Relazioni binarie Consideriamo due insiemi A e B

Relazioni binarie

Consideriamo due insiemi A e B A Catania. Milano. B. Sicilia. Lazio Palermo. . Veneto Torino. . Toscana Venezia. . Piemonte R={(Catania , Sicilia) ; (Palermo , Sicilia) ; (Torino , Piemonte) ; (Venezia , Veneto)}

Una relazione tra due insiemi A e B è costituita da tutte le coppie ordinate (x, y) con x A e y B che rendono vera una determinata proposizione aperta p(x, y) che costituisce la legge della relazione Per definire una relazione sono necessari due insiemi e una proposizione logica aperta Insiemi A={Catania; Palermo; Torino; Venezia; Roma} B={Sicilia; Piemonte; Veneto; Toscana; Lazio} Legge della relazione p(x, y): <<x si trova nella regione y>>

Dominio : Sottoinsieme di A che contiene tutti gli elementi che sono in relazione con elementi di B D={Catania; Palermo; Torino; Venezia} D= Codominio: Sottoinsieme di B che contiene tutti gli elementi che sono in relazione con elementi di A C={Sicilia; Veneto, Piemonte} C= A Controimmagini Catania. Milano. Palermo. Torino. Venezia. B . Sicilia. Lazio. Veneto. Toscana. Piemonte Immagini

Esempio: 1 Legge della relazione P(x, y): <<x + y è dispari>> R 3 5 + 3 è pari, quindi 5 8 R 3 8 + 3 è dispari, quindi 8 1 R 8 1 + 8 è dispari, quindi 1 10 R 12 10 + 12 è pari, quindi 10 R 3 R 8 R 12

Modi per rappresentare una relazione Esempio: Legge della relazione p(x, y): <<x + y è dispari>> Rappresentazione per elencazione R = {(1, 0), (1, 8), (1, 12), (5, 0), (5, 8), (5, 12), (8, 3), (10, 3)} Rappresentazione sagittale A . 1. 5. 8. 10 B . 0. 3. 8. 12

Modi per rappresentare una relazione Esempio: Legge della relazione p(x, y): <<x + y è dispari>> Rappresentazione mediante tabella a doppia entrata Rappresentazione mediante diagramma cartesiano AB 0 3 8 12 y B 1 5 8 10 V V F F V V F F 12 8 3 0 1 5 8 10 x A

Modi per rappresentare una relazione Quando gli insiemi A e B coincidono la rappresentazione sagittale assume una forma particolare A=B= 2; 3; 4; 6; 7 Legge della relazione p(x, y): <<x y>> Rappresentazione mediante grafo 3 2 7 4 6

RELAZIONE INVERSA Dati due insiemi A e B e una relazione R si chiama relazione inversa della R e si indica R – 1 la relazione da B verso A che fa corrispondere alle immagini nell’insieme B le controimmagini nell’insieme A. Nella relazione inversa R – 1 rispetto alla relazione R il dominio e il codominio si scambiano.

RELAZIONE INVERSA Esempio: A= 1; 2; 3; 4; 6 B= 2; 3; 4; 6; 9, 12 Legge della relazione R p(x, y): <<x è la metà di y>> A. 1. 2. 4. 3. 6 B . 2. 4. 3. 6. 9. 12 Dominio della R Legge della relazione R-1 p(x, y): <<y è il doppio di x>> A . 1 . 4 B . 2. 3 . 4. 6. 9 . 6 . 12 Dominio della R-1 Codominio della R-1

Consideriamo il caso in cui gli insiemi A e B coincidono A=B Proprietà delle relazioni binarie

1 Proprietà Riflessiva Una relazione R definita in un insieme A gode della proprietà riflessiva quando ciascun elemento è in relazione con se stesso In simboli x. Rx

