REAVANJE NEKIH NPTEKIH PROBLEMA DISKRETNE OPTIMIZACIJE Nina Radojii

REŠAVANJE NEKIH NPTEŠKIH PROBLEMA DISKRETNE OPTIMIZACIJE Nina Radojičić

Sadržaj � Uvod ◦ Diskretna optimizacija ◦ Rešavanje NP-teških problema � LOBA ◦ ◦ Problem GA VNS Rezultati � MMDP ◦ Problem ◦ Rezultati � Zaključak Matematički fakultet 2/35

Diskretna optimizacija � Problem diskretne optimizacije ◦ Konačan ili prebrojivo beskonačan, diskretan skup S ◦ Funkcija f: S → R ◦ Naći minimum funkcijef �S �f – dopustiv skup – funkcija cilja � Dopustivo rešenje � Optimalna rešenja Matematički fakultet 3 /35

Rešavanje NP-teških problema � Vreme – bitan faktor � Metaheuristike ◦ ◦ ◦ Često izbor Dobro rešenje zadatka za relativno kratko vreme Bez dokaza optimalnosti Mogu primenjivati na širok spektar problema Pretražuju skup dopustivih rešenja u cilju nalaženja što boljeg rešenja Matematički fakultet 4 /35

LOBA - problem � Problem izbalansiranosti lokacija (The Load Balance Problem, LOBA) ◦ ◦ m potencijalnih snabdevača n korisnika Bira se p snabdevača Korisnik se pridružuje tačno jednom najbližem odabranom snabdevaču ◦ l = najmanji broj korisnika pridruženih nekom snabdevaču ◦ u = najveći broj korisnika pridruženih nekom snabdevaču ◦ Minimizovati u-l Matematički fakultet 5 /35

LOBA - poblem � Primer ◦ Skup korisnika {0, 3, 4, 10} ◦ Skup potencijalnih snabdevača {0, 3, 4, 10} ◦ Euklidska rastojanja 0 3 4 10 ◦ p=2 0 0 3 4 10 3 3 0 1 7 4 4 1 0 6 10 10 7 6 0 ◦ Rešenje {3, 4} �Snabdevaču 3 se pridružuju 0 i 3 �Snabdevaču 4 se pridružuju 4 i 10 Matematički fakultet 6 /35

LOBA – problem � Dosadašnji rezultati ◦ Alfredo Marín, 2011 �Marín A. , "The discrete facility location problem with balanced allocation of customers", European Journal of Operational Research, Vol. 210, Issue 1, pp. 27 -38, (2011) �dve formulacije �predložio metodu grananja i sečenja (Branch-and-Cut algorithm - Bn. C) sa poboljšanjima �Testirao na instancama �Do 50 potencijalnih snabdevača �Do 100 korisnika Matematički fakultet 7 /35

LOBA - problem � Primena ◦ Dizajn teritorije �Izborne jedinice �Škole ◦ Lokacija antena za mobilne telefone Matematički fakultet 8 /35

LOBA – problem � Matematička ◦ ◦ ◦ formulacija Pogodna za CPLEX ILOG IBM A = {1, 2, . . . , n} skup korisnika B = {1, 2, . . . , m} skup potencijalnih snabdevača C = (cij) matrica troškova p = broj snabdevača koje treba odabrati Matematički fakultet 9 /35

LOBA – problem Matematički fakultet 10 /35

LOBA - GA � Open source GAFramework � Genetski ◦ ◦ ◦ algoritam (GA) Populacija Prilagođenost Selekcija Ukrštanje Mutacija Matematički fakultet 11 /35

LOBA – GA � Populacija ◦ 150 jedinki ◦ 50 novih u svakoj iteraciji � Kodiranje jedinki: binarno �m bitova (p jedinica) � Početna populacija �Slučajno odabrana �Verovatnoća p/m Matematički fakultet 12 /35

LOBA – GA � Prilagođenost ◦ Funkcija prilagođenosti �Jedinke sa najboljom (najlošijom) funkcijom cilja slika u 1 (0) �Sve jedinke različite (ostale slika u 0) �Maksimalno 10 sa istom funkcijom cilja (ostale slika u 0) � Selekcija ◦ Turnirska selekcija ◦ Fino gradinirana 5. 4 � Ukrštanje ◦ pcross=0. 85 Matematički fakultet 13 /35

LOBA – GA � Mutacija ◦ pmut=0. 4/m ◦ Faktor za zaleđene bitove 3, 5 � Kriterijum zaustavljanja ◦ Maksimalan broj generacija 10000 ◦ Ponavljanje najboljeg rešenja funkcije cilja 5000 uzastopnih generacija Matematički fakultet 14 /35

LOBA - VNS � Metoda promenljivih okolina (Variable neighborhood search - VNS ) � Analiza okolina � Lokalna pretraga � Koraci ◦ Uprošćen VNS (Reduced VNS) ◦ VNS �Mešanje (Shake) �Lokalna pretraga Matematički fakultet 15 /35

LOBA - VNS � Kodiranje ◦ Rešenje: permutacija brojeva {1, 2, . . . , m} ◦ Prvih p odabrani snabdevači � Okolina ◦ Primer: � 1 2 3 | 4 5 6 7 8 � 2<->6 � 1 6 3 | 4 5 2 7 8 Matematički fakultet 16 /35

LOBA - VNS � Hibridizacija sa GA � Umesto uprošćenog VNS-a početno rešenje za VNS je rešenje koje se dobije primenom GA Matematički fakultet 17 /35

