Rationale Funktionen Lernziele Rationale Funktionen und ihre Bedeutung

Rationale Funktionen Lernziele: • Rationale Funktionen und ihre Bedeutung kennen. • Ganzzahlige Nullstellen von Polynomen berechnen können. • Aufgaben mit Funktionen lösen können (C) 2006, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 1

Die ganz rationale Funktion (Polynomfunktion) (C) 2006, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 2

Nullstellen von Polynomen Definition: Nullstellen einer Funktion f sind jene Stellen (x-Werte), für die der Funktionswert Null ergibt. Also: x 0 ist Nullstelle von f(x), wenn f(x 0) = 0 gilt. (C) 2006, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 3

Sätze • Ist x 0 eine Nullstelle des Polynoms f(x) mit dem Grad n, so kann man f(x) in das Produkt von einem Linearfaktor (x - x 0) und ein Restpolynom g(x) vom Grad n-1 zerlegen. • Ein Poynom n-ten Grades kann höchstens in n reellwertige Linearfaktoren der Form (x - xi) zerlegt werden. • Ein Polynom n-ten Grades hat höchstens n reelle Nullstellen. (C) 2006, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 4

Mehrfachnullstellen Definition: Eine Zahl x 0 ist m-fache Nullstelle eines Polynoms n-ten Grades, wenn sich das Polynom f(x) in (x - x 0)m g(x) zerlegen lässt. (C) 2006, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 5

Berechnung von Nullstellen Zur Berechnung von Nullstellen von Polynomen kann der folgende Satz hilfreich sein: Hat ein Polynom n-ten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten eine ganzzahlige Nullstelle, so ist diese Nullstelle Teiler des konstanten Gliedes. (C) 2006, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 6

Aufgabe 1 Zeitversetzter freier Fall zweier Kugeln: Zwei Kugeln fallen im luftleeren Raum im zeitlichen Abstand von 2 s aus gleicher Höhe und jeweils aus der Ruhe heraus. Wie verändert sich der Abstand d der beiden Kugeln im Laufe der Zeit t? Skizzieren Sie den Verlauf dieser Weg-Zeit. Funktion. (C) 2006, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 7

Aufgabe 1 • Was wissen Sie aus der Physik über den freien Fall? • Skizzieren Sie die Positionen der Kugeln nach 0, 1, 2, 3, 4 Sekunden. • Versuchen Sie einen Ansatz für den Abstand d zwischen den beiden Kugeln. (C) 2006, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 8

Aufgabe 2 Zugspannung in einem rotierenden Stab: Ein zylindrischer Stab der Länge l rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um eine durch das Ende des Stabes gehende, zu ihm senkrecht verlaufende Achse. a) Bestimmen Sie durch die Zentrifugal-kräfte hervorgerufene Zugspannung s an einer beliebigen Schnittstelle x und skizzieren Sie den Spannungsverlauf längs des Stabes. (C) 2006, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 9

Aufgabe 2 1. b) An welcher Schnittstelle erreicht die Zugspannung ihren Maximalwert? 2. c) Welchen Wert darf die Winkelgeschwindig -keit nicht überschreiten, wenn die aus materialtechnischen Gründen höchstzulässige Zugspannung s 0 beträgt? 3. A Querschnittsfläche des Stabes, 4. konstante Dichte des Stabmaterials) (C) 2006, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 10

Aufgabe 2 • Skizzieren Sie den rotierenden Stab mit Rotationsachse. • Zeichnen Sie eine beliebige Schnittstelle x ein. • Was versteht man unter Zugspannung? • Überlegen Sie: • Wenn der Stab an der Stelle x durchgeschnitten wird, müsste man ihn mit Klebstoff wieder zusammenleimen. Was müsste der Klebstoff aushalten? (C) 2006, Hermann Knoll, HTW Chur, Fachhochschule Ostschweiz 11