Rastavljanje izraza na proste faktore Begzada Kii Prirodne

Rastavljanje izraza na proste faktore Begzada Kišić

Prirodne brojeve dijelimo na proste i složene l Prosti prirodni brojevi su: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . . l Prosti brojevi su djeljivi samo sa sobom i sa jedinicom

l Složeni brojevi su: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, . . . l Složeni prirodni brojevi se mogu napisati u obliku proizvoda dva ili više prostih brojeva, tj. možemo ih rastaviti na proste faktore l 4=2 • 2, 6=2 • 3, 8=2 • 2, 9=3 • 3, 10=2 • 5 l faktori složenog broja su njegovi djelioci

I cijeli algebarski izrazi (polinomi) mogu biti prosti i složeni l Rastaviti polinom na proste faktore znači napisati ga u obliku proizvoda dva ili više prostih faktora l Rastavljanje polinoma na faktore ima važnu primjenu kod algebarskih razlomaka l Postupak rastavljanja zavisi od oblika i složenosti polinoma

Metode rastavljanja Izvlačenje zajedničkog faktora l Grupisanje članova l Primjena izvedenih formula: - razlika kvadrata - zbir i razlika kubova - kvadrat zbira i razlike - kub zbira i razlike l

izvlačenje zajedničkog faktora l a(b+c)=ab+ac distributivni zakon l vrijedi i obrnuto: ab+ac=a(b+c) Primjer 1. 6 ab+4 a 2 c = 2 a(3 b+2 ac)

grupisanje članova l ax+bx+ay+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y) Primjer 2. 14 ab+10 a 2+15 ac+21 bc= =7 b(2 a+3 c)+5 a(2 a+3 c)= =(2 a+3 c)(7 b+5 a)

l Kvadratne trinome možemo rastavljati na proste faktore metodom grupisanja l Primjer 3. 2 x 2+5 x-3 2 x 2+6 x-x-3= =2 x(x+3)-(x+3)= =(x+3)(2 x-1) Napomena: u ovom slučaju treba naći dva broja koji pomnoženi daju proizvod slobodnog člana i koeficijenta kvadratnog člana (-3)2=-6 , a sabrani daju koeficijent linearnog člana 5, a to su 6 i -1

razlika kvadrata: (x-y)(x+y)= x 2 -y 2 l obrnuto : x 2 -y 2=(x-y)(x+y) Primjer 4. 9 -4 b 2=32 -(2 b)2= =(3 -2 b)(3+2 b)

l l Ponekad kvadratne trinome možemo rastavljati na proste faktore i dopunom do kvadrata Primjer 5. x 2 -4 x-12 x 2 -4 x+4 -4 -12= =(x-2)2 -16=(x-2)2 -42= =(x-2 -4)(x-2+4)=(x-6)(x+2)

razlika kubova: (x-y)(x 2+xy+y 2) =x 3 -y 3 l obrnuto: x 3 -y 3=(x-y)(x 2+xy+y 2) Primjer 6. 27 -8 a 3=33 -(2 a)3= =(3 -2 a)(9+6 a+4 a 2)

zbir kubova: (x+y)(x 2 -xy+y 2)= x 3+y 3 l obrnuto: x 3+y 3=(x+y)(x 2 -xy+y 2) Primjer 7. 2 a 3+16 b 3=2(a 3+8 b 3)= =2(a+2 b)(a 2 -2 ab+4 b 2)

kvadrat zbira: (x+y)2= x 2+2 xy+y 2 l obrnuto: x 2+2 xy+y 2=(x+y)(x+y) Primjer 8. 16+8 b+b 2=42+2·4·b+b 2= =(4+b)2

kvadrat razlike: (x-y)2= x 2 -2 xy+y 2 l obrnuto: x 2 -2 xy+y 2=(x-y)(x-y) Primjer 9. 4 a 2 -4 a+1=(2 a)2 -2·2 a·1+12= =(2 a-1)2

kub zbira: (x+y)3 =x 3+3 x 2 y+3 xy 2+y 3 l obrnuto: x 3+3 x 2 y+3 xy 2+y 3=(x+y)3 Primjer 10. 1+15 a+75 a 2+125 a 3= =13+3·12·5 a+3·1·(5 a)2+(5 a)3= =(1+5 a)3

kub razlike: (x-y)3=x 3 -3 x 2 y+3 xy 2 -y 3 l obrnuto: x 3 -3 x 2 y+3 xy 2 -y 3=(x-y)3 Primjer 11. 8 x 3 -12 x 2+6 x-1= =(2 x)3 -3·(2 x)2·1+3·2 x ·12 -13= =(2 x-1)3

