RDSZERKEZETEK KERESZTMETSZETI FESZLTSGEI SZCHENYI EGYETEM Agrdy Gyula 2006

RÚDSZERKEZETEK KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEI SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK

DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK • RÚD: olyan egyenes tengelyű tartószerkezet, melynek egyik mérete a másik kettőnél lényegesen nagyobb (L>>h, b) • RÚDSZERKEZET: rudakból csomóponti kapcsolatokkal és támaszokkal összeállított tartószerkezet MEGJEGYZÉS: szűkített értelemben (RÁCS)RÚDnak azokat a rudakat nevezzük, amelyekben CSAK normálerő működik, azokat a rudakat pedig, amelyek a terhelést jellemzően nyíróerőkkel és nyomatékokkal veszik fel, GERENDÁknak nevezzük. A görbe tengelyű rúdszerű szerkezeteket poligonálisan egyenes tengelyű darabokból összeállítottnak tekinthetjük. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 2

DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK • KERESZTMETSZET: a rúd tengelyére MERŐLEGESEN FELVETT metszet • A rúd PRIZMATIKUS (a km. alakja-mérete a hossz mentén nem változik) TENGELYEK: • a rúd tengelye x • a keresztmetszet síkjában a vízszintes tengely y függőleges tengely z (ezek nem feltétlenül tehetetlenségi főirányok!) • a km. síkjában az „erős” tengely (1. főirány) u, „gyenge” tengely (2. főirány) v SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK a a 3

DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK ANYAGTULAJDONSÁGOK: a rúd anyaga • HOMOGÉN (az anyagjellemzők HELYfüggetlenek) • IZOTROP (az anyagjellemzők IRÁNYfüggetlenek) • (ideálisan) RUGALMAS (F/e ill. s/e konstans) • lokálisan RUGALMAS-KÉPLÉKENY SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 4

DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK VISELKEDÉSI TULAJDONSÁGOK: • A RÚD alakváltozása ELÉG KICSINY ahhoz, hogy hatását az igénybevételek számítása során elhanyagolhassuk (megmerevítés elve, I. rendű számítás) • az alakváltozás során a rúd KERESZTMETSZETEI SÍKOK maradnak és a hossztengellyel párhuzamos ELEMI SZÁLAK a keresztmetszeti síkokra MERŐLEGESEK maradnak (ez utóbbi feltevés nem minden esetben tartható!) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 5

DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK IGÉNYBEVÉTELEK: térbeli rúd egy keresztmetszetében előfordulható igénybevételek: Nx normálerő Tz vagy Tv nyíróerő Mx My =Mu Ty =Tu y(=u) x Nx Mz =Mv Tz =Tv z (=v) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. Ty vagy Tu nyíróerő Mx csavarónyomaték My vagy Mu hajlítónyomaték Mz vagy Mv hajlítónyomaték KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 6

DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK Az igénybevételek FÜGGETLENSÉGE: • A számítások során arra törekszünk, olyan közelítéseket alkalmazunk, hogy az egyes igénybevételekből származó feszültségek a többi igénybevételtől FÜGGETLENÜL legyenek számíthatók. MEGJEGYZÉS: a Tz nyíróerővel egyidejűleg MINDIG van My hajlítónyomaték, ill. a Ty nyíróerővel egyidejűleg MINDIG van Mz hajlítónyomaték!!!! d(My(x)/dx=-Tz(x); ill. d(Mz(x)/dx=-Ty(x) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 7

DEFINÍCIÓK, MEGFONTOLÁSOK Az igénybevételek FÜGGETLENSÉGE: Alapállapotban a megfelelőséget a normál- ill. a nyírófeszültségekre KÜLÖN-KÜLÖN ellenőrizzük, a különböző hatásokból származó, de azonos jellegű (normál- ill. nyíró-) feszültségeket (vektoriálisan) összegezve. Erős kihasználtság esetén e kétfajta, ugyanazon pontban egyidejűleg működő feszültség EGYÜTTES hatását is vizsgálni kell (összehasonlító feszültségvizsgálat, törési feltételek, főfeszültségvizsgálat). SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 8

TISZTA HÚZÁS (NYOMÁS) Nx T y T z M x M y M z Tiszta húzás (nyomás) esetén CSAK tengelyirányú, centrikus (a teherbírási középponton támadó) erő Nx terheli a keresztmetszetet. Az ébredő p(x, y, z) keresztmetszeti feszültségeknek biztosan lesz x irányú, azaz s feszültségkomponense, vagy másként: ez a normálerő a keresztmetszeti s feszültségrendszer eredőjeként értelmezhető. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 9

TISZTA HÚZÁS (NYOMÁS EZ A FELTEVÉS TEHÁT HIBÁS! SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. Ha a keresztmetszetben általános állású feszültségvektorokat tételezünk fel, akkor az egyes pontok-ban a nyírófeszültségek a két csatlakozó darabon ellentétes keresztirányú deformációkat okoznának, és emiatt az átvágott keresztmetszetben a két tartódarab végmetszetei nem illeszkedhetnének, ami viszont sérti az anyag folytonosságát. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 10

TISZTA HÚZÁS (NYOMÁS) EZ A FELTEVÉS TEHÁT HIBÁS! SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. Ha a keresztmetszetben csak normálfeszültséget tételezünk fel, de annak eloszlását nem egyenletesnek tekintjük, akkor az egyes pontokban az eltérő normálfeszültségi értékek miatt a fajlagos nyúlások is különbözők lennének, és emiatt az átvágott keresztmetszetben a két tartódarab végmetszetei nem illeszkedhetnének, ami viszont sérti az anyag folytonosságát. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 11

TISZTA HÚZÁS (NYOMÁS sx=Nx/A SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. A centrikusan húzott rúd közbenső keresztmetszeteiben az anyag folytonossága csak úgy biztosítható, ha a keresztmetszetekben CSAK ex fajlagos nyúlás keletkezik és ennek eloszlása a teljes keresztmetszetben EGYENLETES azaz a keresztmetszetben CSAK sx normálfeszültség ébred, és ennek eloszlása a teljes keresztmetszetben (szintén) EGYENLETES. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 12

TISZTA NYÍRÁS Nx T y T z Mx My Mz My! Tz =Tv Mz ! Ty =Tu SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. A keresztmetszeti igénybevételek differenciális összefüggése miatt a keresztmetszeti nyíróerő léte megkívánja a (vele azonos síkban működő, azonos terhelésből származó) nyomatéki igénybevétel létét. A tiszta (más igénybevételektől mentes) nyírás tehát tényleges rúdkeresztmetszetekben valójában NEM FORDULHAT ELŐ!!! d(My(x)/dx=-Tz(x); ill. d(Mz(x)/dx=-Ty(x)! KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 13

TISZTA NYÍRÁS Nx T y T z Mx My Mz Az elméleti lehetetlenséget elismerve mégis adódik olyan terhelési eset, amelyben a keresztmetszet pontjaiban a nyíróerő hatása dominál. Ezekre a (kapcsolatokban, kötőele. T t t mekben előforduló) eseg Ddz t t tekre (közelítő megoldás. Ddz dx ként) alkalmazhatónak dx dx A tiszta nyírásban a nyíróerőből elfogadjuk a TISZTA csak t feszültségekre számítunk. NYÍRÁSi igénybevételt. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 14

