Relaciones entre la Msica y las Matemticas Vctor

Relaciones entre la Música y las Matemáticas Víctor Martín García

1. Introducción • ¿Hay matemática en la Música? • ¿Están relacionadas? • ¿Qué relaciones son estas?

1. Introducción SIMILITUDES: • • Lenguaje universal Numeración en la música Disciplinas abstractas Materias imprescindibles

2. Los Pitagóricos Pitágoras: - Buscó unificar los fenómenos del mundo físico y del mundo espiritual en términos de números. - Estudió la naturaleza de los sonidos musicales. - Consideraba que la esencia última de la realidad se expresaba a través de números. - Las propiedades y relaciones de la armonía musical están determinadas por los números.

2. Los Pitagóricos Dividían las artes en:

2. Los Pitagóricos Teoría desarrollada: - Existe una proporción entre las notas musicales y las longitudes de las cuerdas que las producen. - Encontró una relación numérica entre tonos que sonaban “armónicos”. - El mundo físico y el emocional podían ser descritos con números sencillos y existía una relación armónica entre todos los fenómenos perceptibles …

3. Relaciones entre sonidos - Intervalo: la relación que existe entre la frecuencia de los distintos sonidos: o Octava o Quinta o Cuarta

3. Relaciones entre sonidos Nota Frecuencia Long. cuerda Original f L Tercera menor (6/5)f (5/6)L Tercera mayor (5/4)f (4/5)L Cuarta justa (4/3)f (3/4)L Fa Quinta mayor (3/2)f (2/3)L Sol Octava justa 2 f (1/2)L Do (+alto) Ejemplo Do

3. Relaciones entre sonidos - Escala musical: sucesión de sonidos constitutivos de un sistema (tonalidad) que se suceden regularmente en sentido ascendente o descendente, y todos ellos con relación a una nota que da nombre a la escala, o tónica. o o Escala musical occidental (actual) Escala temperada Escala natural Escala loudness

3. Relaciones entre sonidos - Pentagrama: pauta sobre la que se escribe la representación gráfica de los sonidos se hace por medio de unos símbolos (las notas). - Redonda - Blanca - Negra - Corchea - Semicorchea - Fusa

4. El sonido en términos matemáticos - Sonido: Resultado de las vibraciones de los cuerpos elásticos sometidos al efecto del choque o roce con un agente externo. Esta vibración transmitida en forma de movimiento ondulatorio impresiona el sentido del oído, experimentándose la sensación sonora. - Cualidades del sonido: el oído distingue un sonido por su - Intensidad o sonoridad - Tono - Timbre

4. El sonido en términos matemáticos • La vibración fundamental de B. Taylor: - Vibración fundamental: en general, todo movimiento armónico simple de amplitud A y frecuencia f puede representarse como: en la práctica real estos movimientos son amortiguados, movimientos armónicos amortiguados o forzados

4. El sonido en términos matemáticos • Vibración de las cuerdas sonoras: - Wallis y Sauveur: experimentaron que una cuerda tensada puede vibrar en parte con ciertos puntos a los que se denominó nodos, y entre ellos se producían movimientos dando origen a los vientres.

4. El sonido en términos matemáticos • El método de D’Alembert. Reflexión de ondas: - D’Alembert prueba que la forma de la cuerda vibrante posee infinitas soluciones además de la fundamental. - Condiciones iniciales:

4. El sonido en términos matemáticos • El método de Fourier: - Las funciones periódicas pueden analizarse usando series trigonométricas. - La frecuencia f y el periodo T de un movimiento vibratorio sobre una cuerda no depende de su posición inical, ni de la velocidad inicial y vienen dados por:

4. El sonido en términos matemáticos • El método de Fourier: - Concluyó que los sonidos producidos por los movimientos vibratorios , de una cuerda sonora se denominan armónicos. El correspondiente para n=1 el cual es el más grave de todos, se denomina fundamental. • NODOS: - Demostró teóricamente la teoría de los nodos y los vientres.

4. El sonido en términos matemáticos • Leyes de Mersenne: La frecuencia del sonido producido por una cuerda: - es inversamente proporcional a la longitud de la misma. - es directamente proprocional a la raíz cuadrada de la tensión a la que está sometida. - es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la densidad de la misma. - es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la sección de la misma, o lo que es los mismo a su diámetro.

5. Simetría y Recursividad - Un procedimiento básico para obtener cohesión en una pieza de música es la reafirmación de una secuencia de sonidos una y otra vez, de una forma variada, para evitar la monotonía y dar carácter a la composición. o o Rotación Traslación Reflexión Repetición

5. Simetría y Recursividad Traslación

5. Simetría y Recursividad Inversión o movimiento contrario

5. Simetría y Recursividad Retrogradación

5. Simetría y Recursividad Inversión retrógrada

5. Simetría y Recursividad • Ejemplos: “Quinta sinfonía” Ludwig van Beethoven “El bolero” Joseph Maurice Ravel

6. Ejemplo práctico Teoría Musical de Conjuntos: MÚSIC A: MATEMÁTICA S: (1, 29, 9), (2, 27, 9)

6. Ejemplo práctico Altura: Duración:

6. Ejemplo práctico (1, 29, 9), (2, 27, 9), (3, 32, 8), … Funciones: o Transportar: (a, b, c) (a, b+k, c); con |k| < 12 o Octavar: (a, b, c) (a, b+k, c); con |k| = 12 o Invertir: (a, b, c) (n-a+1, b, c); n=nº notas totales

Mozart • Juego de los dados: “Marcha turca” Wolfgang Amadeus Mozart 3. 797498335832 (10 e 14) valses diferentes ¡ 361 millones de años!

Fibonacci • Razón áurea:

Bartok • Desarrolló un método para integrar todos los elementos de la música (escalas, estructuras de acordes, etc. ) basado en la razón áurea. • Bartok escribió que seguía a la naturaleza en la composición y que fue guiado indirectamente por fenómenos naturales para descubrir estas regularidades. “Allegro barbaro” Bela Bartok • El Allegro Bárbaro es una composición para piano en la cual Bartok utiliza los números de Fibonacci 2, 3, 5, 8, y 13