RAUNARSKA LOGIKA Booleova logika prekidaka algebra George Boole

RAČUNARSKA LOGIKA Booleova (logička, prekidačka) algebra

George Boole (1815 -1864). tsin obućara tprekinuo školovanje nakon trećeg razreda tpostao je briljantan naučnik - predavao latinski i grčki jezik tpoznati matematičar po doprinosima u oblasti diferencijalnih jednačina i u algebri tpokušao da izvede matematičku analizu mišljenja (logike) - uspostvio je "logičku

Claude E. Shanon t 1938. god. u svojoj magistarskoj tezi na MIT-u (Massachusetts Institute of Technology Boston), opisao metod za predstavljanje sklopova od (tada elektromehaničkih) prekidača, skupom matematičkih izraza na bazi Booleove algebre. t Ta metoda se i danas koristi za dizajn i analizu prekidačkih kola t prednosti matematskog opisivanja rada logičkih sklopova - lakše je projektovati pomoću algebarskih izraza koji opisuju prekidačka kola, nego pomoću šema ili logičkih dijagrama

Booleova algebra t Varijable mogu imati jednu od vrijednosti iz skupa {0, 1} t skup operacija nad varijablama {+, , } t logičko sabiranje - X+Y=Z se može čitati "X ili Y jednako Z" ili "X plus Y jednako Z” t logičko množenje - X Y=Z se može čitati t "X i Y jednako Z" ili "X puta Y jednako Z” t Invertovanje X=/Y “X jednako ne-Y”

Logička kola ULAZ X 0 0 1 1 IZLAZ Y 0 1 ULAZ Z 0 1 1 1 IZLAZ X Y Z 0 0 1 1 1

NI kolo (invertor) ULAZ IZLAZ X Z 0 1 1 0

NILI kolo ULAZ IZLAZ X Y Z 0 0 1 1 1 0 1 1

NI kolo ULAZ IZLAZ X Y Z 0 0 1 1 1 0

XOR/XNOR ULAZ IZLAZ X Y Z 0 0 1 1 1 0 ULAZ IZLAZ X Y Z 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Sve logičke operacije! X Y f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f 12 f 13 f 14 f 15 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 XZ’ X X’Y Y + Y’ X’ 1 Log. op.

Pravila Booleove algebre Naziv pravila “I” forma “ILI” forma Zakon identiteta 1 X = X 0 + X = X Zakon nultog elementa 0 X = 0 1 + X = 1 Zakon idempotencije X X = X X + X = X Zakon inverzije X X’ = 0 X + X’ = 1 Zakon komutacije X Y = Y X X + Y = Y + X Zakon asocijacije (X Y) Z = X (Y Z) (X+Y)+Z = X+(Y+Z) Zakon distribucije X+Y Z=(X+Y) (X+Z) X (Y+Z) = X Z + Y Z Zakon apsorpcije X (X+Y) = X X + X Y = X (X Y)’ = X’ + Y’ (X+Y)’ = X’ Y’ De Morganov zakon

Važi i ovo! X'' = X X + X'Y = X + Y na osnovu zakona distribucije I-forme za Z=X'

Što ne važi u klasičnoj algebri. . . (X + Y)(X + Z) = XX + XZ + XY + YZ = X(1 + Y) + XZ + YZ = X(1+ Z) + YZ = X + YZ

Pojednostavljivanje izraza (X + Y)(X + Y')(X' + Z) Prva dva umnoška se mogu pojednostaviti: (X + Y)(X + Y')= XX + XY' + XY + YY' = X + XY' + XY + 0 = X + 0 a zatim se čitav izraz pojednostavi X(X' + Z) = XZ

Drugi primjer XYZ + XY'Z + XYZ' = X(YZ+Y'Z+YZ')= X[Y(Z+Z’)+Y’Z]= X(Y + Y'Z) = X(Y + Z) = XY + XZ

De Morgan Pomoću De Morganovih pravila može se naći komplement bilo kojeg Booleovog izraza ili njegovog dijela (X+YZ)' = X' (YZ)' = X'(Y' + Z') (W'X+YZ')' = (W'X)'(YZ')' = (W + X')(Y' + Z) na osnovu X+XY = X može se tvrditi: X(X+Y) = X

