REFERENCIAS The Chaos Hypertextbook Glenn Elert http hypertextbook

REFERENCIAS • “The Chaos Hypertextbook”, Glenn Elert http: //hypertextbook. com/chaos/ • “Writing the History of Dynamical Systems and Chaos…”, D. Aubin y A. Dalmedico Historia Mathematica 29 (2002), 273 -339

¿QUE ES EL CAOS? 1. Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos. - Modelo de Lorenz. (dimensión 3) - Modelo de Hénon (dimensión 2). Fractales. - La ecuación logística de May (dimensión 1) 2. Recapitulando. ¿Que es el caos? - Propiedades de un sistema caótico. - Regularidades en un sistema caótico. 3. Un poco de historia. - Las matemáticas de Poincaré y Smale. - Interdisciplinaridad: Lorenz, Ruelle, May, Yorke. . . 4. Teoría del Caos, ¿revolución científica? .

Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz. Problema real (física, biología, meteorología. . . ) Modelo Matemático (Ecuaciones diferenciales) Solución Matemática ¿Explica la realidad?

Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz. Frío Atmósfera Calor Lámina rectangular

Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz. Frío Atmósfera Lámina rectangular Calor x´(t)= 10(y-x) y´(t)=28 x-y-xz z´(t)=xy-8 x/3 Modelo matemático Ecuaciones diferenciales (no lineales).

Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.

Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz Condición Inicial (x 0, y 0, z 0) Regla (x 1, y 1, z 1) Regla (x 2, y 2, z 2). . . ITERACION

Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz Condición Inicial (x 0, y 0, z 0) Regla (x 1, y 1, z 1) Regla (x 2, y 2, z 2). . . ITERACION segundo temperatura 1 -14. 052872 1 - 2 2. 757209 2 - 3 -7. 552990 3 - 4 6. 621076 4 - 5 -8. 084304 5 - 6 -9. 952578 6 -9. 952000 7 -5. 981163 7 -6. 120309 8 -13. 023813 8 -12. 646284 9 0. 041168 9 -0. 724073 10 9. 314363 10 11. 848833 11 4. 558919 11 -1. 204758 12 7. 375924 12 6. 826824 13 -14. 856846 13 13. 773982 14 -0. 246566 14 1. 474239

Segundo Ejemplo. El Atractor de Hénon. Problema real (biología, mecánica celeste. . . ) Condición Inicial (x 0, y 0) Regla Modelo Matemático (Iteración) (x 1, y 1) Regla Solución Matemática ¿Explica la realidad? (x 2, y 2). . . ITERACION

Segundo Ejemplo. El Atractor de Hénon. (x 0, y 0) Regla (x 1, y 1) Regla (x 2, y 2). . . (x, y) (1/3 y, 1+x-7 y/5)

Otros ejemplos. Atractor de Ikeda (Optica) z=(x, y) a + b z exp i[k - p/(1 + |z|2)] a, b, k, p parámetros

Otros ejemplos. Fractales Conjunto de Juliá z z 2+c c=-0, 2 -0, 7 i

Otros ejemplos. Fractales Conjunto de Juliá z (z 3+c)/(dz) c=0, 001 d=0, 95 -0, 31225 i

Otros ejemplos. Fractales Conjunto de Juliá z (z 5+c)/z 3 c=0, 001

Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS Método creado por M. F. Barnsley en 1985 basado en la iteración de varias funciones de la forma

Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS Brocoli IFS F

Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS Helecho de Barnsley

Tercer Ejemplo. La ecuación logística de May. Problema real (física, química, biología. . . ) Condición Inicial x 0 Regla Modelo Matemático (Iteración) x 1 Regla Solución Matemática ¿Explica la realidad? x 2. . . ITERACION

Tercer Ejemplo. La ecuación logística de May. An = número de animales en el año n An+1= c An c=tasa de crecimiento M= población máxima admitida An+1= c An (M-An) xn+1= c xn (1 -xn) x se normaliza y. . . Ecuación logística c x (1 -x) ITERACION

Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Bifurcaciones.

Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades Mitchell J. Feigenbaum 1944 -

Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades cn = valor crítico en que se produce la bifurcación n Mitchell J. Feigenbaum 1944 -

Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades cn = valor crítico en que se produce la bifurcación n cn-cn-1 cn+1 -cn Mitchell J. Feigenbaum 1944 - 4, 669201. . . ¡La constante es la misma para muchos más tipos de iteraciones!

Recapitulando. . . Propiedades de un sistema caótico - Modelo matemático: ecuaciones diferenciales (no lineales) o iteración - La solución es muy sensible a las condiciones iniciales (efecto mariposa). No hay predicción. - El atractor es un fractal. - Reglas dinámicas simples pueden dar lugar a resultados complejos.

Recapitulando. . . Regularidades (orden) de un sistema caótico - La solución al modelo acaba convergiendo al atractor. - Autosemejanza en atractores. Dimensión. - Constante de Feigenbaum, exponente de Lyapunov. . . - Teoría de los sistemas dinámicos (geometría, topología…)

Un poco de historia - Estudió el problema de los tres cuerpos. - Noción de bifurcación. - Métodos de geometría y topología. Henri Poincaré 1854 -1912 - Creador de la Teoría de los Sistemas Dinámicos.

Un poco de historia “Puede ocurrir que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales produzcan grandes diferencias al final… la predicción resulta imposible”. Henri Poincaré 1854 -1912

Un poco de historia - En los años 60, “introduce los métodos, herramientas, objetivos y visión global de la Teoría de los Sistemas Dinámicos”. - Demuestra (teóricamente) la existencia de sistemas estables con dinámica muy compleja. Stephen Smale 1940 Medalla Fields, 1966 Pero los resultados, ¡se quedan dentro de las matemáticas!

Un poco de historia - 1963. Modelo atmosférico y atractor. - 1967. Can the flap of a butterfly’s wings in Brazil stir up a tornado in. Texas? - Uso de ordenadores para resolver ecuaciones y “ver” soluciones. - Modelos de fenómenos impredecibles. Atractor de E. Lorenz (metereólogo) - Modelos simples de fenómenos complejos.

Un poco de historia Los años 70: Creciente uso de los ordenadores. - 1971. Artículo de Ruelle “On the nature of turbulence”. - Introduce concepto de “atractor extraño”. - Presenta las ecuaciones de Navier. Stokes en forma 1 -dimensional: - Primer acercamiento entre disciplinas: matemáticas e hidrodinámica v´(t)=fr(v), r>0

Un poco de historia - 1973. Robert May, biólogo. La ecuación logística. - 1975. Li y Yorke, “Period three implies chaos”. Primer uso de la palabra “caos”. - 1975. B. Mandelbrot. Manifiesto teórico sobre los fractales. - 1977. El símbolo: El congreso “Bifurcation theory and Applications in Scientific Disciplines” - 1978. La constante de M. Feigenbaum.

Teoría del Caos, ¿revolución científica? 1 - Novedad y profundidad de los conceptos 2 - Sustitución de modelos 3 - El papel de los ordenadores 4 - ¿Existe la “ciencia del caos”?