Proprietà Riflessiva esempio Relazione R definita da P(x, y) = <<x è multiplo di y>> R 3 perché 3 è multiplo di se stesso, 10 R 10 perché 10 è multiplo di se stesso, 3 ………………. , in generale x R x perché un numero x è multiplo di se stesso. x N x R x Pertanto vale la proprietà riflessiva

Proprietà Riflessiva esempio Relazione R definita da p(x, y)=<<x + y > 0>> R 3 perché 3 +3 >0, -10 R -10 perché (-10)+(-10)<0. 3 Poiché abbiamo già individuato almeno un elemento di Z che non è in relazione con se stesso non vale la proprietà riflessiva In simboli x Z│ x R x pertanto la relazione non gode della proprietà riflessiva

Proprietà Riflessiva esempio Relazione R definita da P(x, y) = << x • y ≥ 0>> 0 R -5 perché (-5) • (-5) 0, R 10 perché (10) • (10) 0, R 0 perché (0) • (0) 0, x Rx -5 10 perché x • x = x 2 0. x Z x R x Pertanto vale la proprietà riflessiva

Proprietà Riflessiva esempio A=B={1, 2, 3, 4, 5} Relazione R definita da P(x, y) = << x + y è pari>> Rappresentazione mediante tabella a doppia entrata A 1 1 V 2 3 3 V V V 4 5 2 5 V V V 4 V V La proprietà riflessiva è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante tabella a doppia entrata. Basta verificare che tutte le caselle della diagonale principale fanno parte della relazione. Diagonale principale

Proprietà Riflessiva esempio A=B={1, 2, 3, 4, 5} Relazione R definita da P(x, y) = << x + y è pari>> Rappresentazione mediante grafo 2 1 5 3 4 La proprietà riflessiva è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante grafo. Basta verificare che su ciascun elemento c’è un arco che ritorna su se stesso.

2 Proprietà antiriflessiva Una relazione R definita in un insieme A gode della proprietà antiriflessiva quando tutti gli elementi dell’insieme non sono in relazione con se stessi In simboli x. Rx

Proprietà antiriflessiva esempio A=B=N Relazione R definita da 5 8 x R 5 R 8 Rx P(x, y) = << x + y è dispari>> perché 5+5 è pari perché 8 + 8 è pari perché x + x = 2 x che è sempre pari In generale x Z x R x Pertanto vale la proprietà antiriflessiva

Proprietà antiriflessiva esempio A=B={1, 2, 3, 4, 5} Relazione R definita da A 1 1 2 V 3 4 5 2 V 3 4 V V 5 V V P(x, y) = << x + y è dispari>> V La proprietà antiriflessiva è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante tabella a doppia entrata. Basta verificare che nessuna delle caselle della diagonale principale fa parte della relazione. Diagonale principale

Proprietà antiriflessiva esempio A=B={1, 2, 3, 4, 5} Relazione R definita da P(x, y) = << x + y è dispari>> Rappresentazione mediante grafo 2 1 5 3 4 La proprietà antiriflessiva è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante grafo. Basta verificare che nessun elemento è dotato di un arco che ritorna su se stesso.

Proprietà riflessiva e antiriflessiva Spesso le relazioni non godono ne della proprietà riflessiva ne di quella antiriflessiva. Ciò avviene quando alcuni elementi, ma non tutti, sono in relazione con se stessi. Alcuni elementi sono in relazione con se stessi altri no

3 Proprietà Simmetrica Una relazione R definita in un insieme A gode della proprietà simmetrica quando se l’elemento x è in relazione con l’elemento y anche y è in relazione con x In simboli Se x R y allora y R x

Proprietà Simmetrica esempio Relazione R definita da P(x, y) = <<x + y è pari>> R 3 perché 9 + 3 è pari. 3 R 9 perché 3 + 9 è pari (proprietà commutativa) 9 Ragionando in generale abbiamo che: x N se x R y anche y R x Pertanto vale la proprietà simmetrica

