Representacin de Denavit Hartenberg cartesiano EQUI PO 2
Representación de Denavit. Hartenberg (cartesiano) EQUI PO 2 RÓBO TICA 9 F 1 B INTEGR A NTE S: CRUZ S ANT ACR UZ ILSE DIAZ C HAVA RRIA EDDY EFRAIN GARCIA B ARR IENTO S EDGA R ANDRES HERN ÁN DEZ M ARTÍNEZ GA BRIEL E. 1/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. Asignación de Sistemas de Referencia Las articulaciones se numeran desde 1 hasta n. A la articulación i -ésima se le asocia su propio eje de rotación como Eje Zi− 1 , de forma que el eje de giro de la 1ª articulación es Z 0 y el de la n-ésima articulación, Zn− 1. En la Figura adjunta se muestra la estructura del Robot PUMA junto con sus articulaciones y ejes de rotación. 2/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. 1 - Zi y Zi− 1 no son paralelos Los ejes proporciona su mínima distancia (que puede ser 0). Esta distancia, i a , medida desde el eje Zi− 1 hacia el eje Zi (con su signo), es uno de los parámetros asociados a la articulación i -ésima. La distancia i d desde Qi− 1 a la intersección de la perpendicular común entre Zi− 1 y Zi con Zi− 1 es el 2º de los parámetros. En este caso, el Eje Xi es esta recta, siendo el sentido positivo el que va desde el Eje Zi− 1 al Zi si 0 i a >. 3/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. Zi y Zi− 1 son paralelos En esta situación el Eje Xi se toma en el plano conteniendo a Zi− 1 y Zi y perpendicular a. ambos. El origen Qi es cualquier punto conveniente del eje Zi. El parámetro i a es, como antes, la distancia perpendicular entre los ejes Zi− 1 y Zi , y i d es la distancia desde Qi− 1. Una vez determinado el Eje Xi , a la articulación i ésima se le asocia un 3 er parámetro fijo i α que es el ángulo que forman los ejes Zi− 1 y Zi en relación al eje Xi. 4/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. Transformación de coordenadas De los 4 parámetros asociados a una articulación, los 3 primeros son constantes y dependen exclusivamente de la relación geométrica entre las articulaciones i e i + 1 , mientras que el 4º parámetro i θ es la única variable de la articulación, siendo el ángulo de giro del eje Xi− 1 alrededor del eje Zi− 1 para llevarlo hasta Xi. 5/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. donde β₁ β₂ β₃ son las coordenadas de un punto en el S. R R₂, R es la matriz del Cambio de Base tal que (V₁ V₂ V₃ = (μ₁ μ ₂ μ ₃ * R λ₁ λ₂ λ₃ son las coordenadas del origen del segundo S. R. , Q 2 respecto al primero. La expresión permite entonces obtener las coordenadas α₁, α₂, α₃ del punto en cuestión con respecto al primero de los S. R. En nuestro caso, para pasar de la (i + 1) i -ésima, articulación a la i -esima, los Sistemas de Referencia son: R={Qi-1, (Xi-1, Yi-1, Zi-1} y R= {Qi-1, (Xi, Yi, Zi}. 6/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. Articulaciones compuestas con 2 o 3 Grados de libertad La representación Denavit - Hartenberg, pero para esta situación especial resulta conveniente cambiar la notación vista en la sección anterior y denominar a los Sistemas de Referencia como: Para el 1 er grado de libertad: ejes: Xiʿˈʾ , Yiʿ ˈ ʾ, Ziʿ ˈ ʾ Para el 2 do. Grado de libertad: ejes Xiʿ²ʾ , Yiʿ²ʾ, Ziʿ²ʾ Para el 3 er. Grado de libertad: ejes Xiʿᶟʾ , Yiʿᶟʾ, Ziʿᶟʾ Y los 3 Sistemas de Referencia tiene origen común Qi. 7/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. Transformación para la 1ª articulación: Los parámetros Denavit-artenberg αiʿˈʾ, diʿˈʾ para la 1ª articulación son ambos nulos y Xiʿ²ʾ = Ziʿˈʾ ⊗ Ziʿ²ʾ con lo cual αiʿˈʾ =90º y la matriz de transformación