Repaso y minutas para la practica Distintos cortes

Repaso y minutas para la practica

Distintos cortes de la misma ecuación: I. Compresión adiabática Esto vale en un gas monoatomico. Pregunta, difícil: ¿Para un gas diatomico, cuanto valdra gama? Existe alguna restriccion para gama

Constantes y variables: El ejercicio (a veces difícil) de saber que depende de que …

El experimento de Joule ¿Cuál es el balance de energía? ¿Cambia el volumen? ¿La presión? ¿La temperatura? ¿El proceso es reversible?

Presión del vapor es menor que la presión de equilibrio Presión de vapor en equilibrio es función de la temperatura.

Simulaciones

IV. Maquinas reversibles, Carnot, y las leyes de la termodinamica.

3 ) La génesis de las ideas fundamentales: Relacion entre calor y trabajo – reversibilidad. . . Sadi Carnot (1824)

Es imposible que un sistema pueda extraer energía en forma de calor de una sola fuente térmica y convertirla completamente en trabajo sin que se Kelvin’s way produzcan cambios netos en el sistema o en el medio que lo rodea. Es imposible un proceso cuyo único resultado sea transferir energía en forma de calor de un objeto a otro mas caliente. Clausius Es imposible que una maquina térmica funcione cíclicamente sin producir ningún otro efecto que extraer calor de un solo foco realizando una cantidad de A la Carnot trabajo exactamente equivalente.

Es imposible que un sistema pueda extraer energía en forma de calor de una sola fuente térmica y convertirla completamente en trabajo sin que se Kelvin’s way produzcan cambios netos en el sistema o en el medio que lo rodea. Q Ergo, una cantidad pertinente es la “eficiencia” Clausius Es imposible un proceso cuyo único resultado sea transferir energía en forma de calor de un objeto a otro mas caliente. W

LA MAQUINA DE CARNOT: Entendiendo la segunda ley sin entender la primera. (las mejores ideas “equivocadas” versión 1) La producción de potencia motora (puissance motrice) en maquinas de vapor no se debe al consumo de calórico sino a su transporte de una fuente caliente a una fuente fría. Por analogía, cuanto mayor es la diferencia de temperaturas mayor la eficiencia de la maquina. ¡Esto de hecho es cierto!

LA MAQUINA DE CARNOT: La secuencia de ciclos Primer fase: Expansión iso-termica a temperatura T 1. Se absorbe calor Q 1 (del baño a T 1) que se utilice para expandir el pistón.

LA MAQUINA DE CARNOT: La secuencia de ciclos Segunda Fase: Expansión adiabática. El gas se expande y la temperatura baja de T 1 a T 2. El gas pierde energía interna que se convierte en trabajo mecánico.

LA MAQUINA DE CARNOT: La secuencia de ciclos Tercer Fase: Compresión isotermica. El gas se comprime temperatura T 1. El pistón entrega energía mecánica que es absorbida, en forma de calor por el baño a temperatura T 2.

LA MAQUINA DE CARNOT: La secuencia de ciclos Cuarta Fase: Compresión adiabática. El gas se comprime y la temperatura sube de T 1 a T 2.

LA MAQUINA DE CARNOT: La secuencia de ciclos A T 1 T 2 B D Tres preguntas: ¿Cuál es el resultado del ciclo? ¿Esta maquina, puede operar al revés? C

LA MAQUINA DE CARNOT: El resultado de un ciclo T 1 T 2 El trabajo mecánico hecho por la maquina durante la fase de expansión.

LA MAQUINA DE CARNOT: El resultado de un ciclo El trabajo mecánico hecho por la maquina durante el ciclo. Q 1 Q 2 T 1 T 2 W=Q 1 -Q 2 El trabajo mecánico entregado a la maquina durante la compresión. ¿De donde sale la energía para realizar este trabajo? ¿Se viola la segunda ley?

LA MAQUINA DE CARNOT ES REVERSIBLE. PUEDE FUNCIONAR AL REVES T 1 Q 1 W Q 2 T 2 El motor de Carnot T 2 La heladera de Carnot

LA MAQUINA DE CARNOT: El resultado de un ciclo Expansión Isoterma Expansión Adiabatica Compresión Isoterma Compresion Adiabatica

W Q 1 T 1 Q 2 T 2 Idealmente (en la situación de “eficiencia” máxima) todo el calor de la fuente caliente es convertido en trabajo. Se define entonces eficiencia como: (es menor que 1 – cuanto mas cercano a 1, mayor conversión del calor de la fuente caliente a trabajo) Pregunta practica pertinente (que fue de hecho la motivación de Carnot): ¿qué determina la eficiencia?