Proprietà Simmetrica esempio A=B={1, 2, 3, 4, 5} Relazione R definita da P(x, y) = << x + y è pari>> Rappresentazione mediante tabella a doppia entrata A/B 1 1 V 2 3 3 V V V 4 5 2 5 V V V 4 V V La proprietà simmetrica è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante tabella a doppia entrata. Basta verificare che la tabella è simmetrica rispetto alla diagonale principale. Diagonale principale

Proprietà Simmetrica esempio A=B={1, 2, 3, 4, 5} Relazione R definita da P(x, y) = << x + y è pari>> Rappresentazione mediante grafo 2 1 5 3 4 La proprietà simmetrica è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante grafo: basta verificare che se esiste l’arco (freccia) in una direzione, esiste anche l’arco nella direzione opposta.

Proprietà Simmetrica esempio x, y N; x Ry : x è multiplo di y 9 R 3 perché 9 è multiplo di 3 3 R 9 perché 3 non è multiplo di 9. Basta questo per dire che non vale la proprietà simmetrica

4 Proprietà Antisimmetrica Una relazione R definita in un insieme A gode della proprietà antisimmetrica quando se l’elemento x è in relazione con l’elemento y allora y non è in relazione con x In simboli Se x R y allora y R x

Proprietà antisimmetrica esempio Relazione R definita da p(x, y) = <<x > y>> R 3 perché 9 è maggiore di 3 3 R 9 perché 3 non è maggiore di 9 9 Ragionando in generale abbiamo che: x, y N se x. Ry risulta y R x Pertanto vale la proprietà antisimmetrica

Proprietà antisimmetrica esempio A=B={1, 2, 3, 4, 5} Relazione R definita da P(x, y) = << x < y >> Rappresentazione mediante grafo 2 1 5 3 4 La proprietà antisimmetrica è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante grafo: basta verificare che l’arco (freccia) esiste solo in una direzione ma non in quella opposta.

Proprietà simmetrica e antisimmetrica Spesso le relazioni non godono ne della proprietà simmetrica ne di quella antisimmetrica. Ciò avviene quando alcune coppie di elementi sono in relazione solo in un verso e altre coppie in entrambi i versi.

5 Proprietà Transitiva Una relazione R definita in un insieme A gode della proprietà transitiva quando se x è in relazione con y e y è in relazione con z allora anche x risulta in relazione con z In simboli Se x R y e y R z risulta x R z

Proprietà Transitiva 5 esempio Relazione R definita da p(x, y) = <<x è multiplo di y>> 27(x) R 9(y) perché 27 è multiplo di 9, 9(y) R 3(z) perché 9 è multiplo di 3. Infine 27(x) R 3(z) perché 27 è multiplo di 3. 36(x) R 6(y) perché 36 è multiplo di 6, 6(y) R 2(z) perché 6 è multiplo di 2. Infine 36(x) R 2(x) perché 36 è multiplo di 2.

Proprietà Transitiva esempio Relazione R definita da 5 0 R 9 ma, 5 p(x, y) = <<x + y è dispari>> perché 5 + 0 è dispari, perché 0 + 9 è dispari, R 9 perché 5 + 9 è pari e non dispari. Pertanto non vale la proprietà transitiva

Proprietà Transitiva La proprietà transitiva non è immediatamente riconoscibile e verificabile con la rappresentazione mediante tabella o grafico cartesiano. Solo nella rappresentazione mediante grafo è possibile individuare detta proprietà Se tre elementi sono mutuamente in relazione il senso di percorrenza degli archi deve essere non circolare. Relazione transitiva y z x Relazione non transitiva y z x

Esercizi Verificate di quali proprietà godono le seguenti relazioni definite in Z 1 R definita da p(x, y) = <<x - y è positivo>> 2 R definita da p(x, y) = << x • y è positivo>> 3 R definita da p(x, y) = <<|x| è divisore di |y|>> 4 R definita da p(x, y) =<<2 x+y è multiplo di 3>> 5 R definita da p(x, y) = << x - 3 y > 100 >>

