Raunarstvo i informatika I razred Raunarstvo i informatika

Računarstvo i informatika I razred

Računarstvo i informatika Brojni sistemi Matematičke osnove predstavljanja podataka

Šta je opisano u ovoj lekciji: n n n Podela brojnih sistema Dekadni sistem kodiranja Binarni sistem kodiranja Oktalni sistem kodiranja Heksadecimalni sistem kodiranja 3

Brojni sistemi broj ≠ cifra Broj je vrednost, a cifra je samo zapis te vrednosti. Brojevi se kodiraju (predstavljaju) pomoću cifara. Brojni sistem predstavlja način kodiranja. 4

Podela brojnih sistema Pozicioni Nepozicioni Primer nepozicionog brojnog sistema je RIMSKI brojni sistem. Primer pozicionog brojnog sistema je DEKADNI (decimalni) brojni sistem. 5

Pozicioni brojni sistemi Svaki pozicioni brojni sistem sadrži uređen skup brojnih vrednosti, koje se dobijaju kao zbir proizvoda odgovarajućih cifara i njihovih pozicionih vrednosti. Elementi pozicionog brojnog sistema su: Baza brojnog sistema n Skup cifara brojnog sistema n 6

Pozicioni brojni sistemi Baza određuje pozicione vrednosti zapisa kao i broj potrebnih cifara za formiranje bilo kog zapisa u tom sistemu. Skup cifara čine cifre koje je moguće koristiti za zapisivanje brojeva u određenom brojnom sistemu. Broj elemenata u skupu cifara brojnog sistema je jednak bazi brojnog sistema. 7

Dekadni sistem kodiranja Dekadni brojni sistem ima bazu deset. Za formiranje brojeva koristi se 10 cifara: 0, 1, 2, 3, . . . , 9. Poziciona vrednost raste idući u levo od zareza za svaku poziciju 10 puta, a opada isto za 10 puta za svaku poziciju desno od zareza. 876, 351(10)=8*102+7*101+6*100+3*10 -1+5*10 -2+1*10 -3 8

Binarni sistem kodiranja Sve računarske reči, kao i sadržaji memorijskih lokacija i registara u računarskim sistemima, mogu se predstaviti pomoću binarnog brojnog sistema. Binarni brojni sistem ima bazu dva. Za formiranje brojeva koriste se 2 cifre: 0 i 1. Npr. 0110010111101100 – 16 -bitna računarska reč Zbog preglednosti mogu se sresti i ovakvi načini zapisa: 0 110 010 111 100 0110 0101 1110 1100 Poziciona vrednost raste idući u levo od zareza za svaku poziciju 2 puta, a opada isto za 2 puta za svaku poziciju desno od zareza. 9

Oktalni sistem kodiranja Oktalni brojni sistem (okto – osam) ima bazu osam. Za formiranje brojeva koristi se 8 cifara: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, i 7. Svaki broj oktalnog brojnog sistema može se predstaviti kao zbir proizvoda svojih cifara i njihovih pozicionih vrednosti. 276, 351(8)=2*82+7*81+6*80+3*8 -1+5*8 -2+1*8 -3 Poziciona vrednost raste idući u levo od zareza za svaku poziciju 8 puta, a opada isto za 8 puta za svaku poziciju desno od zareza. Za prikazivanje broja u oktalnom zapisu potrebno je tri puta manje cifara nego u binarnom. 110010111101100(2)=062754(8) 10

Heksadecimalni sistem kodiranja Heksadecimalni brojni sistem (heksa – šest, deka - deset) ima bazu šesnaest. Za formiranje brojeva koristi se skup od 16 elemenata: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E i F (A(16)=10(10), B(16)=11(10), C(16)=12(10), D(16)=13(10), E(16)=14(10), F(16)=15(10)) Svaki heksadecimalni broj može sepredstaviti kao zbir proizvoda svojih cifara i njihovih pozicionih vrednosti. C 36, AF 1(16)=C*162+3*161+6*160+A*16 -1+F*16 -2+1*16 -3 Poziciona vrednost raste idući u levo od zareza za svaku poziciju 16 puta, a opada isto za 16 puta za svaku poziciju desno od zareza. Za prikazivanje broja u heksadecimalnom zapisu potrebno je četiri puta manje cifara nego u binarnom. 0110010111101100(2)=65 EC(16) 11

Konverzija decimalnog broja u binarni Decimalni broj delimo sa 2 (osnova binarnog sistema) i pored pišemo ostatak pri deljenju a ispod rezultat deljnje (celobrojno deljenje) Delimo celobrojno sa 2 do kraja, dok rezultat ne bude 0. Zapis binarnog broja ide od dna tabele ka vrhu. U primeru 25 = 11001 12

Predstavljanje prvih 16 brojeva u binarnom zapisu. Prvih 16 brojeva u binarnom zapisu možemo da prikažemo korišćenjem 4 binarne cifre. Koliko brojeva možemo da prikažemo sa 8 binarnih cifara? Vidite da je ovaj način zapisa jednostavan ali rogobatan (glomazan). 13