LA MAQUINA DE CARNOT: Calculando la relación entre calor y trabajo A B D C bbb ccc Para una maquina de Carnot operando en un gas ideal, puede calcularse explícitamente la relación entre calor y temperatura.

W Q 1 Q 2 T 1 T 2 Si esta maquina es una maquina de Carnot operando en un gas ideal, entonces: Definición, vale siempre, simplemente reordenar términos Vale, según acabamos de “probar” para una maquina de Carnot opearndo en un gas ideal.

W Q 1 T 1 Q 2 T 2 De hecho, para cualquier maquina reversible, se tiene que: Este es uno de los resultados mas RESPUESTA A LA PREGUNTA fuertes de la termodinámica (EL DE CARNOT: CENTRO DEL UNIVERSO LA EFICIENCIA QUEDA TERMODINAMICO – SEGUN DETERMINADA POR EL FEYNMAN). COCIENTE DE TEMPERATURAS!

V Demostraciones termodinámicas por composiciones (lógicas) de Maquinas de Carnot. + El motor y la heladera de Carnot =. . . Álgebra de maquinas de Carnot

T 1 Q Q 1 -Q W Q = W=Q 1 -Q Q T 2 Supongamos que C no se cumple, es decir que existe una heladera que no consume trabajo Clausius Kelvin’s way

¿Existe alguna relación entre los calores absorbidos y entregados por dos maquinas trabajando a iguales temperaturas? T 1 Q 1(a) Q 1(b) Wa Wb Q 2(b) Q 2(a) T 2 Si A y B son maquinas de Carnot operando con gases ideales entonces. . . T 2

¿Existe alguna relación entre los calores absorbidos y entregados por las dos maquinas? T 1 Q 1(a) Q 1(b) Wa Wb Q 2(b) Q 2(a) T 2 Si A es reversible entonces T 2

¿Existe alguna relación entre los calores absorbidos y entregados por las dos maquinas? T 1 Q 1(a) Q 1(b) Wa Wb Q 2(b) Q 2(a) T 2 A es una Maquina Reversible T 2

(4 vueltas) Q 1(b) Ciclos (de refrigeracion de A) (5 vueltas) Q 1(a) Ciclos (de motor de B) T 1 Q 1(a) 5 Joules 4 Joules Q 1(b) Wa Wb Q 2(b) Q 2(a) T 2 ¿cómo hacer para que opere a unica temperatura. . . Para luego usar algun argumento de la ley C”

Q 1(b) Ciclos Q 1(a) Ciclos (de refrigeracion de A) (de motor de B) T 1 Q 1(a) Q 1(b) Wa ? Q 2(b) Q 2(a) T 2 Q 1(b)*Q 2(a) Wb + Q 2(b)*Q 1(a) ¿cuál es el resultado de esta maquina compuesta?

¿qué podemos decir de esto? T 1 ? T 2 Q 1(b)*Q 2(a) Tienen que ser iguales (por primera ley) y en este sentido (por segunda) + Q 2(b)*Q 1(a) Ninguna maquina es mas eficiente que una maquina reversible.

Jugando el mismo juego al reves (si ahora la maquina B es reversible) se tiene que, si ambas son reversibles entonces Es decir que el cociente de calores (y por ende la eficiencia. . . ) es solo una funcion de la temperatura, para cualquier maquina reversible. ¿¿qué funcion de la temperatura? ?

El ultimo paso hacia “el centro del universo termodinámico” es mostrar que esta función ex exactamente T 1/T 2 y que por lo tanto, tal como ya habiamos visto para el caso de los gases ideales, es cierto que para cualquier maquina reversible: Independientemente de los infinitos elementos que puedan distinguir a todas las maquinas reversibles. Carnot descansa en paz.

T 1 Q 1 W’’ W Q 2 T 2 Q 2 W’ Q 0 T 0

W Q 1 T 1 Q 2 T 2 De hecho, para cualquier maquina reversible, se tiene que: Este es uno de los resultados mas RESPUESTA A LA PREGUNTA fuertes de la termodinámica (EL DE CARNOT: CENTRO DEL UNIVERSO LA EFICIENCIA QUEDA TERMODINAMICO – SEGUN DETERMINADA POR EL FEYNMAN). COCIENTE DE TEMPERATURAS!

Ejercitando la segunda ley Pensando el equilibrio y la reversibilidad

REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO? Que todo sea lento. . . Que no hayan cambios abruptos. . . Estar todo el tiempo en equilibrio. . . Que corresponda a un punto bien definido en el plano P, V. . . Que no haya fricción. . . Que pueda volver ¿Por donde? ¿por qué tiene que ser por el mismo camino? ¿tiene que ser por el mismo camino? Empecemos por la mecánica, que es mas sencillo. Mi ejemplo favorito.

REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO? Sea A un edificio y B una masa apoyada en el techo del edificio Lanzamiento de masa, versión 1: Polea contrapeso de la misma masa. Velocidad inicial (pequeña), viscosidad del aire y de las poleas despreciables.

REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO? Sea A un edificio y B una masa apoyada en el techo del edificio Lanzamiento de masa, versión 1: Polea contrapeso de la misma masa. Velocidad inicial (pequeña), viscosidad del aire y de las poleas despreciables.

REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO? Sea A un edificio y B una masa apoyada en el techo del edificio Lanzamiento de masa, versión 2: Bungee jumping con un resorte que se frena justo en el piso y un gancho que ahí la sostiene.

REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO? Sea A un edificio y B una masa apoyada en el techo del edificio Lanzamiento de masa, versión 2: Bungee jumping con un resorte que se frena justo en el piso y un gancho que ahí la sostiene.

REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO? Sea A un edificio y B una masa apoyada en el techo del edificio Lanzamiento de masa, versión 3: Caída libre.

REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO? Sea A un edificio y B una masa apoyada en el techo del edificio Lanzamiento de masa, versión 3: Caída libre.

REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO? Sea A un edificio y B una masa apoyada en el techo del edificio Lanzamiento de masa, versión 3: Caída libre.

REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO? Sea A un edificio y B una masa apoyada en el techo del edificio Lanzamiento de masa, versión 4: La gran Charly. Salto a la pileta, la masa se frena por rozamiento con el agua.

REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO? Sea A un edificio y B una masa apoyada en el techo del edificio Lanzamiento de masa, versión 4: La gran Charly. Salto a la pileta, la masa se frena por rozamiento con el agua.

REVERSIBILIDAD ¿QUÉ ES ESO? ¿cuáles son reversibles? ¿Según que noción de reversibilidad? ¿cuál es la primer version termodinámica de este asunto?

“Fricción Térmica”: Dos experimentos de transferencia de calor de una fuente caliente a una fuente fría T 1 Q 1 W Q 2 T 1 -x T 2 T 1+x T 2 REVERSIBILIDAD COMO UN PROBLEMA DE CONSERVACION: ¿DE QUE? SOLUCION (A CASI TODOS LOS PROBLEMAS): ENTROPIA

Entrega de energía cinética (ordenada) El experimento arquetípico, versión 1: La expansión isotérmica de un pistón

W Q EL RESULTADO NETO ES: El medio entrego calor. El pistón genero trabajo (Q=W) E se conserva El gas se expandió (aumento la entropía) Podemos utilizar el trabajo generador para “reinstalar el orden”, comprimiendo el gas

El experimento arquetípico, versión 1: Expansion irreversible

El experimento arquetípico, versión 1: Expansion irreversible: En este momento P no cambia, T no cambia y V cambio, el gas no esta en equilibrio

El experimento arquetípico, versión 1: Expansión irreversible EL RESULTADO NETO ES: El gas se expandió (aumento la entropía) Energia ordenada: Este orden se pierde sin ganar nada a cambio No hubo intercambio de energía. No hubo paso de calor a trabajo que permita restaura el orden. La entropía de todo este proceso no se conserva.

De Carnot a la entropia y de ahí a Boltzman

W Q 1 T 1 Q 2 T 2 De hecho, para cualquier maquina reversible, se tiene que:

LA MAQUINA DE CARNOT ES REVERSIBLE. PUEDE FUNCIONAR AL REVES En este ciclo Q 1 -Q 2=W y por ende, se conserva la cantidad T 1 Q 1 W Esto es la primer ley y nos dice que la energía se conserva. ¿Se conserva alguna otra cantidad? Q 2 T 2 El motor de Carnot Estamos en camino a la conservación de la entropía

T 1 Q 1 W Q 2 T 2 De hecho (con una demostracion muy parecida a las anteriores, puede probarse que) Para un ciclo reversible que intercambia calores q(i) con temperaturas Ti se tiene: Poniendole signo (aquí no queda a otra) a los calores según su sentido: Positivo – Calor entregado a la maquina. Negativo – Calor que vierte la maquina al medio (que pierde, que ensucia…)

Poniendole signo (aquí no queda a otra) a los calores según su sentido: Positivo – Calor entregado a la maquina. Negativo – Calor que vierte la maquina al medio (que pierde, que ensucia…) T 1 Q 1 W Q 2 T 1 ¿Y si la maquina no fuese reversible? Q 1 Q 2* T 2 W* Q 2*>Q 2 W*>W

Q 1 ¿cuánto aumenta la entropía si inyecto calor Q 1? Desordenar (calentar) un cuarto (gas) limpio (a baja temperatura) aumenta mas el desorden del mundo (la entropia) que desordenar un cuarto que ya estaba desordenado.