Relazioni di equivalenza Una relazione, definita in un insieme A, si dice di equivalenza se e solo se gode delle proprietà 1 Riflessiva 2 Simmetrica 3 Transitiva

esempio Relazione R definita da P(x, y) = << x + y è pari>> Riflessiva x R x perché x + x = 2 x che è pari. Se x R y allora x + y = 2 a Simmetrica Poiché anche y + x = 2 a allora y R x. Transitiva R y allora x + y = 2 a, se y R z allora y + z = 2 b. Se x Sommando x + 2 y + z = 2 a + 2 b x + z = 2 a + 2 b - 2 y ; x + z = 2(a + b - y) Ossia anche x + z è pari, ossia x Rz da cui

esempio Relazione R definita da P(x, y) = << x + y è pari>> Poiché la relazione considerata gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva essa è una relazione di equivalenza

Esercizi Dite quali fra le seguenti relazioni definite in Z sono di equivalenza. 1 R definita da p(x, y) = << x - y è positivo>> 2 R definita da p(x, y) = << x. y è positivo>> 3 R definita da p(x, y) = << x + y è dispari>> 4 R definita da p(x, y) = << x - y è multiplo di 3>>

Classi di equivalenza Data una relazione di equivalenza definita in A e x un suo elemento, una classe di equivalenza, indicata con [x], è un sottoinsieme di A formato da tutti gli elementi di A in relazione con x.

esempio R definita da A=B={x | x è una retta del piano} p(x, y) = << la retta x è parallela alla retta y>> E’ facile vedere che tale relazione è di equivalenza perché soddisfa le proprietà riflessiva x. Rx simmetrica transitiva Se x. Ry allora y. Rx Se x. Ry e y. Rz allora x. Rz y x x y z

esempio R definita da A=B={x | x è una retta del piano} p(x, y) = << la retta x è parallela alla retta y>> Ogni classe di equivalenza individua quella che viene detta Direzione

Relazioni di ordine Una relazione, definita in un insieme A, si dice di ordine se e solo se gode almeno delle proprietà 1 Antisimmetrica 2 Transitiva Una relazione è di ordine largo se gode anche della proprietà Riflessiva Una relazione è di ordine stretto se gode anche della proprietà Antiriflessiva

esempio Relazione R definita da p(x, y) = <<x è multiplo di y>> Se x R y perché x è multiplo di y Antisimmetrica y R x perché y non può essere multiplo di x Transitiva Se x R y e y R z allora anche x R z Consideriamo ad esempio x=18 y=9 z=3 18 R 9 e 9 R 3 anche 18 R 3 Poiché la relazione gode della proprietà antisimmetrica e transitiva è una relazione d’ordine Poiché la relazione gode della proprietà riflessiva (ogni numero e multiplo di se stesso) la relazione di ordine largo

Una relazione d’ordine totale si ha quando gli elementi dell’insieme sono tutti confrontabili, cioè per ogni coppia di elementi deve esistere la relazione in un senso o in quello opposto Una relazione d’ordine parziale si ha quando gli elementi dell’insieme non sono tutti confrontabili tra di loro

esempio Relazione R definita da Questa è una relazione d’ordine totale perché tutti gli elementi sono confrontabili tra di loro Le relazione d’ordine totale operano un ordinamento completo degli elementi dell’insieme p(x, y) = <<x è maggiore di y>> 24 12 10 6 2

esempio Relazione R definita da p(x, y) = <<x è multiplo di y>> Questa è una relazione d’ordine parziale perché esistono almeno due elementi che non sono confrontabili tra di loro es. (24, 60) e (24, 36) Le relazione d’ordine parziale operano un ordinamento parziale degli elementi dell’insieme 24 60 12 6 10 2 36