Zadaci po grupama l l I GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore 1. 4 x 2 y+8 xy 2= 2. a 2 x+b 2 x-a 2 y-b 2 y= 3. 16 -a 2= 4. b 2+10 b+25= 5. x 3+6 x 2+12 x+8= 6. x 2+4 x-21=

l l II GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore 1. 6 x 2 y+12 xy 2= 2. ab 2 -3 b 2+3 a-9= 3. 25 -a 2= 4. x 2 -14 x+49= 5. x 3 -6 x 2+12 x-8= 6. x 2 -3 x-10=

l l III GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore 1. 3 a 2 b-6 ab 2= 2. xa+y 2 a-xb-y 2 b= 3. 9 a 2 -b 2= 4. x 2 -10 x+25= 5. a 3+6 a 2 b+312 ab 2+8 b 3= 6. a 2 -11 a+24=

l l IV GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore 1. 3 ab-6 ac= 2. x 2 a+y 2 a+x 2 b+y 2 b= 3. 4 a 2 -b 2= 4. b 2 -6 b+9= 5. x 3 -3 x 2+3 x-1= 6. y 2+6 y+5=

l l V GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore 1. 3 ab-6 ac+9 ad= 2. ax-bx+by-ay= 3. (a-b)2 -c 2= 4. x 2 -2 x+1= 5. x 3 -9 x 2 y+27 xy 2 -27 y 3= 6. b 2 -8 b+15=

l l VI GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore 1. 2 a 2 b-4 a 2 c+6 a 2 d= 2. ax+bx-by-ay= 3. (a-2)2 -c 2= 4. 4 x 2 -4 x+1= 5. 8+12 x+6 x 2+x 3= 6. x 2 -5 x-14=

Rješenja l GRUPA I 1. 4 x 2 y+8 xy 2=4 xy(x+2 y) 2. a 2 x+b 2 x-a 2 y-b 2 y=(a 2+b 2)(x-y) 3. 16 -a 2=(4 -a)(4+a) 4. b 2+10 b+25=(b+5)2 5. x 3+6 x 2+12 x+8=(x+2)3 6. x 2+4 x-21=(x+7)(x-3)

l GRUPA II 1. 6 x 2 y+12 xy 2=6 xy(x+2 y) 2. ab 2 -3 b 2+3 a-9=(a-3)(b 2+3) 3. 25 -a 2=(5 -a)(5+a) 4. x 2 -14 x+49=(x-7)2 5. x 3 -6 x 2+12 x-8=(x-2)3 6. x 2 -3 x-10=(x-5)(x+2)

l GRUPA III 1. 3 a 2 b-6 ab 2=3 ab(a-2 b) 2. xa+y 2 a-xb-y 2 b=(x+y 2)(a-b) 3. 9 a 2 -b 2=(3 a-b)(3 a+b) 4. x 2 -10 x+25=(x-5)2 5. a 3+6 a 2 b+312 ab 2+8 b 3= (a+2 b)3 6. a 2 -11 a+24=(a-3)(a-8)

l GRUPA IV 1. 3 ab-6 ac=3 a(b-2 c) 2. x 2 a+y 2 a+x 2 b+y 2 b=(x 2+y 2)(a+b) 3. 4 a 2 -b 2=(2 a-b)(2 a+b) 4. b 2 -6 b+9=(b-3)2 5. x 3 -3 x 2+3 x-1=(x-1)3 6. y 2+6 y+5=(y+1)(y+5)

l GRUPA V 1. 3 ab-6 ac+9 ad=3 a(b-2 c+3 d) 2. ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y) 3. (a-b)2 -c 2=(a-b-c)(a-b+c) 4. x 2 -2 x+1=(x-1)2 5. x 3 -9 x 2 y+27 xy 2 -27 y 3=(x-3 y)3 6. b 2 -8 b+15=(b-3)(b-5)

l GRUPA VI 1. 2 a 2 b-4 a 2 c+6 a 2 d=2 a 2(b-2 c+3 d) 2. ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y) 3. (a-2)2 -c 2=(a-2 -c)(a-2+c) 4. 4 x 2 -4 x+1=(2 x-1)2 5. 8+12 x+6 x 2+x 3=(2+x)3 6. x 2 -5 x-14=(x-7)(x+2)

Hvala na pažnji!