30) Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 35

Repàs interval de confiança Interval de confiança d’una proporció: Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 36

REPÀS PROVES D’HIPÒTESIS Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 37

Repàs proves d’hipòtesi Una prova d’hipòtesis consta de quatre elements: q q Hipòtesis nul·la (H 0) Hipòtesis alternativa (Hα) El estadístic de la prova La regió de rebuig o regió crítica Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 38

Repàs proves d’hipòtesi • Hipòtesis Nul·la (H 0) H 0: µ = a • Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ a • El estadístic de la prova (σ coneguda) • • Sota la hipòtesi H 0 certa La regió de rebuig o regió crítica Rebuig de H 0 si z Є (-∞, -zα/2) o z Є (zα/2, ∞) Acceptació de H 0 si z Є (-zα/2, zα/2) Si α=0. 05 Bioestadística FMCS Reus z α/2= z 0. 025=1. 96 Curs 2014 -2015 39

Repàs proves d’hipòtesi • Hipòtesis Nul·la (H 0) H 0: µ ≤ a • Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ > a • El estadístic de la prova (σ coneguda) • • Sota la hipòtesi H 0 certa La regió de rebuig o regió crítica Rebuig de H 0 si z Є (zα, ∞) Acceptació de H 0 si z Є (-∞, zα) Si α=0. 05 Bioestadística FMCS Reus z α= z 0. 05=1. 645 Curs 2014 -2015 40

Repàs proves d’hipòtesi • Hipòtesis Nul·la (H 0) H 0: µ = a • Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ a • El estadístic de la prova (σ desconeguda) • • Sota la hipòtesi H 0 certa La regió de rebuig o regió crítica Rebuig de H 0 si t Є (-∞, -t n-1, α/2) Acceptació de H 0 si t Є (- t o t Є (t n-1, α/2, ∞) n-1, α/2, t n-1, α/2) Si n gran la t-student es equivalent a una N(0, 1) Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 41

Repàs proves d’hipòtesi • Hipòtesis Nul·la (H 0) H 0: µ ≤ a • Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ > a • El estadístic de la prova (σ desconeguda) • • Sota la hipòtesi H 0 certa La regió de rebuig o regió crítica Rebuig de H 0 si t Є (t n-1, α, ∞) Acceptació de H 0 si t Є (-∞ , t n-1, α) Si n gran la t-student es equivalent a una N(0, 1) Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 42

Contrastos unilateral i bilateral La posició de la regió crítica depèn de com es facin les hipòtesis. Bilateral H 0 : µ = a H 1 : µ ≠ a - z /2 Unilateral H 0 : µ ≥ a H 1 : µ ≤ a H 0 : µ ≤ a H 1 : µ ≥ a - z Bioestadística FMCS Reus z Curs 2014 -2015 43

Exercici Sigui X una variable aleatòria amb desviació estàndar = 2 Volem testar: • Si la mitjana de X es 40 • Si la mitjana de X es igual o menor que 40 Agafem una mostra de 16 elements. Calculem la seva mitjana i ens dona 40’ 90 Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 44

Exercici • Hipòtesis Nul·la (H 0) H 0: µ = 40 H 0: µ ≤ 40 • Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µ ≠ 40 Hα : µ > 40 • El estadístic de la prova (σ coneguda) • Sota la hipòtesi H 0 certa Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 45

Exercici Pel test bilateral, la regió de rebuig o regió crítica es: Rebuig de H 0 si z Є (-∞, -zα/2) o z Є (zα/2, ∞) Acceptació de H 0 si z Є (-zα/2, zα/2) Si α=0. 05 z α/2= z 0. 025=1. 96 Rebuig de H 0 si z Є (-∞, -1’ 96) o z Є (1’ 96, ∞) Acceptació de H 0 si z Є (-1’ 96, 1’ 96) 1’ 80 esta dintre de la regió de acceptació. Acceptem la hipòtesi nul·la, la mitjana es igual a 40 Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 46

Exercici Pel test unilateral, la regió de rebuig o regió crítica és: Rebuig de H 0 si z Є (zα, ∞) Acceptació de H 0 si z Є (-∞ , zα) Si α=0. 05 z α= z 0. 25=1. 645 Rebuig de H 0 si z Є (1’ 645, ∞) Acceptació de H 0 si z Є (-∞, -1’ 645) 1’ 80 esta dintre de la regió de rebuig. Rebutgem la hipòtesi nul·la, Acceptem hipòtesi alternativa, la mitjana es major que 40 Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 47

