Relatii intre radacini si coeficienti relatiile lui Vite

Relatii intre radacini si coeficienti (relatiile lui Viète)

Relatiile lui Viète • Sunt foarte utile in numeroase aplicatii cand se cere sa se determine radacinile unui polinom (sau ale unei ecuatii) si cand se cunoaste o relatie suplimentara intre radacini.

Relatiile lui Viète Teorema: Fie f C[X] un polinom de grad 3. Numerele complexe x 1 , x 2 , x 3 sunt radacinile polinomului daca si numai daca verifica relatiile lui Viète, adica relatiile (1). Exercitiu: Demonstrati teorema tinand cont de faptul ca prin calcul direct se obtine ca

Relatiile lui Viète Teorema: Fie f C[X] un polinom de grad n. Numerele complexe x 1 , x 2 , … xn sunt radacinile polinomului f daca si numai daca verifica relatiile lui Viète, adica relatiile (2).

Relatiile lui Viète Daca consideram ecuatia asociata: (3) anxn + …+a 1 x +a 0=0 , relatiile (2) se numesc si relatii intre radacinile si coeficientii ecuatiei (3).

Exercitii 1. Sa se scrie relatiile lui Viète pentru un polinom f C[X], de grad 4. 2. Sa se determine parametrul m astfel incat o radacina a ecuatiei x 3 -28 x+m=0 sa fie dublul altei radacini. 3. Daca x 1 , x 2 , x 3 sunt radacinile polinomului f=2 X 3 -2 X 2 -5 X+6, sa se calculeze suma patratelor radacinilor.

Exercitii 4. Sa se rezolve ecuatia 9 x 3 -18 x 2+11 x-2=0 stiind ca intre radacini exista relatia x 1+x 2=x 3 5. Sa se rezolve ecuatia algebrica 4 x 3 -12 x 2+11 x-3=0 stiind ca radacinile sale sunt in progresie aritmetica. Tema: manual- ex. 1/178, 2/178, 3/179, 4/179