Representacin grfica de funciones REPRESENTACIN GRFICA DE UNA

Representación gráfica de funciones REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA Pág. 1

Representación gráfica de funciones Pág. 2 EJEMPLO 1 Representa gráficamente la función: f(x) = x 3 – 3 x 2

Representación gráfica de funciones EJEMPLO Representa gráficamente la función: Pág. 3 f(x) = x 3 – 3 x 2 SOLUCIÓN: 1. Dominio El dominio de f es todo R, todo valor de x (es un polinomio) 2. Puntos de corte con los ejes 2. 1. Cortes con eje X (y = 0): x 3 – 3 x 2 =0 x 2(x – 3) = 0 2. 2. Corte con eje Y (x = 0): f(x) = 03 – 3· 02 = 0 (0, 0) x 1 = 0 (0, 0) x 2 = 3 (3, 0)

Representación gráfica de funciones EJEMPLO Representa gráficamente la función: 3. Comportamiento en el infinito 4. Asíntotas VERTICALES: No tiene HORIZONTALES: No tiene OBLICUAS: No tiene Pág. 4 f(x) = x 3 – 3 x 2

Representación gráfica de funciones EJEMPLO Pág. 5 Representa gráficamente la función: 5. Intervalos de crecimiento Calculamos la primera derivada: La igualamos a cero: 3 x 2 f(x) = x 3 – 3 x 2 f (x) = 3 x 2 – 6 x = 0 3 x(x – 2) = 0 x 1 = 0 x 2 = 2 Obtenemos el signo de f en los intervalos determinados por estos puntos: Signo f + Creciente: (– , 0) x=0 y=0 x=2 y=– 4 Decreciente: (0, 2) + Creciente: (2, + )

Representación gráfica de funciones EJEMPLO Pág. 6 Representa gráficamente la función: f(x) = x 3 – 3 x 2 6. Máximos y mínimos Los posibles máximos y mínimos son: (0, 0) y (2, 0) Máximo: (0, Signo f + 0) Mínimo: (2, x=0 y=0 x=2 y = -4 – 4) + También podemos verlo con la derivada segunda: f (x) = 6 x – 6 f (0) = 6· 0 – 6 = – 6 < 0 Máximo: (0, 0) f (2) = 6· 2 – 6 = 6 > 0 Mínimo: (2, -4)

Representación gráfica de funciones EJEMPLO Pág. 7 Representa gráficamente la función: 7. Curvatura: Calculamos la derivada segunda: f(x) = x 3 – 3 x 2 f (x) = 3 x 2 – 6 x f (x) = 6 x – 6 = 0 x = 1 La igualamos a cero: Signo de f + x=1 y = – 2 convexa: (– , 1) cóncava: (1, + ) 8. Puntos de inflexión Los puntos de inflexión ocurren cuando la derivada segunda se hace cero: 6 x – 6 = 0 x = 1 Punto de inflexión: (1, – 2)

Representación gráfica de funciones EJEMPLO Representa gráficamente la función: Resumimos la información obtenida: 1. Dominio: R 2. Puntos de corte con los ejes 2. 1. Corte con eje X: (0, 0), (3, 0) 2. 2. Corte con eje Y: (0, 0) 3. Limites cuando x tiende a infinito 4. Asíntotas: No tiene. 5. Intervalos de crecimiento Creciente: (- , 0) (2, + ) Decreciente: (0, 2) 6. Máximo: (0, 0) Mínimo: (2, -4) 7. Curvatura cóncava: (- , 1) convexa: (1, + ) 8. Puntos de inflexión: (1, -2) 9. Dibujo de la gráfica Con los datos anteriores dibujamos la gráfica Pág. 8 f(x) = x 3 – 3 x 2

Representación gráfica de funciones EJEMPLO Pág. 9 Representa gráficamente la función: f(x) = x 3 – 3 x 2 Creciente: (- , 0) Decreciente: (0, 2) Creciente: (2, + ) Corte con eje Y (0, 0) Máx. local (0, 0) Cortes con eje X (0, 0) y (3, 0) Punto de infl. (1, -2) cóncava: (- , 1) convexa: (1, + ) Mín. local (2, – 4)

Representación gráfica de funciones EJEMPLO Representa gráficamente la función: Pág. 10 f(x) = x 3 – 3 x 2