TISZTA NYÍRÁS Nx T y T z Mx My Mz A tiszta nyírás igénybevétele a ket resztmetszeteket a tartótengelyre t T g t MERŐLEGESEN mozdítja el, és így az elemi szálaknak a keresztmetszet Ddz tekkel bezárt (eredetileg merőleges) dx t állása megváltozik. Az elemi hasáb Ddz t t tengelyre merőleges elmozdulásának dx g/2 a tartótengely mentén mért hosszhoz t dx viszonyított értékét a nyírásra jellemÁltalános esetben az elemi hasáb torzulása ző deformációnak, g NYÍRÁSI szimmetrikus, így a g/2 jelenik meg az ábránkon. SZÖGTORZULÁSnak nevezzük. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 15

TISZTA NYÍRÁS Nx T y T z M x M y M z A rúd oldalfelületén, az érintősíkokban (a VALA 0 = t =0 t MI és SEMMI határfelütx=0 tx t 0 x t= letén) SEMMILYEN t x tx 0 = IRÁNYÚ NYÍRÓFEt 0 tx tx SZÜLTSÉG NEM ÉBt= REDHET. Emiatt a ketx tx 0 tx t= resztmetszet SÍKJÁBAN T T tx=0 tx a kerület mentén CSAK A dualitás miatt tehát a keresztmetszeÉRINTŐIRÁNYÚ NYÍti nyírófeszültségek pontról-pontra mind állásukban, mind nagyságukban RÓFESZÜLTSÉG kelet. ELTÉRŐK lesznek. kezhet. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 16

TISZTA NYÍRÁS Nx T y T z M x M y M z MÉGIS: a gyakorlat számára a kapcsolóelemekben egy t x tx ÁTLAGOSÍTOTT, FIKtx tx TÍV nyírófeszültséget veszünk figyelembe, tx tx tx amelynek IRÁNYÁT a T T tx=0 tx Az egyenletes fiktív nyírófeszültség alkal- nyíróerő irányával azomazása a tiszta nyírású metszetekben rész- nosnak, ELOSZLÁSÁT ben a képlékeny kiegyenlítődés, részben pedig egyenletesnek pedig az anyagellenállás hasonló módon történt meghatározása miatt elfogadható. vesszük. tx tx=0 tx SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 17

TISZTA NYÍRÁS - alkalmazás A húzott-nyomott acéllemezek csava. A lemezek a csavarok palástjára támaszkodnak. rozott-szegecselt kapcsolatában a kötőelemek nyíródó felületein TISZTA NYÍRÁSI igénybevételi állapotot tételezhetünk fel. Az ellenkező irányba mozdulni akaró lemezelemek közötti sík(ok)ban a kötőelemek igénybevétele TISZTA NYÍRÁS, a lyuk és a hengeres kötőelem csatlakozó felületein pedig PALÁSTNYOMÁS alakul ki. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 18

TISZTA NYÍRÁS - alkalmazás A húzott-nyomott acéllemezek csava. A lemezek a csavarok palástjára támaszkodnak. rozott-szegecselt kapcsolatában a kötőelemek nyíródó felületein TISZTA NYÍRÁSI igénybevételi állapotot tételezhetünk fel. Az ellenkező irányba mozdulni akaró lemezelemek közötti sík(ok)ban a kötőelemek igénybevétele TISZTA NYÍRÁS, a lyuk és a hengeres kötőelem csatlakozó felületein pedig PALÁSTNYOMÁS alakul ki. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 19

TISZTA NYÍRÁS - alkalmazás Más egyszerűsítések: A valós palástnyomási feszültségek helyett (is) fiktív, az átmérő mentén egyenletes, a húzóerővel párhuzamos „feszültségeket” alkalmazunk. A köA palástnyomási (fiktív!) „feszültségeket” az tőelemek között az egy irányban dolgozó lemezek (összegzett) erőt egyenletesen elvastagsága mentén (is) állandónak vesszük. osztottnak tekintjük. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 20

TISZTA NYÍRÁS - alkalmazás Más egyszerűsítések: A teljes húzóerőt a nyírásvizsgálat során (is) a kötőelemek között egyenletesen elosztottnak tekintjük. (A kimért erőeloszlás a végelemekre nagyobb értéket ad, de ha az egymás mögött álló elemek száA kötőelemek „nyírás-számát” a tönkremene- mát korlátozzuk, a képlékeny kiegyenlítődés telhez (a szabad mozgáshoz) egyidejűleg alapján az egyenletesség elnyíródni kényszerülő felületek száma adja. elfogadható. ) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 21

LYUKAS LEMEZ HÚZÁSA A húzott lemez ill. a heveder mértékadó gyengített keresztmetszete(i) Más egyszerűsítések: A húzott elemekben a lyukgyengítések keresztmetszetében kialakuló normálfeszültségek eloszlását (is) egyenletesnek tekintjük. A mérések szerint a lyu. A gyengített keresztmetszet (számítási!) „fe- kak mellett (az erővonaszültségeit” mind a keresztirányú (hatékony) lak összesűrűsödése mia feszültség lényegeszélesség, mind az egy irányban dolgozó le- att) sen nagyobb, de a képlémezek (összegzett) vastagsága mentén állan- keny átrendeződés itt is dónak vesszük. segít. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 22

LYUKAS LEMEZ HÚZÁSA A fenti ábrán egy, mindkét végén egyenletesen megoszló erővel húzott acéllemez számított hosszirányú normálfeszültségeinek eloszlását mutatjuk be. Látható, hogy a feszültségeloszlás egyenletes, csak a lyukak közvetlen környezetében van anomália: a lyukak szélességében a lyuk előtt-mögött a hosszirányú normálfeszültség lecsökken, a lyuk mellett viszont jelentősen megnő. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 23

LYUKAS LEMEZ HÚZÁSA A kinagyított ábrán látható, hogy a lemezre jellemző 200 N/mm 2 (itt: 20 k. N/cm 2) értékű normálfeszültség a lyuk mellett több, mint kétszeresére ugrik fel, de az is látható, hogy ez a túlfeszültség csak rövid szakaszon alakul ki, azaz a képlékeny átrendeződés elfogadható. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 24

LYUKAS LEMEZ HÚZÁSA A feszültségeloszlás térbeli képe SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 25

LYUKAS LEMEZ HÚZÁSA A számított feszültségeloszlás a keresztirányú metszetekben (a feliratok a normálfeszültség számított értékei k. N/cm 2 -ben) egy általános helyen lévő keresztmetszet SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. a gyengített keresztmetszet (a lyuktengelyben) KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 26

TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS Ha a rúd keresztmetszeteit CSAK nyomaték terheli, a hajlítás síkja TISZTA HAJLÍTÁSról beszélhetünk. Ha e y nyomaték VEKTORA a My keresztmetszeti síkidom valamelyik tehetetlenségi főirányában áll, a hajlítás z EGYENES HAJLÍTÁS. Nx T y T z M x M y M z x A (tiszta) egyenes hajlítás esetén a keresztmetszetet terhelő hajlítónyomaték SÍKJA a tartó tengelye és a keresztmetszet másik tehetetlenségi főiránya határozza meg. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 27

TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS Ha a rúd keresztmetszeteit CSAK nyomaték terheli, a hajlítás síkja TISZTA HAJLÍTÁSról beszélhetünk. Ha e y nyomaték VEKTORA a keresztmetszeti síkidom valamelyik tehetetlenségi főirányában áll, a hajlítás EGYENES HAJLÍTÁS. Nx T y T z M x M y M z x Mz z A (tiszta) egyenes hajlítás esetén a keresztmetszetet terhelő hajlítónyomaték SÍKJA a tartó tengelye és a keresztmetszet másik tehetetlenségi főiránya határozza meg. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 28

TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS ex (y, z) My z. P y. P P(y, z) e. P, x d. A=dy×dz y A keresztmetszetek torzulásmentessége miatt a nyomaték hatására elforduló keresztmetszet pontjai egy SÍKRA illeszkednek, azaz a keletkező e fajlagos nyúlások-összenyomódások a semleges tengelytől mért távolság lineáris függvényei. z (Vizsgálatunkat egy x-z síkra szimmetrikus tartón, a szimmetriasíkban működő My nyomatékra végezzük. Ez esetben az y tengellyel párhuzamosan a (szimmetria miatt) az e fajlagos nyúlások értéke állandó. ) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 29

TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS sx (y, z) My z. P y. P P(y, z) s. P, x d. A=dy×dz y Az anyag ideális rugalmassága miatt (s =E× e) a nyomaték hatására elforduló keresztmetszet s feszültségvektorainak végpontjai (is) egy SÍKRA illeszkednek, azaz a keletkező s normálfeszültségek a semleges tengelytől mért távolság lineáris függvényei. z (Vizsgálatunkat egy x-z síkra szimmetrikus tartón, a szimmetriasíkban működő My nyomatékra végezzük. Ez esetben az y tengellyel párhuzamosan (a szimmetria miatt) a s normálfeszültségek értéke állandó. ) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 30

TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS sx (y, z) My z. P y. P P(y, z) s. P, x d. A=dy×dz y A km. nyomatéki igénybevétele valójában az elemi felületdarabokon ébredő (fajlagos) belső erők nyomatékainak összege. Az egy pontban ébredő elemi erő (d. F) a pont z koordinátájával, az általa kifejtett nyomaték (d. M) a pont z koordinátájának négyzetével arányos. z Az ábrán a P ponthoz tartozó d. A=dy×dz elemi felületet a láthatóság végett nagyra rajzoltuk, de ez a határátmenet képzésekor tart a zérushoz, azaz a d. F elemi erő helye tart a P pont y-z koordinátáihoz. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 31

TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS d. F=sx×dydz=sx×d. A=E×emax/zmax×z×d. A sx (y, z) My z. P y. P P(y, z) s. P, x d. A=dy×dz y d. M=z×d. F=z×sx×d. A=z×E×e×d. A= =z×E×emax/zmax×z×d. A= =E×emax/zmax×z 2×d. A Mbelső=∫d. M=∫E×emax/zmax×z 2×d. A= =E×emax/zmax×∫z 2×d. A= E×emax/zmax×Jy=smax/zmax×Jy Mbelső= Mkülső smax= Mkülső/Jy× zmax smax/zmax×Jy= Mkülső s=smax/zmax ×z z A P pontban ébredő s feszültségből származó elemi erő nyomatékát felírva és a teljes felületen összegezve a külső nyomatékot kell kapnunk. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 32

TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS d. F=sx×dydz=sx×d. A=E×emax/zmax×z×d. A sx (y, z) My z. P y. P P(y, z) s. P, x d. A=dy×dz y d. M=z×d. F=z×sx×d. A=z×E×e×d. A= =z×E×emax/zmax×z×d. A= =E×emax/zmax×z 2×d. A Mbelső=∫d. M=∫E×emax/zmax×z 2×d. A= =E×emax/zmax×∫z 2×d. A= E×emax/zmax×Jy=smax/zmax×Jy Mbelső= Mkülső smax= Mkülső/Jy× zmax smax/zmax×Jy= Mkülső s=smax/zmax ×z z A P pontban ébredő s feszültségből származó elemi erő nyomatékát felírva és a teljes felületen összegezve a külső nyomatékot kell kapnunk. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 33

TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS My sz y= semleges tengely x z A tiszta egyenes hajlítással terhelt keresztmetszetben tehát a normálfeszültségek a nyomatékkal egyenes arányban, a keresztmetszet (nyomatékvektorral megegyező állású semleges tengelyére vett) inercianyomatékával fordított arányban alakulnak, és a vizsgált pontnak csak a semleges tengelytől mért z távolságától függnek (egyenes arányban). s(z)= Mkülső/Jy× z (Jy: főirány!) s(x, y, z)= Mkülső (x) /Jy (x) × z SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 34

TISZTA (EGYENES) HAJLÍTÁS dq h dz dx SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. dx A tiszta egyenes hajlítás esetében feltételeztük a sík keresztmetszetek és a tengelylyel párhuzamos elemi szálak merőlegességének állandóságát. Emiatt a pontok környezetében felvett elemi hasábokban szögtorzulás nem léphet fel, azaz a txz feszültség a keresztmetszet minden pontjában zérus. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 35

KÉPLÉKENY TEHERBÍRÁSI TÖBBLET s-e diagram felső szál emax e ábra emax s-e diagram SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. Ha egy igénybevételi állapot a keresztmetszetben változó nagyssábras ságú feszültségeket ébreszt (hajlítás, nyírás, csavarás), a legnagyobb feszültségű pontok képlékeny alakváltozása a keresztmetszet elmozdulásának növelésével újabb pontokban-elemi szálakban teszi lehetővé a maximális s =s szilárdság elérését és ezzel a keresztmetszetet többletigénybevétel felvételére teszi alkalmassá. 1, felső alsó szál 2, felső KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 36

KÉPLÉKENY TEHERBÍRÁSI TÖBBLET A lokális képlékeny alakváltozásokat megengedő teherbírásnövelő folyamat (elvileg) addig folytatható, míg a keresztmetszet minden pontja, elemi szála eléri a képlékenységi határt, hiszen ekkor már a keresztmetszetelmozdulások további igénybevételnövekedés nélkül is folytatódnak, a keresztmetszet képlékeny teherbírása (is) kimerült. Ehhez az állapothoz a keresztmetszet derékszögű elfordulása tartozna, tehát ez az (elvi) állapot a gyakorlatban sohasem érhető el! SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 37

KÉPLÉKENY NYOMATÉKBÍRÁS Ha a mértékadó hajlítónyomaték nem éri el a rugalmas határértéket, a keresztmetszetben ébredő normálfeszültségek a magasság mentén (a z koordináta függvényében) lineárisan változnak, de még maximális értékük is kisebb az anyagra jellemző rugalmas határfeszültségnél. Ha a mértékadó hajlítónyomaték a rugalmas határnyomatékkal megegyező értékű, a keresztmetszetben ébredő normálfeszültségek a magasság mentén (a z koordináta függvényében) lineárisan változnak, és maximális értékük az anyagra jellemző rugalmas határfeszültséggel (az anyag folyási határszilárdságával) azonos. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 38