Tipus de error, poder i nivell de confiança Població real Decisió H 0 és falsa H 0 és certa Es refusa la H 0 Decisió correcte 1 - (poder) Risc (error tipus I) No es refusa la H 0 Risc (error tipus II) Decisió correcte 1 - (confiança) 1 - és el nivell de confiança Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 48

Contrast per al paràmetre p Hipòtesi nul·la Ha Hipòtesi alternativa Ha Tipus de contrast P = Po P ≠ po bilateral Estadístic de contrast Regió d’acceptació (-z /2, z /2) - z /2 1 - P po P > po unilateral P ≥ po P < pp unilateral Bioestadística FMCS Reus segueix una llei N(0, 1) z (-∞, z ) (-z , +∞) Curs 2014 -2015 1 - - z 1 - 49

REPÀS COMPARACIÓ DUES VARIABLES Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 50

Resum de la comparació de dues mitjanes observades • • • Hipòtesis Nul·la (H 0) H 0: µA- µB = 0 Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µA- µB ≠ 0 El estadístic de la prova • Sota la hipòtesi H 0 certa EE: Desviació estándar de la diferencia de mitjanes • La distribució del estadístic de la prova i la formula del estimador de EE depèn de: • La mida de les mostres • La normalitat de X en els dos grups • La variança de X sigui igual en els grups Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 51

Resum de la comparació de dues mitjanes observades Estratègia: n n coneguda (1) desconeguda q n. A i n. B 30 (2) q n. A i/o n. B < 30 n Distribució Normal q variàncies homogènies ( 2 A = 2 B) (3) q variàncies NO homogènies ( 2 A 2 B)(4) n Distribució no Normal proves no paramètriques Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 52

(1) coneguda (2) desconeguda, n gran (3) desconeguda, n petita, X normal, 2 A = 2 B (4) desconeguda, n petita, X normal, 2 A 2 B Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 53

Exercici Un grup de 16 individus que segueix una dieta A te una mitjana de IMC de 27 amb una desviació estàndard de 4. Un grup de 13 individus que segueix una dieta B te una mitjana de IMC de 27 amb una desviació estàndard de 5. Tenen els dos grups el mateix IMC amb una significació α=0’ 05 ? Quin es el grau de significació? Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 54

Exercici • • • Hipòtesis Nul·la (H 0) H 0: µA- µB = 0 Hipòtesis alternativa (Hα) Hα : µA- µB ≠ 0 El estadístic de la prova • Sota la hipòtesi H 0 certa EE: Desviació estándar de la diferencia de mitjanes • Situació: • desconeguda • n petita, • X normal, • 2 A = 2 B Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 55

Exercici desconeguda, n petita, X normal, 2 A = 2 B Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 56

Resultats Estimació de la variància comuna ( 2) a partir de la mitjana ponderada pels graus de llibertat de les variàncies s 2 A i s 2 B Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 57

Càlcul de l’Error Estàndard Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 58

Càlcul de l’estadístic de contrast: t de Student Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 59

Resultats La regió critica o de rebuig ser Rebuig de H 0 si t Є (-∞, -t 27, α/2) o t Є (t 27, α/2 , ∞) Acceptació de H 0 si t Є (-t 27, α/2 , t 27, α/2 ) Si α=0. 05 t 27, α/2= t 27, 0. 025=2’ 0518 2’ 2411 esta en la regió critica, Rebutgem H 0, les mitjanes del IMC en el grup A i el grup B no es poden considerar iguals El grau de significació es aquell valor de α tal que Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 60

Comparació de dues variables qualitatives Variable 2 1 Total . . f 1 Variabl e 1 Total n 3. . f n 1. n. 1 n. 3 n Una taula té f files i c columnes Per cada casilla de la taula calculem ofc = freqüències observades efc = freqüències esperades Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 61

Comparació de dues variables qualitatives n n Ho: Les distribucions de les categories de una variable NO SÓN DIFERENTS entre les diferents categories de l’altre variable. H 1: Les distribucions de les categories de una variable SÓN DIFERENTS entre les diferents categories de l’altre variable. n Estadístic de contrast: n Regió crítica: Rebuig de H 0 si X 2 > X 2 ( α , (c-1)(f-1) Acceptació de H 0 si X 2 < X 2 ( Bioestadística FMCS Reus ) α , (c-1)(f-1) Curs 2014 -2015 ) 62

Mida de la mostra per comparar dues proporcions observades n n n n = nombre d’individus necessaris a cada grup z = valor de z corresponent al risc fixat p. A = valor de la proporció esperada al grup A p. B = valor de la proporció esperada al grup B p. A-p. B = valor mínim de la diferencia que es vol detectar p = mitjana ponderada de les proporcions p. A i p. B Bioestadística FMCS Reus Curs 2014 -2015 63