es: 8/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. Transformación para la 2ª articulación: Los parámetros Denavit-artenberg αiʿ²ʾ, diʿ²ʾpara la 2ª articulación son ambos nulos y Xiʿᶟʾ = Ziʿ²ʾ⊗ Ziʿᶟʾ con lo cual αiʿ²ʾ=90º y la matriz de transformación es: 9/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. Transformación para la 3ª articulación: Los parámetros Denavit-Hartenberg αiʿ²ʾ, diʿ²ʾpara la 3ª articulación son αi ʿ ᶟ ʾ = 0 y di ʿ ᶟ ʾ = ri pues estamos suponiendo Qi+1 = Ri * Xi ʿ ᶟ ʾ Por otra parte, y Xi ʿˈʾ +1 = Ziʿᶟʾ⊗ Zi+1ʿ ˈ ʾ de forma que αiʿᶟʾ = 90º y la matriz de transformación es: : 10/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 1. Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil dela cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerara como eslabón 0 a la base fija del robot. ESLABON 2 ESLABON 3 ESLABON 1 ESLABON 0 11/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 2. Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad y acabando en n). ARTICULACION 2 ARTICULACION 1 ARTICULACION 3 12/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 3. Localizar el eje de cada articulación. Si esta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento. EJE 3 EJE 1 EJE 2 13/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 4. Para i de 0 a n-1, situar el eje Zi, sobre el eje de la articulación i+1. EJE 3 Z 2 Z 1 Z 0 EJE 1 EJE 2 14/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 5. Situar el origen del sistema de la base (S 0) en cualquier punto del eje Z 0. Los ejes X 0 e Y 0 se situaran dé modo que formen un sistema dextrógiro con Z 0. EJE 3 X 0 EJE 1 Z 0 Y 0 EJE 2 15/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 6. Para i de 1 a n-1, situar el sistema (Si) (solidario al eslabón i) en la intersección del eje Zi con la línea normal común a Zi-1 y Zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría (Si) en el punto de corte. Si fuesen paralelos (Si) se situaría en la articulación i+1. EJE 3 Z 2 Z 1 X 0 EJE 1 Z 0 Y 0 EJE 2 16/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 7. Situar Xi en la línea normal común a Zi-1 y Zi. EJE 3 Z 2 X 2 Z 1 X 0 EJE 1 Z 0 X 1 Y 0 EJE 2 17/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 8. Situar Yi de modo que forme un sistema dextrógiro con Xi y Zi. EJE 3 Y 2 Z 2 X 2 Z 1 X 0 Y 1 X 1 EJE 1 Z 0 Y 0 EJE 2 18/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 9. Situar el sistema (Sn) en el extremo del robot de modo que Zn coincida con la dirección de Zn-1 y Xn sea normal a Zn-1 y Zn. EJE 3 Y 2 Z 2 X 2 Yn Z 1 Zn X 0 Xn Y 1 X 1 EJE 1 Z 0 Y 0 EJE 2 19/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. ACOTACIONES EJE 3 d 2 EJE 1 d 1 EJE 2 20/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 10. Obtener Øi como el ángulo que hay que girar en torno a Zi-1 para que Xi-1 y Xi queden paralelos. EJE 3 A 1 180° Z 1 X 0 Y 1 X 1 EJE 1 Z 0 Y 0 EJE 2 21/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 11. Obtener Di como la distancia, medida a lo largo de Zi-1, que habría que desplazar (Si-1) para que Xi y Xi-1 quedasen alineados. EJE 3 A 1 Z 1 180° d 1 Y 0 Z 0 Y 1 X 1 EJE 1 X 0 EJE 2 d 1 22/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 12. Obtener Ai como la distancia medida a lo largo de Xi (que ahora coincidiría con Xi-1) que habría que desplazar el nuevo (Si-1) para que su origen coincidiese con (Si). EJE 3 A 1 180° d 1 0 Z 1 Y 0 Z 0 Y 1 EJE 1 X 0 EJE 2 23/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 13. Obtener ai como el ángulo que habría que