KÉPLÉKENY NYOMATÉKBÍRÁS Ha a mértékadó hajlítónyomaték a rugalmas határnyomatékot meghaladja, a keresztmetszet azon (szélső) elemi szálai, amelyekben a megnyúlásösszenyomódás már elérte a folyási határt, a feszültség változatlan értéke mellett tovább alakváltoznak. Az ennek folytán kialakuló keresztmetszetelfordulás-növekmény a belső elemi szálak (rugalmas) feszültségeit is megnöveli. A belső erő-növekmény (egyre csökkenő erőkarral) a keresztmetszet nyomatéki ellenállását is növeli. Határesetben már minden elemi szál képlékeny állapotba került, és a keresztmetszet nem tud további nyomatékot felvenni, képlékeny csuklóvá alakul. A képlékeny határállapotban a keresztmetszet pontjaiban csak a srugalmas, határ léphet fel. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 39

TÉGLALAP KM. KÉPLÉKENY NYOMATÉKI TÖBBLETE s rugalmas, határ RUGALMAS ÁLLAPOT M krugalmas h s rugalmas, határ Nrugalmas DNképlékeny DHképlékeny KÉPLÉKENY TÖBBLET krugalmas h kképlékeny Hrugalmas SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 40

TÉGLALAP KM. KÉPLÉKENY HATÁRNYOMATÉKA A keresztmetszet teljes képlékeny határnyomatéka: s rugalmas, határ M Nteljes kteljes h Hteljes A képlékeny többlet a nyomaték növekedésének függvényében egyre lassabban nő, a modellünkben bemutatott képlékeny határállapotot a keresztmetszet csak végtelen nagy alakváltozások árán érheti el. A gyakorlati szerkezetekben tehát ez az elméleti teherbírási tartalék nem érhető el. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 41

KÉPLÉKENY CSUKLÓ F rugalmas állapot MH, rug F+DF képlékeny alakváltozás a középkeresztmetszetben MH, rug +DMképl A keresztmetszetben a képlékeny teherbírási növekmény lokális folyásimorzsolódási hatás révén mobilizálódik, és visszafordíthatatlan többlet alakváltozást okoz a szerkezetben. Képlékeny nyomatéki határállapot elérésekor a keresztmetszet (képlékeny) csuklóvá alakul, a további terheléssel szembeni nyomatéki merevsége zérusra csökken, így a statikailag határozott szerkezeteink teherbírása megszűnik, a szerkezetek mozgási mechanizmussá alakulnak. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 42

KÉPLÉKENY TARTALÉK A statikailag határozatlan szerkezeteknek legalább egy külső vagy belső többletmerevsége van, így egy keresztmetszet nyomatéki merevségének elvesztése csak eggyel csökkenti a szerkezet belső merevségét, de a szerkezet állékony, teherbíró marad. Az ilyen szerkezetek a képlékeny csukló(k) kialakulása után is terhelhetők, mégpedig a képlékeny csuklót valós csuklóként megjelenítő statikai vázon. A szerkezet csak akkor tekintendő tönkrementnek, ha a képlékeny csuklók száma meghaladja a statikai határozatlanság fokszámát. q Mrugalmas -Mrugalmas, határ +Mrugalmas, határ Dq DMképlékeny SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 43

KÜLPONTOSAN NYOMOTT KM. KÉPLÉKENY TARTALÉKA M znyomott snyomó M snyomóN h shúzóM N b snyomó M Ha a keresztmetszetünket csak hajlítónyomaték terheli, akkor a képlékeny határállapotban a húzott és a nyomott felületek területének meg kell egyeznie, azaz a képlékeny határállapothoz tartozó hajlítási semleges tengely a húzott és a nyomott felületek területazonossá-ga alapján számítható. Hajlítónyomaték és normálerő együttes működése esetén az egyensúlyi egyenletek a következőképpen alakulnak: snyomóN shúzó semleges tengely SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. A nyomatéki egyenletet a szelvény alsó szélső szálára felírva: KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 44

KÜLPONTOSAN NYOMOTT KM. KÉPLÉKENY SZÁMÍTÁSA Mkülső=Mbelső Nkülső=Nbelső s húzó s nyomó SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. semleges tengely A két egyenletből két ismeretlen határozható meg. A képlékeny határállapotban tehát ismert normálerőhöz meghatározhatjuk a nyomott zóna magasságát és az egyidejűleg működtethető nyomatékot, vagy fordítva: ismert nyomatékhoz meghatározhatjuk a nyomott zóna magasságát és az egyidejűleg működtethető normálerőt. Ha a keresztmetszetben mind a normálerő, mind a nyomaték ismert, akkor nem biztos, hogy a keresztmetszetben kialakul a képlékeny határállapot. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 45

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A hajlítással egyidejűleg működő nyírás esetén a keresztmetszeti síkok és a tengellyel párhuzamos elemi szálak merőlegessége NEM tartható, hiszen akkor nem ébredhetne nyírófeszültség, ami viszont a nyíróerő léte miatt nem lehetséges. Ennek ellenére (a tapasztalatok szerint) a nyomatékból származó normálfeszültségek értékének és eloszlásának meghatározására jó közelítéssel elfogadható a tiszta egyenes hajlítás összefüggése. Ugyancsak elfogadható az a feltevés, hogy a hajlítónyomatékból CSAK normálfeszültség, a nyíróerőből CSAK nyírófeszültség keletkezik. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 46

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS dx sx (y, z) x My(x+dx) y. P s. P, x z z. P P(y, z) y d. A=dy×dz A tartó x koordinátájú keresztmetszetében működő igénybevételek: My(x) és Tz(x). Az x+dx koordinátájú metszetben működő igénybevételek: My(x+dx) és Tz(x+dx). A tartószeletre a véglapokon működő nyomatékok nem egyenlítik ki egymást, és így az ezekből származó normálfeszültségek sem. Az x irányú egyensúlyt csak a szelet belsejében (a z normálisú síkon) ébredő tzx nyírófeszültségek révén biztosítható. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 47

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A tartó x koordinátájú keresztmetszetében működő igénybevételek: My(x) és Tz(x). Az x+dx koordinátájú keresztmetszetben működő igénybevételek: My(x+dx) és Tz(x+dx). Az My(x) és a Tz(x) függvényeket sorba fejtve, az elsőfokú tagokat megtartva: x x+dx dx x F(x) F közelítő, 0 fok (x+dx)= F közelítő, 1 fok (x+dx)= F(x)+F’(x)×dx F(x+dx) egy F(x) függvény sorbafejtésének 0 adfokú és elsőfokú tagjai SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 48

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A fentiek szerint a tartó dx vastagságú szeletére az x koordinátájú (vég)keresztmetszetben –My(x), az x+dx koordinátájú keresztmetszetben +My(x)+d. My(x) nyomaték működik. Ennek alapján a tartó dx vastagságú szeletének két oldalán működő s normálfeszültségeknek az My(x) nyomatékból származó része x irányú vetületben kiegyenlíti egymást, x irányú kiegyenlítetlen erő csak az x+dx koordinátájú metszetet terhelő d. My nyomatéki többletből származik. Ha a tartószeletet egy z koordinátájú magasságban vízszintesen (is) elvágjuk, a megmaradó (alsó vagy felső) elemre felírva a SFix=0 vetületi egyenletet, a d. My nyomatékból származó kiegyenlítetlen normálfeszültségeket csak a vízszintes metszetben keletkező nyírófeszültségek kompenzálhatják. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 49

