RELATIONS 030513122 Discrete Mathematics Asst Prof Dr Choopan

RELATIONS 030513122 - Discrete Mathematics Asst. Prof. Dr. Choopan Rattanapoka

Relation คณสมบตของ Relation Reflexive Symmetric Transitive Antisymmetric Asymmetric ขอเตอน : คณสมบตนนยา relation บน set เทานน มไวสำหรบ

Symmetry และ Antisymmetry ใน symmetric relation a. Rb b. Ra ใน antisymmetric relation, ถา a. Rb และ b. Ra จะจรงเมอ a=b An antisymmetric relation ไมจำเปนจะตองเปนความ relation แบบ reflexive Relation สามารถเปน ทง symmetric และ antisymmetric ไมเปนเลย มคณสมบตอยางใดอยางหนง

ตวอยาง : Symmetric Relations: พจารณาความสมพนธ R={(x, y) R 2|x 2+y 2=1}, is R Reflexive? Symmetric? Antisymmetric? • R ไม reflexive เชน (2, 2) R 2 • R เปน symmetric เพราะวา x, y R, x. Ry x 2+y 2=1 y 2+x 2=1 y. Rx • R ไม antisymmetric เพราะวา (1/3, 8/3) R และ ( 8/3, 1/3) R แต 1/3 8/3

Transitivity: ตวอยาง Relation R={(x, y) R 2| x y} เปน relation แบบ transitive? ใช เพราะ x. Ry และ y. Rz x y และ y z x. Rz Relation R={(a, b), (b, a), (a, a)} เปน relation แบบ transitive? ไม , เพราะ b. Ra และ a. Rb แต b. Rb Relation R= {(x, y) R 2| x 2 y} เปน relation แบบ transitive? ไม เพราะ 2 R 4 และ 4 R 10 แต 2 R 10

Combining Relations ยำอกทวา Relations นนคอ set ปกตของ ordered pairs ซงเปน subsets ของ Cartesian product ของ 2 sets ดงนน , relations สามารถผสมกนเพอสราง relations ใหมได โดยใชตวดำเนนการของ set (R 1 R 2) Union (R 1 R 2) Set difference (R 1R 2) Intersection

การใชงาน Matrix Representation (1) 0 -1 matrix เปนการแสดงคาอยางงายเพอตรวจสอบวา นน relation Reflexive Symmetric Antisymmetric Reflexivity R ท reflexive, a (a, a) R ใน MR, R จะ reflexive กตอเมอ mi, i=1 for i=1, 2, …, n สำหรบ

Matrix Representation: ตวอยางท 1 จงหาวา R reflexive? Symmetric? Antisymmetric? MR = 0 0 1 1 0 0 1

Matrix Representation: ตวอยางท 2 กำหนดให set A={a 1, a 2, a 3} ให R เปน relation จาก A ไป A: R={(a 1, a 1), (a 1, a 2), (a 2, a 1), (a 2, a 2), (a 2, a 3), (a 3, a 2), (a 3, a 3)} จงเขยน R เปน 0 -1 Matrix ของ R reflexive ? symmetric ? antisymmetric ?

Combining Relations: ตวอยาง What is MR 1 R 2 and MR 1 R 2? MR 1 = MR 1 R 2= 1 0 1 1 0 MR 2 = 1 0 1 1 1 1 MR 1 R 2= 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0

Equivalence Relation ลองพจารณา set ของคนในโลกน ให R เปน relation ท (a, b) R ถา a และ b เปนญาตกน แนนอนความสมพนธนจะเปน Reflexive Symmetric และ Transitive Relation แบบนเรยกวา equivalence relation คำนยาม : Relation บน set A จะเปน equivalence relation ถา relation นเปนทงแบบ reflexive, symmetric และ transitive

ตวอยาง 2: Equivalence Relations Example: Let R={ (a, b) | a, b R and a b} reflexive? transitive? symmetric?

Partitions Equivalence classes partition the set A into disjoint, non-empty subsets A 1, A 2, …, Ak Partition ของ set A จะมคณสมบตดงน ki=1 Ai=A Aj = for i j Ai for all i Ai

กลบมาท อกท Equivalence Class กำหนดให Frank, Susan, George อยท Boston Stephanie, Max อยท Berlin Jennifer อยท Sydney ให R เปน equivalence relation {(a, b) | a และ b อยทเดยวกน บน Set P = {Frank, Susan, George, Stephanie, Max, Jennifer} R = { (Frank, Frank), (Frank, Susan), (Frank, George), (Susan, Frank), (Susan, Susan), (Susan, George), (George, Frank), (George, Susan), (George, George), (Stephanie, Stephanie), (Stephanie, Max), (Max, Stephanie), (Max, Max), (Jennifer, Jennifer) } Equivalence Class ของ R บน P คอ }