SI HAY FRICCION Y POR ENDE CONVERSION DE ENERGIA MECANICA A CALOR SI DOS FUENTES TERMICAS A TEMPERATURAS DISTINTAS SE PONEN EN CONTACTO T 1 T 2 Pierde Entropía Q Gana Entropía

T 1 Igual que antes, esto puede generalizarse a: Q 1 W Q 2 T 2 Donde la igualdad vale solo si el ciclo es reversible.

P B C 1 A C 2 V Ergo – el cambio de a lo largo de cualquier camino reversible que une A y B, es el mismo.

P Esto permite definir la entropía como la diferencia de Entre un punto de referencia (0) y cualquier estado termodinámico. p S(p)= 0 V

P S(B)-S(A)> ¿Si el sistema es cerrado? d. Q=0 S(B)>S(A) I La entropia de un sistema cerrado aumenta S(B)-S(A)= R Enrico Fermi (Capitulo de Entropía) 0 V Ergo – el cambio de a lo largo de cualquier camino reversible que une A y B, es el mismo.

En un gas ideal, esta ecuación puede integrarse y el resultado es bastante ilustrativo. ¿qué pasa con la entropía si se quita el separador?

Un brevísimo racconto sobre entropía e información. Claude Shannon Ludwig Boltzmann

Entropía y volumen: Otro puente entre lo microscópico y lo macroscopico ¿Cuál esta mas ordenado? ¿qué es orden? ¿Cuál esta mas ordenado? ¿cuál mas probable? (y siguen. . . ) Todos los: “Cuatro Seis” Todos los: “Un uno, un dos, un tres un cuatro” Intuición del “desorden”: El estado macroscópico mas probable.

Cantidad de microestados combinaciones compatibles con un estado macroscopico Hipótesis S=f(p) La entropia es aditiva y las probabilidades multiplicativas Suma de 4 dados (“Estado termondinamico”) ¿Cuál esta mas ordenado? ¿cuál mas probable?

La tumba de Ludwig, en Viena

otra motivación del logaritmo (Versión grafica) X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 x > 16 x > 8 (mod 16) x > 4 (mod 8) x > 2 (mod 4) x > 0 (mod 2) Incerteza es: log(32)=5. 25 26 27 28 29 30 31 32

X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 x > 16 x > 8 (mod 16) x > 4 (mod 8) x > 2 (mod 4) x > 0 (mod 2) Incerteza es: log(16)=4. 25 26 27 28 29 30 31 32

X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 x > 16 x > 8 (mod 16) x > 4 (mod 8) x > 2 (mod 4) x > 0 (mod 2) Incerteza es: log(8)=3. 25 26 27 28 29 30 31 32

X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 x > 16 x > 8 (mod 16) x > 4 (mod 8) x > 2 (mod 4) x > 0 (mod 2) Incerteza es: log(4)=2. 25 26 27 28 29 30 31 32

X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 x > 16 x > 8 (mod 16) x > 4 (mod 8) x > 2 (mod 4) x > 0 (mod 2) Incerteza es: log(2)=1. 25 26 27 28 29 30 31 32

X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 x > 16 x > 8 (mod 16) x > 4 (mod 8) x > 2 (mod 4) x > 0 (mod 2) Incerteza es: log(1)=0. 25 26 27 28 29 30 31 32

Segundo ejemplo trivial, otra motivación del logaritmo (Versión grafica) X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 x > 16 x > 8 (mod 16) x > 4 (mod 8) x > 2 (mod 4) x > 0 (mod 2) Cada una de estas dos preguntas tenia probabilidad ½ de cada respuesta (divide el espacio de posibilidades en dos)

X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 Incerteza: 5 bits x > 16 x={1, 2, 3, 4} 4 bits SI (Afortunado) 2 bits

X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 ¿Cual es la incerteza esperada luego de haber hecho el experimento? I(r 1)*p(r 1)+I(r 2)*p(r 2)=sum(-p*log(p)) 2*(1/8)+4. 8*(7/8) = 4. 45 > 4 Incerteza: 5 bits x > 16 x={1, 2, 3, 4} 4 bits SI NO (Afortunado) 2 bits log(28) 4. 8 bits

Taken “as is” from Mac. Kay

Algunas funciones clásicas -log(p) El contenido de informacion de Shannon de un evento con probabilidad x. La informacion diverge a medida que la probabilidad de x se acerca a 0.

Algunas funciones clásicas -p*log(p) + -(1 -p)*log((1 -p)) LA ENTROPIA: El valor esperado de la información en un ensamble de dos elementos con probabilidad p y 1 -p. LA ENTROPIA ES MAXIMA CUANDO p=1/N. , cuando todos los elementos de X son equiprobables.