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS d. My x sx (y, z) y. P z a dx vastagságú szeletet a vizsgálandó pont magasságában vízszintesen (is) elvágjuk: by x d y T’x=∫∫ tzx(x, y)dx×d tzx(x, y)y x A’ SFix=0 sx (y, z) N’x=∫∫ sx(y, z)dy×dz A s feszültségek itt már csak a nyomaték növekményéből származnak, d. M/dx pedig a (negatív) nyíróerőt adja. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 50

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS by x d T’x=∫∫ tzx(x, y)dx×d tzx(x, y)y x A’ sx (y, z) N’x=∫∫ sx(y, z)dy×dz A t feszültségekre a vízszintes síkú metszeten a keresztirányú eloszlást a szimmetria miatt, a hosszirányú eloszlást a határátmenetben 0 -hoz tartó vastagság miatt konstansnak tekinthetjük. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. A hajlított-nyírt tartó egy pontjában a nyíróerőből származó és vele párhuzamos vektorú nyírófeszültség tehát egyenesen arányos a T nyíróerővel, az „elcsúszni akaró rész”-nek a hajlí-tási semleges tengelyre vett statikai nyomatékával, fordítottan arányos a keresztmetszeti síkidomnak a hajlítási semleges tengelyre vett inercianyomatékával és a keresztmetszetnek a pontban, a hajlítási tengellyel párhuzamosan mért szélességével. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 51

FERDE HAJLÍTÁS Ha a keresztmetszetre működő eredő hajlítónyomaték vektora nem főirányban áll, a keresztmetszet igénybevételét ferde hajlításnak nevezzük. 1. alapeset: a keresztmetszet szimmetrikus, de állása miatt a terhelés síkja nem főirányban áll SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. 2. alapeset: a keresztmetszet szimmetrikus, de mindkét főirány síkjában terhelt KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 3. alapeset: a keresztmetszet nem szimmetrikus, a teher az oldalélekkel párhuzamosan működik 52

FERDE HAJLÍTÁS Ha a keresztmetszetre működő eredő hajlítónyomaték vektora nem főirányban áll, a keresztmetszet igénybevételét ferde hajlításnak nevezzük. a terhelés síkja 1. alapeset: a keresztmetszet szimmetrikus, de állása miatt a terhelés síkja nem főirányban áll SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. 2. alapeset: a keresztmetszet szimmetrikus, de mindkét főirány síkjában terhelt KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK a terhelés síkja 3. alapeset: a keresztmetszet nem szimmetrikus, a teher az oldalélekkel párhuzamosan működik 53

FERDE HAJLÍTÁS Ha a keresztmetszet tehetetlenségi főirányai ismertek, a nyomatékvektor mindig felbontható főirányokba eső a se összetevőkre, amelyek küM m y leg y=u=1 lön-külön egyenes hajlításes te ként kezelhetők. A keresztx ng Mz ely Meredő metszet pontjaiban a két egyenes hajlításból származó normálfeszültségeket skalárisan összegezve kapjuk a z=v=2 a semleges tengely átmegy a súlyponton, ferde hajlításból adódó norde nem esik egybe a nyomatékvektorral! málfeszültség-eloszlást. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 54

FERDE HAJLÍTÁS Ha a keresztmetszet csak az egyik tehetetlenségi főirányban álló nyomaték terheli, a semleges tengely a nyomatékvektorral egybe. My y=u=1 esik, a normálfeszültségek a a semleges tengely semleges tengellyel párhux zamos metszetekben konstans értékűek, a semleges tengelyre merőleges metszetekben lineárisan változ=v=2 a semleges tengely átmegy a súlyponton, zó értékűek lesznek. és egybeesik a nyomatékvektorral! SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 55

FERDE HAJLÍTÁS a semleges tengely Ha a keresztmetszet csak az egyik tehetetlenségi főirányban álló nyomaték terheli, a semleges tengely a nyomatékvektorral egybey=u=1 esik, a normálfeszültségek a semleges tengellyel párhux zamos metszetekben kons. Mz tans értékűek, a semleges tengelyre merőleges metszetekben lineárisan változ=v=2 a semleges tengely átmegy a súlyponton, zó értékűek lesznek. és egybeesik a nyomatékvektorral! SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 56

FERDE HAJLÍTÁS Ha a keresztmetszetet mindkét tehetetlenségi főirány körül terheli nyomaték, akkor a két (külön-külön egyea se nes hajlításként kezelt) nyo. M m y leg y=u=1 matékból származó normáles te feszültségeket pontonként x ng Mz ely Meredő rendre előjelhelyesen öszszadva rajzolódik ki a keresztmetszet normálfeszültségeinek eloszlása. z=v=2 a semleges tengely átmegy a súlyponton, de nem esik egybe a nyomatékvektorral! a feszültségvektorok végpontjai egy, a súlyponton átmenő ferde síkra illeszkednek! SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 57

FERDE HAJLÍTÁS+NYÍRÁS Ha a keresztmetszetet csak az egyik szimmetriatengelyben txy, P = txy = 0! álló nyíróerő terheli, a nyírófeszültségek a(z egyidejűleg működő nyomatékhoz tartozó) semleges tengellyel páry=u=1 huzamos metszetekben konsx Tz P tans értékűek, a semleges tengelyre merőleges metszetektxz, P ben (téglalap keresztmetszet z=v=2 a parabola csak az eloszlást mutatja, a nyí- esetén) parabolikusan váltorófeszültségek a nyíróerővel párhuzamosak zó értékűek lesznek. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 58

FERDE HAJLÍTÁS+NYÍRÁS Ha a keresztmetszetet csak az egyik szimmetriatengelyben álló nyíróerő terheli, a nyírótxz, P = txz= 0! feszültségek a(z egyidejűleg működő nyomatékhoz tarto. Ty zó) semleges tengellyel páry=u=1 huzamos metszetekben konsx P tans értékűek, a semleges tentxy, P gelyre merőleges metszetekz=v=2 ben (téglalap keresztmetszet a parabola csak az eloszlást mutatja, a nyí- esetén) parabolikusan váltorófeszültségek a nyíróerővel párhuzamosak zó értékűek lesznek. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 59

FERDE HAJLÍTÁS+NYÍRÁS Ha a keresztmetszetet mindkét szimmetriatengelyben txy, PTz = nyíróerő terheli, a nyírófe. T z txy = 0! szültségek pontonként a küT y txz, P = lön-külön meghatározott nyíT y Ty txz = 0! rófeszültségek vektoriális y=u=1 összegzésével határozhatók x Tz meg. (Ha a keresztmetszet P txy, P határoló élei a nyíróerőkkel t x, P t z=v=2 xz, P párhuzamosak, keresztirányú a parabola csak az eloszlást mutatja, a nyíró- nyírófeszültség egyik nyírófeszültségek a nyíróerőkkel párhuzamosak erőből sem származik. ) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 60

