Redes ADSA Antnio Cmara Redes Mtodo do caminho

Redes ADSA António Câmara

Redes • • • Método do caminho mais curto Localização de equipamentos Minimum spanning tree Carteiro chinês Caixeiro viajante Links

Redes • Redes são sistemas de linhas (arcos) ligando pontos (nós). Exemplos: – Vias de comunicação – Sistemas de rega, abastecimento de água e drenagem – Linhas de alta tensão – Linhas telefónicas – Percursos alternativos (no espaço e no tempo)

Método do caminho mais curto • Dada uma rede de n nós (1, 2, …, n) correspondente a cada arco (i, j) existe um número dij 0 (distância, custo, tempo) • O problema consiste em determinar o comprimento do caminho mais curto e o percurso desse caminho entre a origem, nó 1, e o nó de destino, nó n

Método do caminho mais curto 2 3 9 6 2 6 1 7 3 3 3 4 1 5 3 4

Método do caminho mais curto • Determinar o caminho mais curto do nó 1 ao nó 6 • Aplicação do método de Dijsktra: – Atribuir um rótulo a todos os nós que pode ser temporário ou permanente – Um rótulo temporário representa um limite superior na distância mais curta do nó 1 e aquele nó – Um rótulo permanente é a distância mais curta entre o nó 1 e aquele nó

Método do caminho mais curto • L(0)= [0, 3, 7, 4, , ] * * rótulo permanente • L(1)= [0, 3, 7, 4, , ] * * • Para cada um dos restantes nós, calcule-se um número igual à soma do rótulo permanente do nó 2 e a distância do nó 2 ao nó j

Método do caminho mais curto • Compare-se este número com o rótulo temporário do nó j. O menor destes números passa a ser o novo rótulo do nó j. Exemplo: – Para o nó 3, min (3+2, 7)= 5 • L(2)= [0, 3, 5, 4, , 12] * * * • Usa-se agora o rótulo permanente do nó 4 como âncora.

Método do caminho mais curto • Calculam-se os novos rótulos temporários dos nós 3, 5 e 6 • L(3)= [0, 3, 5, 4, 7, 12] * * • O nó 3 assume assim um rótulo permanente • L(4)= [0, 3, 5, 4, 7, 11] * * * • Usando o rótulo permanente do nó 5, mudamos o nó 6 para 10

Método do caminho mais curto • L(5)= [0, 3, 5, 4, 7, 10] * * * • Para determinar a sequência de nós no caminho mais curto do nó 1 ao nó 6 opera-se no sentido inverso • O nó j precede o nó 6 se a diferença entre os rótulos permanentes dos nós 6 e j iguala o comprimento do arco j a 6 • Percurso solução 6 -5 -4 -1

Método do caminho mais curto • Localização de infraestruturas lineares: – Afectar os arcos de índices reflectindo custos e/ou impactes ambientais – Método de Dijkstra pode ser aplicado em sistemas raster (pixeis são nós da rede) e vectoriais • Método dos k-caminhos mais curtos pode ser aplicado para gerar alternativas

Método do caminho mais curto Enumeração de alternativas em planeamento de usos do solo Célula 1 Célula 2 Célula 3 Nó fict. Uso 1 Uso 2 Uso 3 Nó fict.

Localização de equipamentos • Método do caminho mais curto pode ser utilizado na localização de dois tipos de equipamentos: – Equipamentos que convém localizar minimizando a distância média desses equipamentos à população que os utiliza. Exemplo: serviços não urgentes como os correios

Localização de equipamentos – Equipamentos que convém localizar minimizando a máxima distância desses equipamentos aos potenciais utilizadores. Exemplo: serviços de urgência como os quartéis de bombeiros e hospitais

Localização de equipamentos • Representar as possíveis localizações como nós • Indicar para esses nós os valores da procura anual (pj) • Comprimentos dos arcos reflectem as distâncias entre os locais • Método de solução: – Calcular a matriz dij

Localização de equipamentos – A distância total percorrida anualmente pelos potenciais utilizadores de um local i e residentes num local j pode ser expressa pela matriz [pj x dij] – Pode-se então estimar as distâncias total e média percorridas por todos os potenciais utilizadores da região se o equipamento se localizar no nó I, calculando o somatório pj. dij e depois dividindo por pj

Minimum spanning tree • Uma “spanning tree” é uma árvore de um grafo G que contém o conjunto completo de nós N de G. • A “minimum spanning tree” é a árvore de todas as possíveis “spanning trees” de G com a distância total mínima • Aplicação no desenho de “pipelines” e redes de drenagem