girar en torno a Xi (que ahora coincidiría con Xi-1), para que el nuevo (Si-1) coincidiese totalmente con (Si). EJE 3 A 1 180° d 1 0 -90° Y 2 Z 2 X 2 Yn Z 1 Zn Y 0 Xn Z 0 Y 1 EJE 1 X 0 EJE 2 24/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 10. Obtener Øi como el ángulo que hay que girar en torno a Zi-1 para que Xi-1 y Xi queden paralelos. EJE 3 A 1 180° d 1 0 -90° A 2 Z 1 Y 1 EJE 1 X 1 EJE 2 25/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 10. Obtener Øi como el ángulo que hay que girar en torno a Zi-1 para que Xi-1 y Xi queden paralelos. EJE 3 Y 2 Z 2 A 1 180° A 2 90° d 1 0 -90° X 2 Z 1 Y 1 EJE 1 X 1 EJE 2 26/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 11. Obtener Di como la distancia, medida a lo largo de Zi-1, que habría que desplazar (Si-1) para que Xi y Xi-1 quedasen alineados. EJE 3 Y 2 Z 2 A 1 180° d 1 A 2 90° d 2 0 -90° X 2 d 2 Z 1 Y 1 X 1 EJE 2 27/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 12. Obtener Ai como la distancia medida a lo largo de Xi (que ahora coincidiría con Xi-1) que habría que desplazar el nuevo (Si-1) para que su origen coincidiese con (Si). EJE 3 Z 1 Y 2 Y 1 Z 2 A 1 180° d 1 0 A 2 90° d 2 0 -90° X 2 X 1 EJE 2 28/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 13. Obtener ai como el ángulo que habría que girar en torno a Xi (que ahora coincidiría con Xi-1), para que el nuevo (Si-1) coincidiese totalmente con (Si). EJE 3 Z 1 Y 2 Y 1 Z 2 A 1 180° d 1 0 -90° A 2 90° d 2 0 90° X 2 X 1 EJE 2 29/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 10. Obtener Øi como el ángulo que hay que girar en torno a Zi-1 para que Xi-1 y Xi queden paralelos. EJE 3 Y 2 Z 2 A 1 180° d 1 0 -90° A 2 90° d 2 0 90° A 3 X 2 EJE 1 EJE 2 30/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 10. Obtener Øi como el ángulo que hay que girar en torno a Zi-1 para que Xi-1 y Xi queden paralelos. EJE 3 Y 2 Z 2 X 2 A 1 180° d 1 0 -90° A 2 90° d 2 0 90° A 3 0° Yn Zn Xn EJE 1 EJE 2 31/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 11. Obtener Di como la distancia, medida a lo largo de Zi-1, que habría que desplazar (Si-1) para que Xi y Xi-1 quedasen alineados. EJE 3 Y 2 d 3 Z 2 X 2 A 1 180° d 1 0 -90° A 2 90° d 2 0 90° A 3 0° d 3 Y 4 Z 4 X 4 EJE 1 EJE 2 32/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 12. Obtener Ai como la distancia medida a lo largo de Xi (que ahora coincidiría con Xi-1) que habría que desplazar el nuevo (Si-1) para que su origen coincidiese con (Si). EJE 3 A 1 180° d 1 0 -90° A 2 90° d 2 0 90° A 3 0° d 3 0 Y 2 Yn Z 2 Zn Xn X 2 EJE 1 EJE 2 33/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 13. Obtener ai como el ángulo que habría que girar en torno a Xi (que ahora coincidiría con Xi-1), para que el nuevo (Si-1) coincidiese totalmente con (Si). EJE 3 A 1 180° d 1 0 -90° A 2 90° d 2 0 90° A 3 0° d 3 0 0° Yn Zn Xn EJE 1 EJE 2 34/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 13. Obtener las matrices de transformación i-1 Ai. 35/36
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VERACRUZ. REPRESENTACIÓN DENAVIT – HARTENBERG EN ROBOT CARTESIANO. DH 15: La matriz T define la orientación (submatríz de rotación) y posición (submatríz de traslación) del extremo referido a la base en función de las n coordenadas articulares. Se elige un punto de referencia denotado como P 0 (0, 0, 0, 1) y se multiplica por T, para finalmente obtener la posición del efector final del robot (Pn) de acuerdo a sus coordenadas articulares elegidas en la función DHM. x = 36/36
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