FERDE HAJLÍTÁS y. P u. P Ha a keresztmetszeti síkidom tehetetlenségi főirányai az oldalélekkel v. P Mv z. P nem párhuzamosak, egyetlen (akár M y y vagy z tengelyű) nyomaték is fera M u x u=1 de hajlításként kezelendő. Az u-v koordináták az y-z koordinátákból a fenti transzformációval előjelhelyesen kaphatók. z y=v P (u = y × cos a + z × sin a; v = -y × sin a +z × cos a) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 61

FERDE HAJLÍTÁS y. P u. P Ha a keresztmetszeti síkidom tehetetlenségi főirányai az oldalélekkel v. P Mv z. P nem párhuzamosak, egyetlen (akár M y y vagy z tengelyű) nyomaték is fera M u x u=1 de hajlításként kezelendő. Az u-v koordináták az y-z koordinátákból a fenti transzformációval előjelhelyesen kaphatók. z y=v P (u = y × cos a + z × sin a; v = -y × sin a +z × cos a) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 62

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS My y Tz txy txz tx txy z tx txz by/2 ty by/2 A Ty nyíróerőből keletkező nyírófeszültségek meghatározhatóságához az szükséges, hogy az y tengely a keresztmetszet szimmetriatengelye legyen. Ez esetben a nyíróerővel megegyező állású txy nyírófeszültség: SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. (a szimmetria miatt a txz a pont y koordinátájának nem függvénye!) KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 63

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS My y Tz txy txz tx txz by/2 ty by/2 txy A keresztmetszet kerülete mentén az érintősíkokban (a „valami és a semmi határfelületén”) nyírófeszültség nem ébredhet. Emiatt a keresztmetszeti eredő nyírófeszültségek a kerületi pontokban érintőirányúak lesznek. Ez azonban csak úgy lehetséges, ha a Ty nyíróerő irányára merőleges nyírófeszültségek is ébrednek: SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. (a szimmetria miatt a txy a pont y koordinátájának lineáris függvénye!) KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 64

bz/2 HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS Ty Mz txy z tx bz/2 y A Ty nyíróerőből keletkező nyírófeszültségek meghatározhatóságához az szükséges, hogy az y tengely a keresztmetszet szimmetriatengelye legyen. Ez esetben a nyíróerővel megegyező állású txy nyírófeszültség: txz tz (a szimmetria miatt a txy a pont z koordinátájának nem függvénye!) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 65

bz/2 HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS Ty txy z tx bz/2 Mz y txz tz A keresztmetszet kerülete mentén az érintősíkokban (a „valami és a semmi határfelületén”) nyírófeszültség nem ébredhet. Emiatt a keresztmetszeti eredő nyírófeszültségek a kerületi pontokban érintőirányúak lesznek. Ez azonban csak úgy lehetséges, ha a Ty nyíróerő irányára merőleges nyírófeszültségek is ébrednek: (a szimmetria miatt a txy a pont z koordinátájának lineáris függvénye!) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 66

FERDE HAJLÍTÁS ÉS NYÍRÁS y Tz z Ha mind az y, mind a z tengely Ty szimmetriatengely, mindkét tengely mentén működhet keresztmetszeti nyíróerő. A kerületi txy pontokban a Tz és a Ty hatására txy tx ébredő eredő nyírófeszültségek txz vektora egyenesbe esik, txz értékük tehát skalárisan (is) tx összegezhető. (az ábra a keresztmetszet negyedét mutatja!) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 67

FERDE HAJLÍTÁS ÉS NYÍRÁS Ty y Ha mind az y, Tz mind a z tengely txz szimmetriatengely, mindtxy tx két tengely mentén működhet txy keresztmetszeti nyíró-erő. A belső pontokban a T és a T hatására ébredő t z y z tx xz eredő nyírófeszültségek vektora nem egyenesbe esik, értékük tehát csak vektoriálisannegyedét összegezhető. (az ábra a keresztmetszet mutatja!) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 68

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A hajlított-nyírt tartók viselkedése kapcsán bemutatjuk, hogy a tartómagasság/támaszköz arány hogyan befolyásolja a feszültségek alakulását, meddig alkalmazhatók a gerendaszerkezetekre levezetett feszültségszámítási eljárások. A hajlított-nyírt gerendában az alakváltozás az alsó és a felső szélső szálban gyakorlatilag azonos görbületű, a keresztmetszetek az alakváltozás után is síkok maradnak. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 69

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS Az ábrában a színek határvonalai az azonos normálfeszültségű pontokat mutatják. A hajlított-nyírt gerendában a keresztmetszeti normálfeszültségek változása a tartó közbenső szakaszán a legerősebb. (Az ábra technikai okokból egy (gerendára jellemző geometriai arányokkal rendelkező) kéttámaszú tárcsa metszeterőinek eloszlását mutatja. A támaszok feletti „elszíneződések” az alátámasztásokból származó helyi, z irányú feszültségek lokális hatását jelzik. ) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 70

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS Az ábrában a színek határvonalai az azonos nyírófeszültségű pontokat mutatják. A hajlított-nyírt gerendában a keresztmetszeti nyírófeszültségek változása a tartóvégek közelében a legerősebb. (Az ábra technikai okokból egy (gerendára jellemző geometriai arányokkal rendelkező) kéttámaszú tárcsa metszeterőinek eloszlását mutatja. A támaszok feletti „elszíneződések” az alátámasztásokból származó helyi, z irányú feszültségek lokális hatását jelzik. ) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 71

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A hajlított-nyírt gerendában a normálfeszültségek a magasság mentén lineárisan, a hossz mentén a nyomatéki ábrának megfelelően (itt: parabolikusan) alakulnak. (Az ábra technikai okokból egy (gerendára jellemző geometriai arányokkal rendelkező) kéttámaszú tárcsa metszeterőinek eloszlását mutatja, az irányok emiatt szokatlanok. ) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 72

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A hajlított-nyírt gerendában a nyírófeszültségek a magasság mentén parabolikusan, a hossz mentén a nyíróerő ábrának megfelelően (itt: lineárisan) alakulnak. (Az ábra technikai okokból egy (gerendára jellemző geometriai arányokkal rendelkező) kéttámaszú tárcsa metszeterőinek eloszlását mutatja, az irányok emiatt szokatlanok. Ugyancsak emiatt látható a tartóvégeknél az egy ponthoz kötött nyíróerőváltozás helyett a metszeterőkrefeszültségekre jellemző átmenetes változás. ) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 73

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A hajlított-nyírt gerendában a normálfeszültségek a magasság mentén lineárisan, a hossz mentén a nyomatéki ábrának megfelelően (itt: lineárisan) alakulnak. (Az ábra technikai okokból egy (gerendára jellemző geometriai arányokkal rendelkező) kéttámaszú tárcsa metszeterőinek eloszlását mutatja, az irányok emiatt szokatlanok. A koncentrált erő helyén a lokális z irányú feszültség hatása jelenik meg. ) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 74

