Regressione Logistica Modello a struttura PREDETERMINATA per variabili

Regressione Logistica • Modello a struttura PREDETERMINATA per variabili qualitative dicotomiche • Tecnica non parametrica

Regressione Logistica • Utilizzo: permette di prevedere il comportamento di una variabile dipendente dicotomica (espressa come presenza/assenza di una caratteristica o risultato) basandosi sui valori di una serie di variabili predittori (fattori o covariate del modello).

Regressione Logistica • Risultato: – la probabilità dell’evento dati quelle covariate – la probabilità dell’influenza di ciascuna delle covariate rispetto alla probabilità di una delle caratteristiche della dipendente

Regressione Logistica 1. Procedura: definizione del modello 1. La relazione fra la variabile dipendente e le covariate è spiegata da una funzione logaritmica logit (variabile)= b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 …

Regressione Logistica Trasforma la variabile qualitativa dicotomica (evento, non evento) in una variabile quantitativa utilizzando il parametro odds • 1. Variabile 0, 1 • 2. Probabilità 0 • 3. Odds 0 1

Regressione Logistica Per poter utilizzare una equazione nel campo dei numeri reali si esegue una ulteriore trasformazione logarimica che prende il nome di logit Odds logit (valore - --- 0 --- + )

Regressione Logistica • Logaritmo: funzione inversa dell’esponente • Logaritmo naturale (Ln) di x è l’esponente da dare a e (numero naturale e = 2. 718) per ottenere x • Ln 5 = 1. 6 perché 2. 718 1. 6 = 5

Regressione Logistica Proprietà dei logaritmi • Ln 1 = 0 • Ln 0 = - • Ln + = +

Regressione Logistica La variabile può essere vista come funzione dei fattori in un modello regressivo attraverso il quale è possibile assumere la relazione stessa come lineare : logit (variabile)= b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3

Regressione Logistica 2. Procedura: VALUTAZIONE della Bontà del modello - stima dei parametri b a. Diversi metodi di approssimazione (iteration) basati sul maximum likelihood – A blocchi: valuta tutti i parametri assieme tramite il criterio di tolleranza (esclude le variabili che apportano poca informazione al modello) – Per passi o per esclusione: toglie o aggiunge i parametri a seconda dell’apporto di questi alla significatività del modello

Regressione Logistica • Il likelihood , utilizzato anche per il modello Log lineare, è la probabilità che i dati sperimentali siano stati generati dal modello

Regressione Logistica • Successive approssimazioni: – si crea il modello con un’approssimazione – si valuta il likelihood – Si effettua una successiva approssimazione – Si valuta il likelihood – Se questo crea un cambiamento superiore a una certa soglia si va avanti, altrimenti ci si ferma

Regressione Logistica b. Valutazione della bontà del modello Statistica Wald Tuttavia, la statistica Wald non può esser usata da sola poiché quando il valore assoluto di b diventa molto grande, l’errore standard sarà anche esso grande e la statistica Wald assumerà valori molto piccoli che facilmente falsificheranno l’ipotesi nulla anche quando non sarebbe da falsificare.

Regressione Logistica c. Valutazione della bontà del modello • Goodness of fit che valuta la probabilità che il modello sia adeguato nella rappresentazione dei dati • Si valuta attraverso la non falsificazione di H 0 utilizzando una distribuzione 2 che confronta le frequenze osservate con le frequenze attese create dal modello

Regressione Logistica d. Valutazione della bontà del modello • Pseudo R squared • valuta attraverso il confronto fra il likelihood del modello e il modello dell’ipotesi nulla (considerando che nessun parametro sia influente)

Regressione Logistica 3. Significatività di b e senso dell’influenza Il contributo di ciascun fattore e il senso della sua influenza sulla variabile dipendente è stimato attraverso l’esponenziale di b (odds ratio)

Regressione Logistica Significatività La significatività dei parametri relativi ai fattori si può anche verificare attraverso l’intervallo di confidenza attorno all’esponenziale di b per ciascun fattore

Regressione Logistica La regressione logistica fornisce le significatività per: ¨ il modello globale ¨ i singoli parametri, togliendo gli effetti dei parametri già considerati

Regressione Logistica Esempio logit (risposta aggressiva)= b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2+ b 3 x 3 Dove il logit della probabilità di rispondere in modo aggressivo è visto in funzione di una costante b 0 sommata al contributo da ciascun fattore al quale il modello ha attribuito il valore 1 moltiplicato per il suo coefficiente bn Attraverso la regressione logistica tutte le variabili categoriche vengono trasformate in variabili dicotomiche (con valori 0, 1) B 1 è il parametro relativo all’essere maschi B 2 è il parametro relativo all’età B 3 è il parametro relativo alla professione di dipendente

Regressione Logistica

Regressione Logistica

Regressione Logistica Exp(b) L’esponenziale di b relativo al genere è dato dal rapporto fra l’odds di rispondere con un comportamento aggressivo essendo femmina diviso l’odds di rispondere con un comportamento aggressivo essendo maschi.

