Representao de Grafos UFES Representao de Grafos Por

Representação de Grafos UFES

Representação de Grafos • Por diagrama: mais usual e mais fácil de visualização de aspectos topológicos – Percursos em grafos, adjacências, etc. • Percepção de propriedades pode ser facilitada ou dificultada de acordo com o aspecto visual de um grafo – Isomorfismos, planaridade • Representação visual: não adequada para o computador – Como armazenar a estrutura de um grafo? UFES

Representações mais usuais • Lista de adjacência ou dicionário – Simples – Lista de listas de vértices – Cada lista: formada por um vértice e seus adjacentes – Adequada na representação de grafos esparsos – Ineficiente na busca de uma aresta no grafo UFES

Lista de adjacência - exemplo 1 2 3 1 1 2 2 1 3 3 2 4 1 4 • 4 4 • 3 3 • • 4 a c b d e a b c b a c c a b d b c e a • c e • d d • • • e • • • UFES

Lista de adjacência • A lista associada a um vértice pode ser vazia. • Em grafos não orientados, pode-se evitar a repetição na representação de arestas adotando-se algum critério de ordenação. UFES

Matriz de Adjacência • Seja G = (V, E) • A = (aij), 1 ≤ i, j ≤ n • aij = 1, quando {i, j} E 0, caso contrário UFES

Matriz de Adjacência a a c b b c d d e e e a b c d 0 1 1 0 1 1 0 0 UFES

Matriz de Adjacência Diagonal principal nula: grafos sem laços grafo não orientado Matriz simétrica: Número de 1´s na matriz = 2 m (grafo simples) Valores nulos: ausência de arestas Valores não nulos: presença de arestas ou arcos UFES

Matriz de Incidência • Seja G = (V, E) • B = (bkl), 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ l ≤ m • bkl = 1, quando o vértice k é incidente à aresta l 0, caso contrário UFES

Matriz de Incidência {a, b} {a, c} {a, e} {b, c} {b, d} {c, e} a c b a 1 1 1 0 0 b 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 c d e UFES

Matriz de Incidência • • Matriz esparsa de dimensão nxm Exige muito espaço de armazenamento Número de 1´s na matriz = 2 m Representa exatamente um grafo Cada linha corresponde a um vértice Cada coluna corresponde a uma aresta Mais utilizada para representação de hipergrafos e programação inteira envolvendo estruturas de grafos UFES

Questão • Qual das representações computacionais de um grafo é a mais adequada? UFES

Exercícios • • Considere o grafo G e construa: a c b – sua lista de adjacência – sua matriz A de adjacência – sua matriz B de incidência – Calcule: • O produto A 2. O que significam os números na diagonal? • O produto B. Bt. O que significam os números na diagonal? E fora da diagonal? d Existe relação entre a matriz de adjacência de um grafo G e a matriz de adjacência do seu grafo complementar G? UFES

Percursos em um grafo UFES

Definição • Um percurso ou cadeia é uma seqüência de arestas sucessivamente adjacentes, cada uma tendo uma extremidade adjacente à anterior e a outra a subsequente (à exceção da primeira e da última) – Percurso fechado: a última aresta da sucessão é adjacente a primeira; – Percurso aberto: caso contrário UFES

Notação • A sucessão é indicada por: – Vértices – Arestas – Vértices e arestas alternados UFES

Exemplo G a c e b d UFES

Comprimento de um percurso • Número de arestas por ele utilizado (incluindo repetições) • O que é o comprimento de um percurso em um grafo valorado? UFES

Tipos de percurso • Simples: não repete arestas • Elementar: não repete vértices nem arestas (caminho) • Ciclo: percurso simples e fechado • Ciclo elementar: só há repetição do último vértice • Uma corda é uma aresta que une dois vértices não consecutivos de um ciclo UFES

Percurso abrangente • Um percurso é abrangente a um dos conjuntos do grafo quando utiliza todos os elementos desse conjunto ao menos uma vez • Euleriano • Hamiltoniano UFES

Exercícios • Indique percursos simples e não simples em G 1 • Indique percursos elementares em G 2 • Todo percurso elementar é simples. Todo percurso simples é elementar? Explique. • Indique um ciclo em G 1 e um ciclo elementar em G 2 • Indique um caminho de comprimento 4 em G 2 e um percurso de comprimento 6 em G 2 G 1 b d a c a d b c e G 22 e UFES