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A hajlított-nyírt gerendában a nyírófeszültségek a magasság mentén parabolikusan, a hossz mentén a nyíróerő ábrának megfelelően (itt: konstansként) alakulnak. (Az ábra technikai okokból egy (gerendára jellemző geometriai arányokkal rendelkező) kéttámaszú tárcsa metszeterőinek eloszlását mutatja, az irányok emiatt szokatlanok. Ugyancsak emiatt látható a tartóvégeknél és a koncentrált erő helyén az egy ponthoz kötött nyíróerőváltozás helyett a metszeterőkre-feszültségekre jellemző átmenetes változás. ) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 75

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A tartómagasságot L/10 -ről L/2 -re növelve a tartó (most már faltartó, vagy tárcsa) alsó és felső szálában látahtóan eltérő a görbület, és emiatt várható, hogy a keresztmetszetek sem maradhatnak síkok. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 76

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A kéttámaszú faltartóban a az alakváltozás az alsó és a felső szélső szálban gyakorlatilag azonos görbületű, a keresztmetszetek az alakváltozás után is síkok maradnak. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 77

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 78

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A kéttámaszú faltartóban a keresztmetszeti normálfeszültségek a magasság mentén nem lineárisak, a támaszokhoz közeledve a keresztmetszet semleges tengelye egyre alacsonyabbra kerül. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 79

HAJLÍTÁS ÉS EGYIDEJŰ NYÍRÁS A kéttámaszú faltartóban a keresztmetszeti nyírófeszültségek a magasság mentén nem szimmetrikusak: a támaszokhoz közeledve a maximumhely egyre alacsonyabbra kerül. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 80

TISZTA CSAVARÁS Mcs df r x z dx y g A tartó tengelyével párhuzamos állású nyomaték által a keresztmetszetben kialakuló, a keresztmetszetet a rúd tengelye körül elcsavarni akaró igénybevételi állapotot csavarásnak nevezzük. Ha a csavarónyomaték egyedüli keresztmetszeti igénybevétel, tiszta csavarásról beszélünk. A csavarási hatás centrális szimmetriája miatt a csavarásból származó feszültségek vizsgálatát először körszimmetrikus tulajdonságú keresztmetszeteken végezzük el. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 81

KÖRSZIMMETRIKUS SZELVÉNY CSAVARÁSA A folytonosság, a megelőző-követő keresztmetszetek illeszkedése csak akkor biztosítható, ha a csavarónyomatékból származó nor-málfeszültség a teljes keresztmetszetben azonosan zérus. A Bernoulli-Navier hipotézisnek az első fele, amely szerint a kereszt-metszetek a bekövetkező alakváltozások után is síkok maradnak, a csavarás esetében is igaz. A csavarásból tehát a keresztmetszetben csak nyírófeszültség keletkezik, azaz egy dx vastagságú lamella vastagsága az elcsavaro-dás nyomán nem változik. Az anyag folytonossága, szakadás- és torlódásmentessége a csatlakozó metszetekben csak akkor áll fenn, ha a t feszültségnek nincs sugárirányú összetevője, azaz a csava-rásból származó nyírófeszültség vektora - a körszimmetrikus keresztmetszetekben - mindig érintő irányú. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 82

KÖRSZIMMETRIKUS SZELVÉNY CSAVARÁSA Mcs df r x z dx r×df = g×dx g=r×(df/dx) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. y Az elcsavarodásból származó g nyírási szögtorzulás mértéke a pontnak a ten-gelytől mért távolságával arányos, az-az a g szögtorzulásból számítható tx nyírófeszültség az r sugár lineáris függvénye lesz. A dx vastagságú lamellán a kerület mentén a df elcsavarodásból származó (ívmenti) eltolódás meg fog egyezni a hossz mentén a g szögtorzulásból adódó eltolódással. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 83

KÖRSZIMMETRIKUS SZELVÉNY CSAVARÁSA A csavarásból a körszimmetrikus keresztmetszetű rúdon keletkező fajlagos elcsavarodás tehát az Mcs csavarónyomatékkal egyenesen, a G×J○ csavarómerevséggel pedig fordítottan arányos. Felhasználva a nyírófeszültségre levezetett tx=G×g=G×r×(df/dx) összefüggést, és ebből kifejezve tx-et SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 84

CSAVARÁS A GERENDAKAPCSOLATOKBAN Mcs, A Mcs, B F Mcs A fióktartó (konzol) végkeresztmetszetén működő F erőt a főtartó (gerenda) csavarónyomatékokkal (emellett nyíróerőkkel és hajlítónyomatékokkal is) egyensúlyozza. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK F 85

VÉKONYFALÚ ZÁRT SZELVÉNY CSAVARÁSA (BREDT-KÉPLET) K középvonal da x Mx=Mcs da v 2 t 2 r(a) t 1 dx v 1 ds=r×da SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. A fal vékonysága miatt a v falvastagság mentén a nyírófeszültségeket egyenletes eloszlásúnak tekinthetjük, így: t 1×v 1×dx=t 2×v 2×dx, azaz a vékonyfalú zárt szelvény csavarása során a keresztmetszetben ébredő (a falvastagság mentén állandó) nyírófeszültségek és a falvastagságok szorzata (a nyírófolyam) állandó. t 1×v 1=t 2×v 2=t×v KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 86

VÉKONYFALÚ ZÁRT SZELVÉNY CSAVARÁSA K középvonal x da Mx=Mcs A falvastagságok felezőpontjait összekötő görbén mért ds hosszúságú szakaszon ébredő nyírófeszültségek által az x tengelyre kifejtett elemi nyomaték körintegrálásával a teljes keresztmetszet nyírófeszültségeinek nyomatékát kapjuk, aminek a terhelő csavarónyomatékkal kell megegyeznie. d. Mcs=d. Mx=r×(t×v)×ds=(t×v)×r 2×da Mcs=Mx= r×(t×v)×ds=2×(t×v)× r×ds/2=2×(t×v)×AK Mcs=(t×v)× r 2×da SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 87

VÉKONYFALÚ ZÁRT SZELVÉNY CSAVARÁSA AK A nyírófeszültségek elemi csavarónyomatékait az a teljes 2 p tartományán integrálnunk kell, de ennek során a (t×v) szorzat állandóként kiemelhető, és az integrálkifejezés a K középvonal által határolt terület nagyságát adja. Mcs=Mx= r×(t×v)×ds=2×(t×v)× r×ds/2=2×(t×v)×AK Mcs=Mx=t×v× 2 AK tx=Mcs/(2 AK×vmin) SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 88

VÉKONYFALÚ ZÁRT SZELVÉNY CSAVARÁSA A vékonyfalú zárt szelvény csavarásából származó nyírófeszültségek számítási összefüggése igen egyszerű, de tudnunk kell, hogy közelítés, hiszen a falvastagság mentén állandó nyírófeszültségekkel számol, pedig a csavarási elcsúszás (az elcsavarodás) a tengelytől mért távolsággal lineárisan növekszik. A közelítéssel elkövetett hiba a falvastagság növekedésével nő. Ugyanakkor azt is tudjuk, hogy a zárt szelvény csavarási ellenállása, csavarómerevsége igen nagy, így a csavarónyomatékokból általában kis értékű nyírófeszültségek keletkeznek. A közelítéssel elkövetett hiba tehát egy (relatíve) kicsiny feszültségnek (az esetleg magas százalékos) hányadaként is a teljes nyírófeszültség abszolút értékében (az egyéb hatásokból származó nyírófeszültségekkel összevetve) nem okoz nagy hibát. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 89

