Relace operace struktury K emu slou relace K

Relace, operace, struktury

K čemu slouží relace • K evidenci nějaké množiny objektů popsané pomocí jejich vlastností (atributů), viz relační algebra a relační databáze • K popisu vztahů mezi objekty jedné množiny

Definice relace • Relace mezi množinami A 1, A 2, …, An je jakákoliv podmnožina kartézského součinu A 1 x. A 2 x…x. An. • n-nární relace na množině A je podmnožina kartézského součinu Ax. Ax…x. A. – Unární relace – vlastnost prvku – Binární relace – vztah mezi dvěma prvky

Vlastnosti relací • Reflexivní relace: pro každé x z A platí x R x • Symetrická relace: pro každá x, y z A platí: pokud x R y, pak y R x • Tranzitivní relace: pro každá tři x, y, z z A platí: pokud x R y a y R z, pak x R z

„Negativní“ vlastnosti • Nesymetrická relace: existuje alespoň jedna dvojice x, y z A taková, že x R y, ale nikoli y R x (opak symetričnosti) • Antisymetrická relace: pro každé x, y z A platí: pokud x R y a y R x, pak x=y • Asymetrická relace: pro každé x, y z A platí: pokud x R y, pak není y R x

Úplnost relací • Úplná relace: pro každá dvě x, y z A je buď x R y, nebo y R x • Slabě úplná relace: pro každá dvě různá x, y z A je buď x R y, nebo y R x

Ekvivalence • Relace – Reflexivní – Symetrická – Tranzitivní • Rozkládá nosnou množinu na třídy ekvivalence

Uspořádání • Kvaziuspořádání (může obsahovat ekvivalentní i neporovnatelné prvky) – Reflexivní – Tranzitivní • Částečné uspořádání (mohou existovat neporovnatelné prvky, ale ne ekvivalentní) – Reflexivní – Tranzitivní – antisymetrická

Uspořádání • Slabé uspořádání (mohou existovat ekvivalentní prvky, ale ne neporovnatelné) – Reflexivní – Tranzitivní – Úplná • (úplné) uspořádání – Reflexivní – Tranzitivní – Antisymetrická – Úplná

Uspořádání

Známka • U konečných a spočetných množin lze uspořádání a slabé uspořádání vyjádřit číselnou známkou: – X R y , právě když zn(x) ≤ zn(y) • U kvaziuspořádání a částečného uspořádání to nelze, potřebujeme více známek. • Některé preferenční relace nelze zařadit do žádné z kategorií uspořádání (například prahová nerozlišitelnost – není tranzitivní)

Ostrá uspořádání • Ostré částečné uspořádání • Ostré slabé uspořádání • Ostré (úplné) uspořádání – Není vyžadována reflexivita

Zaznamenání relace • Výčtem prvků: {(orchidej, orchidej), (orchidej, růže), (orchidej, karafiát), (orchidej, tulipán), (orchidej, fialka), (orchidej, bodlák), (růže, růže), (růže, karafiát), (růže, tulipán), (růže, bodlál), (karafiát, karafiát), (karafiát, bodlák), (tulipán, tulipán), (tulipán, bodlák), (fialka, fialka), (fialka, bodlák), (bodlák, bodlák)}.

Zaznamenání relace • tabulkou

Graf relace

Hasseho diagram • Jen pro tranzitivní relace

Operace • Předpis, který dvěma, nebo více prvkům dané množiny přiřadí výsledek • n-nární operace na množině A je (n+1)-nární relace na množině, pro kterou platí, že pokud (x 1, x 2, …xn, y) je v relaci a (x 1, x 2, …, xn, z) je v relaci, pak y=z.

Četnost (arita) operací • • Nulární (konstanta) Unární (funkce) Binární (klasické operace) Ternální a vyšších řádů

Vlastnosti binárních operací Úplnost: pro každá x, y existuje x ⊕ y Komutativnost: x ⊕ y = y ⊕ x Asociativita: (x⊕ y) ⊕ z = x⊕ (y⊕ z) Neutrální prvek: existuje prvek ε, pro který x⊕ε = ε ⊕ x = x • Inverzní prvek: pro každé x existuje y, pro které x⊕ y = ε • •

Algebra • Množina • Systém operací • Systém vlastností (axiomů), které tyto operace splňují

Pologrupa, monoid • Libovolná množina • Operace ⊕ – Pologrupa • Úplná • Asociativní – Monoid • Úplná • Asociativní • S neutrálním prvkem

Grupa • Operace ⊕ – Úplná – Asocoativní – S neutrálním prvkem – S inverzními prvky • Abelova grupa – Navíc komutativní

Příklady grup • • • Přirozená čísla a sčítání Nenulová reálná čísla a násobení Permutace konečné množiny Matice daného rozměru a sčítání Pohyby Rubikovy kostky

Okruh • Množina se dvěma operacemi a – Vůči operaci se jedná o Abelovu grupu – Operace je úplná, komutativní, asociativní, má neutrální prvek • Nemusí existovat inverzní prvky vzhledem k – Platí distributivní zákon: x (y z)=(x y) ( y z) • Například celá čísla s operacemi násobení a sčítání • Zbytkové třídy celých čísel po dělení číslem n.

Obor integrity • Okruh • Navíc neexistují netriviální dělitelé nuly, tedy pokud x, y není rovno ε, pak x y není rovno ε. • Celá čísla jsou obor integrity. • Zbytkové třídy po dělení prvočíslem p jsou obor integrity. • Zbytkové třídy po dělení neprvočíslem n jsou okruh, ale ne obor integrity – V Z 6 platí 3. 2=0

Těleso • Množina T se dvěma operacemi a – T a tvoří Abelovu grupu s neutrálním prvkem ε – T-{ε} a tvoří Abelovu grupu • Vůči okruhu se navíc požaduje existence inverzních prvků k (tedy „možnost dělit“) • Příklady: zlomky, reálná čísla, komplexní čísla, zbytkové třídy po dělení prvočíslem, logické spojky AND a OR.

Svaz • Množina S se dvěma operacemi (spojení) a (průsek) – a jsou komutativní a asociativní – Platí distributivní zákony • a (b c) = (a b) (a c) – Absorbce: a (b a)=a, a (b a)=a – Idenpotence a a = a, a a = a • Příklady – Výrokové formule a spojky AND a OR – Podmnožiny dané množiny a operace sjednocení a průniku – Prvky částečně uspořádané množiny a operace supremum a infimum.