FUNZIONI Si chiama funzione o applicazione di A in B una relazione che ad ogni elemento dell’insieme A fa corrispondere uno ed un solo elemento dell’insieme B. A B Le funzioni sono quindi particolari relazioni in cui il dominio coincide con l’insieme A e ad ogni elemento di A deve essere associato un solo elemento di B

FUNZIONI B A A B Questa relazione non è una funzione perché esiste un elemento di A che non è in relazione con nessun elemento di B Questa relazione non è una funzione perché esiste un elemento di A che è in relazione con più di un elemento di B

FUNZIONI Una funzione si indica con la seguente simbologia f : A→B o anche con y = f(x) esempio A={1, -2, 2, 3, -4, 5} B={1, 4, 9, 16, 25} Funzione f : A→B definita da y = x 2 A 1 1 2 4 -2 3 -4 5 B 9 16 25 x y 1 -2 2 3 -4 5 y = 12 = 1 y = (-2)2 = 4 y = 22 = 4 y = 32 = 9 y = (-4)2 = 16 y = 52 = 25

FUNZIONI esempio A=B=N f : N→N definita da y = 2 x+1 x y 1 2 3 4. 12. 100. y = 2. 1+1=2+1=3 y = 2. 2+1=4+1=5 y = 2. 3+1=6+1=7 y = 2. 4+1=8+1=9 …………. . y = 2. 12+1=24+1=25 ……………. . y = 2. 100+1=201 ……………. La x che fissiamo noi si chiama variabile indipendente La y che viene calcolata in base alla legge della funzione si chiama variabile dipendente

CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI Funzione iniettiva Una funzione f: A →B si dice iniettiva quando ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B Funzione iniettiva A Funzione non iniettiva B A B

CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI Funzione suriettiva Una funzione f: A →B si dice suriettiva quando il codominio coincide con l’insieme B Funzione non suriettiva Funzione suriettiva A B

CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI Funzione biiettiva Una funzione f: A →B si dice biiettiva quando è contemporaneamente iniettiva e suriettiva Funzione non biettiva Funzione biiettiva A B

Funzione generica A B Funzione iniettiva e non suriettiva A Funzione suriettiva e non iniettiva A B B Funzione biiettiva A B

PRODOTTO DI FUNZIONI Date le funzioni f: A →B e g: B →C si chiama prodotto delle funzioni g○f la funzione k : A →C che associa ad ogni elemento di A un solo elemento di C A f B k=g○f g C

PRODOTTO DI FUNZIONI esempio A=B=C=Z f : Z→Z definita da y = x+1 g: Z→Z definita da z = 2 y-1 Funzione g Funzione f x -4 -2 1 3. . y =f(x)=x+1 y = -4+1=-3 y = -2+1=-1 y = 1+1= 2 y = 3+1= 4 …………. . y -3 -1 2 4. . z =g(y)=2 y-1 z = 2. (-3)-1=-6 -1=-7 z = 2. (-1)-1=-2 -1=-3 z = 2. 2 -1=4 -1=3 z = 2. 4 -1=8 -1=7 ……………….

PRODOTTO DI FUNZIONI f : Z→Z definita da y = x+1 esempio A=B=C=Z g: Z→Z definita da z = 2 y-1 Z Z Z -3 -7 -4 -2 1 3 -3 -1 2 4 3 7

PRODOTTO DI FUNZIONI esempio A=B=C=Z f : Z→Z definita da y = x+1 g: Z→Z definita da z = 2 y-1 Funzione k = g ○ f z = g(y) = g[f(x)] = 2 y-1 = 2(x+1)-1 = 2 x+2 -1 = 2 x+1 in definitiva z = 2 x+1 x -4 -2 1 3. . z = g[f(x)] =2 x+1 y = 2(-4)+1=-8+1=-7 y = 2(-2)+1=-4+1=-3 y = 2. 1+1=2+1=3 y = 2. 3+1=6+1=7 …………. . Z -4 Z k=g○f -7 -3 -2 3 1 3 7