VÉKONYFALÚ ZÁRT SZELVÉNY CSAVARÁSA Ide kívánkozik a mérnöki számításoknak egy fontos elve: a pontos eredménytelenségnél hasznosabb a pontatlan eredmény SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 90

ZÁRT SZELVÉNY CSAVARÁSA A BREDT-képlet lehetővé teszi bonyolult szekrénytartók csavarási (nyíró-) feszültségeinek egyszerű meghatározását, igaz, hibával terhelten. Az alternatíva az, hogy vagy nem tudjuk ezeket a feszültségeket kiszámítani, vagy igen bonyolult matematikai apparátust kell alkalmaznunk. A közelítő számítás révén kapott érték hibáját megbecsülve szerkezeteink megfelelősége egyszerűen és kielégítő pontossággal ellenőrizhető. AK Mcs A szekrénytartó valós falvastagsága mellett a hiba akár 50 % is lehet, de megfelelő „rátartással” a szerkezet jól kezelhető SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 91

A BREDT-KÉPLET HIBABECSLÉSE Körszimmetrikus szerkezeten alkalmazva a pontos és a BREDTféle feszültségszámítást, a falvastagság függvényében adhatunk becslést a hasonló középvonal-területű, de nem szabályos idomok feszültségértékeinek hibájára. PONTOS számítás: a nyírófeszültség a falvastagság mentén lineáris SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KÖZELÍTŐ számítás: a nyírófeszültség a falvastagság mentén állandó KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 92

TÉGLALAP KM-Ű RÚD CSAVARÁSA A derékszögű négyszög keresztmetszetek sarokpontjaiban a dualitás miatt keresztmetszeti nyírófeszültség sem az y, sem a z irányban nem ébredhet. Ennek megfelelően a sarokpontokban nyírási szögtorzulás sem keletkezhet. Ugyanakkor a keresztirányban kivágott dx vastagságú lamellán a csavarónyomatékot csak a keresztmetszet síkjában ébredő, tx nyírófeszültségek képesek egyensúlyozni. Másként fogalmazva: a csavarónyomaték (közvetlenül) a keresztmetszet síkjában okoz alakváltozásokat, tehát itt kell keletkezniük az alakváltozásokhoz igazodó fajlagos belső erőknek, feszültségeknek is. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 93

TÉGLALAP KM-Ű RÚD CSAVARÁSA A téglalapszelvényben a z tengellyel párhuzamos oldalélek belső pontjaiban a dualitás már nem tiltja a txz nyírófeszültségek létét, így e vonal mentén kell számítanunk z irányú nyírófeszültségekre. A feszültségekkel összefüggő, az x-z síkban kialakuló nyírási szögtorzulás viszont csak a pontok hossztengely irányú eltolódásai révén valósulhat meg, azaz a Bernoulli-Navier hipotézisnek már az első fele (a keresztmetszetek a bekövetkező alakváltozások után is síkok maradnak) sem tartható. A nem körszimmetrikus szelvények csavarása során a keresztmetszet pontjaiban hosszirányú, rúdtengely-irányú alakváltozások is létrejönnek, a keresztmetszet öblösödik. Ha a rúdvégek megtámasztottsága olyan (merev), hogy e hosszirányú alakváltozások kialakulását meg tudja akadályozni, gátolt csavarásról beszélünk, A gátolt csavarás esetében x irányú nyúlások nem ébrednek, a keresztmetszet sík marad, nem torzul, viszont az x irányú nyúlások-összenyomódások gátlása miatt a keresztmetszetben x irányú, azaz normálfeszültségekkel is számolnunk kell. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 94

TÉGLALAP KM-Ű RÚD CSAVARÁSA txz. Mx= 0! txz txy. Mx= 0! Mcs x y h txy z Az ábrán a téglalapszelvény kerülete mentén az Mx csavarónyomatékból ébredő nyírófeszültségek alakulását mutatjuk be. Megjegyezzük, hogy a nyírófeszültségek a keresztmetszet síkjában keletkeznek, a berajzolt görbék csak a feszültségek nagyságának változását jelzik. b SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 95

TÉGLALAP KM-Ű RÚD CSAVARÁSA A téglalapszelvény csavarása során a hosszabbik oldal közép -pontjában keletkező maximális nyírófeszültség értéke a következő közelítő összefüggéssel határozható meg: Ebben az esetben az A-B szakaszon kialakuló elcsavarodás szögét a következő kifejezéssel közelíthetjük: SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 96

TÉGLALAP KM-Ű RÚD CSAVARÁSA Ha a szelvény kisebbik mérete a nagyobbikhoz képest lényege -sen (nagyságrenddel) kisebb, a b/h a zérushoz közelít, így a (mindig a hosszabbik oldal felezőpontjában keletkező) maximális nyírófeszültség: Ebben az esetben az A-B szakaszon kialakuló elcsavarodás szögét a következő kifejezéssel közelíthetjük: SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 97

TÉGLALAP KM-Ű RÚD CSAVARÁSA A b 3×h/3 kifejezést mind a nyírófeszültség, mind az elcsavarodás képletében megtalálhatjuk. Ezt a kifejezést, amely funkcióját tekint-ve a hajlított keresztmetszet tehetetlenségi nyomatékával, ill. a csavart körszimmetrikus szelvény poláris inercianyomatékával egyezik meg, keresztmetszet csavarási ellenállóképességének, Jcs csavarási inerciájának nevezzük. A csavarási inercia felhaszná-lásával a maximális nyírófeszültség, ill. az állandó csavaróigény-bevétel esetén az A -B szakaszon kialakuló elcsavarodás összefüg-gése a következőkre egyszerűsödik: SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 98

TÉGLALAP KM-Ű RÚD CSAVARÁSA Vegyük észre, hogy a csavaróinercia közelítő összefüggésében mindig a rövidebbik oldal van a harmadik hatványon, a maximális nyírófeszültség viszont mindig a hosszabbik oldalak felezőpontjaiban keletkezik. Összetett szelvények csavarása esetén a keresztmetszetet téglalap-elemekre bontva határozhatjuk meg a csavaróinerciát. Ne feledjük, a közelítő összefüggésben is mindig a téglalap-elem rövidebbik oldala van a harmadik hatványon, függetlenül az elem állásától. A mérnöki gyakorlatban az ipari termékként kapható rúdszelvények keresztmetszeti jellemzői táblázatosan hozzáférhetők, a szerkezetszámító programok pedig tetszőleges termék vagy általunk felvett síkidom-elem felhasználásával képesek bármilyen összetett szelvény keresztmetszeti jellemzőit meghatározni. Végül jegyezzük meg, hogy az elemekből összeállított zárt szelvény csavaróinerciája mindig sokszorosa az ugyanazon elemekből összeállított, de nem zárt szelvény csavarási ellenállásának. Ennek megfelelően ha egy rúdban csavaróigénybevételekre számítanunk kell, keresztmetszeti kialakításként igen erősen ajánlott zárt szelvényt alkalmazni. SZÉCHENYI EGYETEM - Agárdy Gyula 2006. KERESZTMETSZETI FESZÜLTSÉGEK 99