Relaes Mtricas no Tringulo Retngulo ngulo de 90

Relações Métricas no Triângulo (Δ) Retângulo. ngulo de 90º Observe que o triângulo ABC é retângulo em , isto é a medida de é 90º, e como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º, concluímos que a soma dos ˆ e Ĉ é 90º. ângulos B 1

Ao dividirmos o triângulo ABC, pela altura relativa a sua hipotenusa, formamos os triângulos ABH e ACH, veja que são retângulos em Ĥ. E assim, desta forma verificamos que acabamos por dividir o ângulo nos dois ângulos já conhecidos ˆ do triângulo ABC que são Ĉ e B. Quando dois triângulos, possuírem ao menos dois ângulos de mesma medida, significa que são semelhantes. 2

Observem agora os lados deste triângulo. ngulo de 90º Lado AC Lado AB Lado BC O lado AB “ vai do ângulo de 90º até o ângulo pintado de amarelo”. O lado BC “ vai do ângulo pintado de amarelo até o ângulo pintado de vermelho”. O lado AC “ vai do ângulo de 90º até o ângulo pintado de vermelho”. 3

Observe que dividimos o triângulo ABC em dois novos triângulos ABH e ACH, que são semelhantes entre si, pois seus ângulos são congruentes “iguais” e seus lados são proporcionais. 4

Vamos agora comparar o triângulo ABC com o triângulo ABH. Como são semelhantes, seus lados são proporcionais, logo temos as seguintes relações: Lados do Δ ABC Lados do Δ ABH 5

Das proporções obtidas dos lados Δs semelhantes que são: ABC e ABH. Não se esqueça que: “para passar o número que esta dividindo para o outro lado do sinal de igual o fazemos passar, multiplicando do outro lado”. Deduzimos as seguintes relações: 1ª) ah = cb 2ª) bm = ch 3ª) cc = am 6

Comparando o triângulo ABC com o triângulo ACH. Como são semelhantes, seus lados são proporcionais, logo temos as seguintes relações: Lados do Δ ABC Lados do Δ ACH 7

Das proporções obtidas dos lados Δs semelhantes que são: ABC e ACH. Deduzimos as seguintes relações: 1ª) bh = cn 2ª) bb = an 3ª) bc = ah 8

Comparando o triângulo ABH com o triângulo ACH. Como são semelhantes, seus lados são proporcionais, logo temos as seguintes relações: Lados do Δ ABH Lados do Δ ACH 9

Das proporções obtidas dos lados Δs semelhantes que são: ABH e ACH. Deduzimos as seguintes relações: 1ª) bh = cn 2ª) ch = bm 3ª) hh = mn 10

Outra relação métrica é: a = m + n, ou seja m (segmento BH) é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa e n (segmento CH) é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa, logo a soma de m (BH) + n (CH) é igual a hipotenusa a (segmento BC). Imagine estas projeções sendo como o sol “batendo”numa ripa de madeira inclinada numa parede, isto produz uma sombra, a qual chamaremos de projeção. 11

ngulo de 90º Cateto Teorema de Pitágoras Cateto Hipotenusa O lado BC do Δ ABC é contrário (está de frente) com o ângulo de 90º, por esse motivo leva o nome especial de Hipotenusa. Os lados AB e AC do Δ ABC são chamados de Catetos. 12

Temos a relação: hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados catetos. Hip 2 = cat 2 + cat 2 a 2 = b 2 + c 2 Teorema de Pitágoras. 13

Resumo das fórmulas das relações métricas no Δ retângulo. 1ª) ah = bc 4ª) bh = cn 7ª) a = m + n 2ª) c 2 = am 5ª) b 2 = an 8ª) a 2 = b 2 + c 2 3ª) bm = ch 6ª) h 2 = mn 14

Espero que tenham gostado da aula em slides: Autor: Prof. Jose Fabio Braga Szmelcynger. E-mail: fabio@uli. com. br - fone 0 xx 1938079073 Data: 22/02/2004. Amparo-SP. 15