Realizat de prof FLORESCU NICOLAE GEOMETRIE CLASA a

Realizat de prof. FLORESCU NICOLAE GEOMETRIE CLASA a VIII-a Semestrul II .

PROIECTII ORTOGONALE PE UN PLAN.

PROIECTII DE PUNCTE SI DREPTE PE UN PLAN Se numeste proiectia ortogonala a unui punct pe un plan piciorul perpendicularei duse din acel punct pe un plan. A Prin proiectia unei drepte pe un plan se intelege multimea proiectiilor punctelor acelei drepte pe plan. A A B A` B`.

PROIECTII DE FIGURI GEOMETRICE PE UN PLAN C Prin proiectia A B A` unei figuri geometrice pe un plan intelegem multimea proiectiilor C`punctelor acelei figuri pe plan. B`.

UNGHIUL UNEI DREPTE CU UN PLAN d A u B d` B` Unghiul unei drepte d cu planul este unghiul dintre dreapta data si proiectia acestei drepte pe plan; conform figurii de mai sus este vorba de unghiul ABB` de masura u. BB` = AB cosu .

TEOREMA CELOR TREI PERPENDICULRE d M Daca o dreapta d este perpendiculra pe planul , dreapta a este inclusa in planul , drepta PA este perpendiculara pe dreapta a in punctul A, atunci si dreapta MA este perpendiculara pe dreapta a. a P A Cu ajutorul teoremei celor trei perpendiculare se poate afla distanta de la un punct la o dreapta sau la un plan si masura unghiului plan al unui diedru. .

UNGHI DIEDRU Fie planele si . Dreapta a inclusa in , este perpendiculara pe muchia diedrului in P. b Dreapta b inclusa in , este perpendiculara pe muchia diedrului in P. P u a Unghiul plan al diedrului format de cele doua plane este unghiul plan determinat de dreptele a si b de masura u. .

PLANE PERPENDICULARE Daca planul contine dreapta d perpendiculara pe planul , atunci cele doua plane sunt perpendiculare. d a m Daca doua plane sunt perpendiculare, atunci ele formeaza un unghi diedru drept. .

ARII SI VOLUME.

ARIA SI VOLUMUL UNEI PRISME TRIUNGHIULARE C` B` A` h Pb = 3 l (perimetrul bazei) C A l B (aria bazei).

ARIA SI VOLUMUL UNEI PRISME PATRULATERE D` C` A` B` h D C Pb = 4 l (perimetrul bazei) Ab = l 2 A l (aria bazei) B.

ARIA SI VOLUMUL UNEI PRISME HEXAGONALE E` D` F` C` A` B` h E D Pb = 4 l (perimetrul bazei) F l A C B (aria bazei).

ARIA SI VOLUMUL UNUI CUB D` C` A` B` d D A C l Al = 2 4 l At = 2 6 l V= 3 l B Triunghi echilateral .

ARIA SI VOLUMUL UNUI PARALELIPIPED DREPTRUNGHIC Al = 2(a+b)c perimetrul bazei d At = 2(ab+bc+ac) V = abc c b d 2 = a 2 + b 2 + c 2 a (a +b +c)2 = d 2 + At .

ARIA SI VOLUMUL UNEI PIRAMIDE V TRIUNGHIULARE ml a h p C R A mb = muchia bazei; ml = muchia laterala; h = inaltimea; ab = apotema bazei; ap = apotema piramidei; R = raza cercului circumscris bazei ab D O mb B .

PIRAMIDA TRIUNGHIULARA - TRIUNGHIURI DE LUCRU V ml a h p C R A V O mb=l 3 V m 2 l ml A R h O ap h D ab ap 2 = ab 2 + h 2 ab D O V B = h 2 + R 2 ml 2 = ap 2 + (l/2)2 ml ap D l/2 B .

ARIA SI VOLUMUL UNEI PIRAMIDE PATRULATERE V m = muchia bazei; b ml D h ap C ab R A O mb ml = muchia laterala; h = inaltimea; ab = apotema bazei; ap = apotema piramidei; R = raza cercului circumscris bazei E B Ab = l 2. .

PIRAMIDA PATRULATERA – TRIUNGHIURI DE LUCRU V V h ml D h A ml A R h O ab = l / 2 C O mb V ap ap ab R ap 2 = ab 2 + h 2 E ab O V B m l 2 = h 2 + R 2 E ml 2 = ap 2 + (l/2)2 ml ap E l/2 C .

V PIRAMIDA HEXAGONALĂ h E D F l A C O B .

ARIA SI VOLUMUL UNUI TRUNCHI DE PIRAMIDA TRIUNGHIULARA Baza mica l = latura bazei mici C` O` D` B` A` Apotema bazei mici Muchia laterala Inaltimea C D Apotema bazei mari Baza mare O A B L = latura bazei mari.

Trunchi de piramida triunghiulara – trapeze de lucru O` ab D` a. B = apotema bazei mari; ab = apotema bazei mici; a h a = apotema trunchiului; h h = inaltimea trunchiului; a. B-ab O a. B D .

Trunchi de piramida triunghiulara – trapeze de lucru r A` O` h = inaltimea; ml = muchia laterala; h ml A R-r R h O R = raza cercului circumscris bazei mari; r = raza cercului circumscris bazei mici; .

Trunchi de piramida triunghiulara – trapeze de lucru D` l/2 a = apotema trunchiului; C` ml = muchia laterala; a a ml L/2 -l/2 D L/2 = jumatate din latura bazei mari l/2 = jumatate din latura bazei mici C .

ARIA SI VOLUMUL UNUI TRUNCHI DE PIRAMIDA PATRULATERA L = latura bazei mari l l = latura bazei mici ab h = inaltimea r h ml a a = apotema trunchiului a. B = apotema bazei mari ab = apotema bazei mici R = raza cercului circumscris bazei mari r = raza cercului circumscris bazei mici ml = muchia laterala R L a. B.

V CUM CONSTRUIM CORECT UN TRUNCHI DE PIRAMIDA? Urmariti desenul alaturat. D` A` D C` B` Ce este deasupra bazei mici se poate sterge daca nu este nevoie in rezolvarea unei probleme. C A B .

ARIA SI VOLUMUL UNUI CILINDRU CIRCULR DREPT R = raza cilindrului; A` B` O` h = inaltimea cilindrului; G = generatoarea cilindrului; G h A Al = 2 RG R O B At = 2 R(R+G) V= 2 R h.

ARIA SI VOLUMUL UNUI CON CIRCULAR DREPT V R = raza conului; h = inaltimea conului; G = generatoarea conului; G G 2 = R 2 + h 2 h Al = RG R A O At = R(R+G) B .

ARIA SI VOLUMUL UNUI TRUNCHI DE CON CIRCULAR DREPT A` R = raza mare a trunchiului de con; O` r B` r = raza mica a trunchiului de con; G = generatoarea trunchiului de con; h = inaltimea trunchiului de con; G h A O R G 2 = h 2 + (R-r)2 Al = G(R+r) At = Al + (R 2+r 2) B.

Piramida mare h Piramida mica h` RAPORTUL ARIILOR SI VOLUMELOR CORPURILOR ASEMENEA Unde k este raportul de asemanare, de exemplu: k= h` h .

ARIA SI VOLUMUL UNEI SFERE R = raza sferei R O A A sferei = 4 2 R .

VREAU SA MA MAI UIT O DATA ! sfârşit