Konverzija binarnog broja u decimalni n n Binarni brojni sistem je takođe težinskog tipa, tako da ćemo da iskoritimo logiku koju smo koristili kad smo predstavljali decimalne brojeve. Na primer binarni broj 11001 se pretvara u dekadni na sledeći način: Težinski raspored prva cifra 1 u ovom broju ima težinu 16 druga 8, a poslednja 1. 14

Šta smo naučili? n n n Koja je osnova (baza) decimalnog brojevnog sistema? Šta znači činjenica da je neki brojevni sistem težinskog (pozicionog) tipa? Koja je baza binarnog brojevnog sistema? Zašto je uveden binarni sistem? Koji je postupak prevođenja decimalnog broja u binarni Koji je postupak prevođenja binarnog broja u decimalni? 15

Konverzija brojeva Bin -> Dec Konvertovati sledeće brojeve iz binarnog oblika u decimalni. 1. 100011 2. 11000010 3. 1010111 4. 10010011 5. 10111 6. 101011 16

Konverzija brojeva Dec-> Bin Konvertovati sledeće brojeve iz heksadecimalnog oblika u binarni. 1. 120 2. 49 3. 255 4. 31 5. 126 6. 87 17

Brojevni sistemi OKTALNI SISTEM

Oktalni brojevni sistem 19

Brojevni sistemi HEXADECIMALNI SISTEM

Heksadecimalni brojevni sistem n n Ovaj brojni sistem ima 16 cifara koje idu od 0 pa do 9, cifra 10 se predstavlja sa A, 11 sa B, i tako do cifre 15 koja se predstavlja sa F. Ovo je urađeno radi lakšeg i jasnijeg zapisa heksadecimalnih brojeva. Kao što je rečeno, binarni brojni sistem je glomazan, heksadecimalni brojni sistem nam daje mogućnost kraćeg zapisa binarnih cifara. Primer broj u Heksa zapisu (2 A)(16) u decimalnom je 42 a u binarnom je 00101010 (predugačak zapis) 21

Predstavljanje prvih 16 brojeva u binarnon, dekadnom i hexadecimalnom zapisu. Prvih 16 brojeva u binarnom zapisu možemo da prikažemo korišćenjem 4 binarne cifre. Koliko brojeva možemo da prikažemo sa 8 binarnih cifara? Vidite da je ovaj način zapisa jednostavan ali rogobatan (glomazan). 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 2 2 0 0 1 1 3 3 0 1 0 0 4 4 0 1 5 5 0 1 1 0 6 6 0 1 1 1 7 7 1 0 0 0 8 8 1 0 0 1 9 9 1 0 10 A 1 0 1 1 11 B 1 1 0 0 12 C 1 1 0 1 13 D 1 1 1 0 14 E 1 1 15 F 22

Konverzija binarnog broja u heksadecimalni broj 1+2+4+8=10=A 1+2+4+8=15=F u heksadecimalnom sistemu Konverzija binarnog broja u heksa je jako brza i bez matematike. Grupišete binarne brojeve od desnog kraja po četiri binarne cifre. Sa četiri binarne cifre se predstavlja jedna heksa cifra. Primer konvertovati binarni broj 11101011110010 u heksadecimalni. Binarni broj podelimo na po 4 cifre. 11101011110010 = 0011 1010 1111 0010 =1*20+1*21+0*22+0*23; 0*20+1*21+0*22+1*23; 1*20+1*21+1*22+1*23+; 0*20+1*21+0*22+0*23=1+2; 2+8; 1+2+4+8; 2; = 3 AF 2 23

Konverzija heksadecimalnog broja u dekadni Kako možemo konvertovati heksadecimlan broj u decimalan? Osnova heksa brojnog sistema je 16 koristimo istu logiku kao do sad, predstavljamo ga u težinskom obliku. 24

Konverzija heksadecimalnog broja u binarni broj Obrnuti proces takođe jednostavna svaka heksa cifra se predstavlja sa četiri binarne cifre. Primer FF 1 = 1111 0001 25

Konverzija brojeva Bin -> Hex Konvertovati sledeće brojeve iz binarnog oblika u heksadecimalni. 1. 10001110 2. 110000101110101101 3. 1010111000001 4. 100100101011 5. 1011100011101 6. 101011111100010110 26

Konverzija brojeva Hex -> Bin Konvertovati sledeće brojeve iz heksadecimalnog oblika u binarni. 1. F 1813 A 2. 11 F 5 C 3. A 1 B 13 4. 55 D 5. 33 E 3 6. AAB 3 27

Konverzija brojeva Hex -> Dec Konvertovati sledeće brojeve iz heksadecimalnog oblika u dekadni 1. FA 2. 1 C 3. 13 4. 5 D 5. 3 E 6. AA 28