IZVOĐENJE BOOLEOVIH JEDNAČINA tstandardni logički proizvodi (engl. minterms) m 0 , m 1 itd. tstandardne logičke sume (engl. maksterms). M 0, M 1 itd. t. I i II kanonska forma funkcija

Prvo se mora znati t koja su moguća stanja na ulazima, i tželjeni odziv na svako stanje na ulazu t. Na osnovu tih podataka se formira tabela istine

Primjer tabele istine ULAZ IZLAZ Standardni logički proizvodi X Y Z 0 0 1 X’Y’ 0 1 0 X’Y 1 0 1 XY’ 1 1 1 XY

prva kanonska forma date funkcije X'Y' + XY' +XY = Z što se može pojednostaviti kako slijedi: X'Y' + XY = Z X'Y' + X(Y' + Y) = Z X'Y' + X = Z X + Y' = Z

i sa 3 ulazne varijable ULAZI IZLAZ Standardni logički proizvodi X Y Z A 0 0 0 1 m 0=X’Y’Z’ 0 0 1 0 m 1=X’Y’Z 0 1 m 2=X’YZ’ 0 1 1 0 m 3=X’YZ 1 0 0 1 m 4=XY’Z’ 1 0 m 5=XY’Z 1 1 0 1 m 6=ZYZ’ 1 1 1 0 m 7=XYZ

SUMA PROIZVODA I PROIZVOD SUME tlogički proizvod (engl. product term) je varijabla ili logički proizvod više varijabli (koplementiranih ili ne) t. Logička suma (engl. sum term) je varijabla ili logička suma više varijabli (koplementiranih ili ne)

Suma proizvoda - je logički proizvod ili više logičkih proizvoda, logički sabranih. X XY + Z X'Y' + X'Y'Z' X + Y

Proizvod suma - je logička suma, ili više njih međusobno logički pomnoženih. (X + Y)(X + Y')(X' + Y') (X + Y + Z)(X + Y')(X' + Y') (X' + Z) X' (X + Y)X

pisanje izraza ULAZI IZLAZ Standardni logički proizvodi Standardne logičke sume X Y Z A 0 0 m 0=X’Y’Z’ M 0=X+Y+Z 0 0 1 0 m 1=X’Y’Z M 1=X+Y+Z’ 0 1 m 2=X’YZ’ M 2=X+Y’+Z 0 1 1 1 m 3=X’YZ M 3=X+Y’+Z’ 1 0 0 0 m 4=XY’Z’ M 4=X’+Y+Z 1 0 m 5=XY’Z M 5=X’+Y+Z’ 1 1 0 1 m 6=XYZ’ M 6=X’+Y’+Z 1 1 1 0 m 7=XYZ M 7=X’+Y’+Z’

Prva forma se može pojednostaviti ovako: X'YZ' + X'YZ + XYZ' = X'(YZ'+YZ)+XYZ' = ("ILI" forma zakona distribucije ) X'Y+XYZ' = ("ILI" forma zakona inverzije) Y(X'+XZ') = ("ILI" forma zakona distribucije ) X'Y+YZ' ("I" forma zakona distribucije) a druga ovako: (X+Y+Z)(X+Y+Z')(X'+Y+Z')(X'+Y'+Z') = (X+Y)(X'+Z') = /* jer je (X+Y+Z)(X+Y+Z') =(X+Y) itd. */ Y(X'+Z') što je isto!

I i II kanonska forma logičke jednačine izgledaju ovako: A = S(m 0, m 2 , m 4 , m 6 ) A = P(M 1 , M 3 , M 5 , M 7 ) Jednačina izlaza A je: A = X'Y'Z' + X'YZ' + XY'Z' + XYZ' a može biti pojednostavljena kako slijedi: A = X'(Y'Z' + YZ') + X(Y'Z' + YZ') = (X' + X)(Z'(Y + Y')) = Z'

Konture Y 1 0 X 1 1 pa se sabiranjem jednačina te dvije konture dobije Z = X + Y'

Y 0 0 1 X 0 0 0 Z 1 1 pa je zbir te dvije konture A = X'Y + YZ'

KARNAUGHOVE MAPE Y m 0 m 1 m 2 m 3 X Y m 0 m 1 m 3 m 2 m 4 m 5 m 7 m 6 W X m 12 m 13 m 15 m 14 m 8 m 9 m 11 m 10 Z Y m 0 m 1 m 3 m 2 X m 4 m 5 m 7 m 6 Z