LOBA – rezultati � Metode ◦ Marín testirane na tri skupa instanci �m (20, 30, 50) �n (20, 30, 50, 100) �p (3, 4, 6, 10) ◦ Galvão i Re. Velle �n (100, 150) �p (5, 10, 15) ◦ Lorena i Senne �n (100, 200, 300, 402) �Odgovarajuće vrednosti za p �Za problem p-medijane ograničenih kapaciteta Matematički fakultet 18 /35

LOBA – rezultati Poređenje prosečnog vremena: CPLEX vs. GA 4000 3500 3000 2500 CPLEX 2000 GA 1500 1000 500 0 1 Matematički fakultet 19 /35

LOBA – rezultati � Za instance koje su rešene i korišćenjem CPLEX-a sve metode su dale optimalna rešenja. � Prosek vremena (u sekundama) na tim instancama: ◦ ◦ ◦ CPLEX GA NP GA P VNS GA VNS 3566. 24 0. 34 0. 22 0. 76 0. 05 Matematički fakultet 20 /35

20 -20 -3 -1 20 -20 -3 -50 20 -20 -6 -10 30 -30 -3 -1 30 -30 -3 -30 30 -30 -4 -1 30 -30 -4 -30 30 -50 -3 -100 30 -50 -6 -100 30 -50 -10 -100 30 -100 -3 -100 30 -100 -6 -100 30 -100 -10 -100 50 -50 -3 -100 50 -50 -6 -100 50 -50 -10 -100 50 -100 -3 -100 50 -100 -6 -100 50 -100 -10 -100 100 -3 -1 100 -3 -50 100 -3 -1000 100 -3 -2500 100 -3 -3500 LOBA – rezultati Poređenje parelelizovane varijante GA u odnosu na ne parelelizovani GA 4 3, 5 3 2, 5 2 1, 5 T GA P 1 T GA NP 0, 5 0 Matematički fakultet 21 /35

Matematički fakultet 100 -3 -5000 100 -3 -3000 100 -3 -2000 100 -100 -3 -10 50 -10 -400 50 -10 -50 50 -100 -6 -400 50 -100 -6 -50 50 -100 -3 -400 50 -100 -3 -50 50 -50 -10 -400 50 -50 -10 -10 50 -50 -6 -10 50 -50 -3 -100 50 -50 -3 -10 30 -100 -10 -10 30 -100 -6 -100 30 -100 -6 -10 30 -100 -3 -10 30 -50 -10 -100 30 -50 -10 -10 30 -50 -6 -10 30 -50 -3 -100 30 -50 -3 -10 30 -30 -4 -30 30 -30 -4 -1 30 -30 -3 -30 30 -30 -3 -1 20 -20 -6 -10 20 -20 -3 -50 20 -20 -3 -1 LOBA – rezultati Poređenje hibridizacije GA i VNS sa paralelizovanom verzijom GA 1, 6 1, 4 1, 2 1 0, 8 0, 6 GA P 0, 4 GA VNS 0, 2 0 22 /35

LOBA – rezultati Poređenje VNS-a i VNS GA 40 35 30 25 VNS GA 20 VNS 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Matematički fakultet 15 16 23 /35

LOBA – rezultati Poređenje na instancama SCJ velikih dimenzija (100, 200, 300, 402) 18 16 14 12 GA NP 10 GA P VNS 8 GA VNS 6 4 2 0 F T Matematički fakultet 24 /35

MMDP - problem � Problem maksimizacije minimalnog rastojanja (Max Min Diversity Problem, MMDP) ◦ Skup od n elemenata ◦ Bira se m ◦ Maksimizovati minimalno rastojanje među odabranim elementima Matematički fakultet 25 /35

MMDP - problem � Primer ◦ Jednostavan na realnoj pravoj ◦ m=5 ◦ n=3 Matematički fakultet 26

MMDP - problem � Primena ◦ U različitim oblastima �Socialne nauke �Biološke nauke �Npr. U ekologiji �Raspoređivanje postrojenja ◦ Svaki element može predstaviti skupom atributa ◦ Rastojanje različito definisano Matematički fakultet 27

MMDP - problem � MMDP NP-težak ◦ Nezavisno su pokazali �Erkut (1990) �Ghosh (1996) Matematički fakultet 28 /35

MMDP - problem � Matematička formulacija Matematički fakultet 29 /35

MMDP – GA, VNS, GA VNS � Tehnike rešavanja kao za problem LOBA Matematički fakultet 30 /35

MMDP - rezultati � Testirano ◦ Glover na tri skupa instanci �Instance dimenzija n = 10, 15, 20 �m = 0. 2 n do 0. 8 n �Rezultati provereni korišćenjem CPLEX-a ◦ Geo i Ran �Instance dimenzija n = 100, 250, 500 �m = 0. 1 n do 0. 3 n �Na drugačiji način generisane Matematički fakultet 31 /35

MMDP - rezultati � Za instance manjih dimenzija rešenja su proverena korišćenjem CPLEX-a � Prosek vremena (u sekundama) na tim instancama: ◦ CPLEX ◦ GA ◦ VNS 134. 46 0. 37 0. 76 Matematički fakultet 32 /35

MMDP - rezultati Pregled vremena (u sekundama) izračunavanja na većim instancama 600 500 400 GA 300 VNS GA VNS 200 100 0 T Matematički fakultet 33 /35

Zaključak � Rešavani problemi su pogodni za rešavanje heurističkim metodama � Za dalji rad: ◦ Rešavanje sličnih problema ◦ Paralelizacija VNS-a ◦ Implementacija drugih heuristika Matematički fakultet 34 /35

Hvala na pažnji. �Pitanja Matematički fakultet 35/35