Regressione Logistica logit (risposta aggressiva)= b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2+ b 3 x 3 logit (risposta aggressiva)= -0. 856 + 1. 41 x 1 + (-0. 093) + 0 x 3= 0. 461

Regressione Logistica • P (risposta aggressiva)=1 / (1+ e-0. 461) = 0. 56 • Odds ratio (genere=1) = 4. 098 – Essere maschi incrementa la probabilità di risposta aggressiva di un coefficiente pari a 4. 098 – l’odds di risposta aggressiva essendo maschio è 4. 098 volte superiore rispetto all’odds della risposta aggressiva essendo femmina, mantenendo costanti le altre variabili

Analisi Log - lineare • SCOPO: studia la relazione fra più di due variabili qualitative categoriche • TIPO DI PROCEDURA: modello logistico applicato a una tavola di contingenza multidimensionale

Analisi Log lineare • I dati sperimentali possono produrre diversi modelli Log Lineari. • Il modello è definito saturo quando rappresenta tutte le possibili combinazioni fra le celle; • non saturato quando solo alcune delle interazioni sono considerate.

Analisi Log lineare • Nel modello gerarchico l’effetto interazione (definito termine di ordine superiore in quanto comprende in sé più termini) è accostato a termini di ordine inferiore(singoli fattori). • Attraverso questo modello è possibile considerare solo gli effetti di ordine superiore o inferiore

Analisi Log lineare Tavola di contingenza multidimensionale: ogni cella è vista come combinazione di due o più variabili Esempio

Analisi Log lineare • Applicare più test χ² per analizzare ciascuna combinazione sarebbe una procedura non corretta perché: • Aumento dell’errore alpha • Lettura dei risultati non comprensibile

Analisi Log lineare • Date le tre variabili da studiare nella loro relazione è possibile analizzare: • Ogni confronto binario • L’interazione fra tutte le variabili

Analisi Log lineare Modello Log lineare attraverso un’unica procedura di analisi rappresenta tutte le possibili combinazioni in modo indipendente le une dalle altre. 1. Struttura modello 2. Stima dei parametri e valutazione della bontà del modello

Analisi Log lineare 1. Struttura del modello • • • dove: Fij è la frequenza osservata della cella ij, λi. X, è l’effetto della i-esima categoria della variabile X, λj. Y l’effetto della j-esima categoria della variabile Y λij. XY l’effetto interazione fra le due. μ è la media dei logaritmi calcolati per tutte le celle λ è calcolata togliendo al totale di riga o di colonna di quella cella la media generale.

Analisi Log lineare Struttura: logaritmo delle frequenze di ogni combinazione possibile in funzione dei valori delle varie componenti di classificazione ln Fijk = μ+λi. I + λj. J + λk. K + λi. Ij. J + λi. Ik. K + λj. Jk. K + λi. Ij. Jk. K Tuttavia… Scopo del modello è rappresentare adeguatamente i dati sperimentali con il numero minore di relazioni fra le variabili ln Fijk = μ+ λi. I + λj. J + λk. K + λi. Ij. J + λi. Ik. K

Analisi Log lineare Tutte le variabili sono considerate come variabili indipendenti o fattori, la variabile dipendente è il numero di casi in ogni cella, ovvero la frequenza osservata, che è proprio l’indice dell’interazione fra le variabili in studio.

Analisi Log lineare Stima dei parametri: 1. Calcolo del logaritmo delle frequenze osservate 2. Calcolo delle frequenze attese 3. Confronto frequenze attese con le frequenze osservate - residui

Analisi Log lineare: Rappresentazione dei Parametro 1 2 3 4 5* 6 7 8* 9 10 11* Esito Costante Esito=0; Terapia=1 Esito=0; Terapia=2 Esito=1; Terapia=1 Esito=1; Terapia=2 Esito=0; Tipo=A Esito=0; Tipo=B Esito=0; Tipo=C Esito=1; Tipo=A Esito=1; Tipo=B Esito=1; Tipo=C Rappresentazione dei parametri secondo il modello Esito x Terapia + Esito x Tipo (Esito=0 corrisponde a esito negativo; Esito=1 corrisponde a esito positivo; Terapia=1 è la terapia farmacologica; Terapia=2 sta per terapia integrata

Analisi Log lineare 3 a Una volta calcolate le frequenze attese per ogni cella si calcolano i punti z dei residui (dividendoli per la radice quadrata delle frequenze attese) 3 b Dato il modello vengono quindi calcolati i parametri che divisi per il loro SE diventano punti z

Analisi Log lineare Calcoliamo ad esempio la stima del parametro 2 relativo alla probabilità di avere un esito negativo avendo effettuato una terapia farmacologica (terapia =1 esito = 0). Per calcolare questa probabilità devo togliere dalla media generale gli effetti dovuti ai fattori terapia, tipo di personalità ed esito.

Analisi Log lineare • Per verificare se il modello rappresenta sufficientemente i dati si può considerare il test sull’ipotesi nulla che λ sia uguale a zero attraverso i limiti di falsificazione della distribuzione z (+1. 96)

Analisi Log lineare 4. Valutazione della bontà del modello Il Goodness of fit test è basato sul Χ 2 e testa la probabilità che quel particolare modello (Fij ) rappresenti bene i dati sperimentali (Fij ). È calcolato tramite la formula:

Analisi Log lineare Il Likelyhood ratio test: la probabilità che raccolti quei dati sperimentali essi siano generati dal modello ed è dato dal logaritmo del rapporto fra valori sperimentali e teorici per tutte le possibili condizioni.