Minimum spanning tree • Algoritmo de Larson e Odoni: – Inicie-se a construção da “minimum spanning tree” num nó i. Encontre-se o nó mais próximo de i, diga-se j, ligado a i. – Se todos os nós estão ligados, pare-se. A “minimum spanning tree” está encontrada. Se não, avance-se para o passo seguinte. – Encontre o nó no conjunto daqueles ainda isolados mais próximo de um nó ligado e ligue-o a esse nó

Minimum spanning tree • Grafo inicial 5 6 10 G 6 5 C 9 7 7 9 F B 7 A 5 E 5 D

Minimum spanning tree • Começando em A, liga-se a G…. B A 5 6 5 C G 6 F 5 E 5 D

Carteiro chinês • O problema do carteiro chinês consiste em cobrir todos os arcos de uma rede partindo e chegando ao mesmo nó percorrendo uma distância total mínima • Solução complica-se em redes mistas (incluindo arcos direccionados e outros não direccionados) • Relevância em engenharia de ambiente na determinação de circuitos de remoção de recolha do lixo doméstico

Carteiro chinês • Conceitos base: – Nó ímpar- um nó de que parte ou em que chega um numero ímpar de arcos – Teorema de Euler- um grafo G possui um circuito Euler (ou caminho Euler) se e só se possuir zero (ou exactamente dois) nós ímpares

Carteiro chinês – Exemplos

Carteiro chinês • Algoritmo de Larson e Odoni: – Identifiquem-se todos os nós ímpares de um grafo G. Admita -se que o seu número é m. – Encontre-se o “matching” mais curto dos m nós ímpares entre os dois nós que constituem cada um dos m/2 pares. – Para cada um dos pares de nós ímpares no “matching” mais curto encontrado no passo anterior, adicionem-se ao grafo G as arestas do percurso mais curto entre os dois nós do par. Obtém-se assim um grafo G 1 sem nós ímpares

Carteiro chinês – Encontre-se um circuito Euler em G 1. Este circuito é a solução do problema do carteiro chinês no grafo original G – Exemplo d 6 a 5 5 8 c 8 5 5 e 6 b

Carteiro chinês • Alternativas – Duplicar d-e e a-b – Duplicar d-a e e-b – Duplicar d-c, c-b, a-c e c-e • Melhor solução: duplicar d-a e e-b

Caixeiro viajante • O problema do caixeiro viajante consiste na definição de um circuito mais curto ligando nós, sabendo-se a matriz das distâncias entre esses nós • Aplicação na recolha de lixos em locais específicos como no caso da recolha de lixos nos hospitais

Caixeiro viajante • Algoritmo de Larson e Odoni – Encontre-se a “minimum spanning tree” que cubra n nós. Chame-se a esta árvore T. – Seja n 0 o numero de nós impares dos n nós de T. Encontre-se o “matching” mais curto entre estes nós utilizando um algoritmo apropriado. Considere-se o grafo consistindo dos arcos incluidos no “matching” óptimo como M. Crie-se o grafo H consistindo da união de M e T.

Caixeiro viajante – O grafo H é um grafo Euleriano porque não contém nenhum nó ímpar. Desenhe-se o circuito Euleriano começando e acabando no nó desejado. Este circuito é a solução aproximada do problema do caixeiro viajante.

Caixeiro viajante • Exemplo: – “Minimum spanning tree” 11 8 9 31 1 29 36 7 10 * 27 6 * 25 29 2 36 * 3 * * 34 5 4 *

Caixeiro viajante – Construção do grafo H 11 8 9 31 1 29 36 3 * 25 7 (43) 6 2 36 * 10 * 27 29 * (29) 34 5 4 * * (71)

Caixeiro viajante – Solução aproximada (duração total 371) 8 3 1 9 7 2 10 5 4 6

Caixeiro viajante – Solução real (duração total 331) 8 3 1 9 7 2 10 5 4 6

TPC 3 • Caminho mais curto de 1 ou 2 a 8 8 1 5 7 6 2 8 3 6 8 4 3 5 8 9 7 6 10 7

TPC 3 • Encontrar a “minimum spanning tree” da seguinte rede Nós 1 2 3 4 1 15 25 40 2 15 30 3 25 17 4 40 30 17 -

TPC 3 • Resolver o problema do carteiro chinês para o seguinte grafo c 7 5 d 9 b 8 7 a 4 7 e 9 4 8 f