RAPPRESENTAZIONE DELLINFORMAZIONE Internamente a un elaboratore ogni informazione

RAPPRESENTAZIONE DELL’INFORMAZIONE · Internamente a un elaboratore, ogni informazione è rappresentata tramite sequenze di bit (cifre binarie) · Una sequenza di bit non dice “cosa” essa rappresenta: l’interpretazione è negli occhi di chi guarda · Ad esempio, 01000001 può rappresentare: · l’intero 65, il carattere ‘A’, il boolean ‘vero’, … · … il valore di un segnale musicale, · … il colore di un puntino sullo schermo. . .

INFORMAZIONI NUMERICHE · La rappresentazione delle informazioni numeriche è di particolare rilevanza · In particolare vogliamo poter trattare: · numeri naturali (interi senza segno) · numeri interi (con segno) · numeri reali · con la consapevolezza di: · eventuali limiti nella loro rappresentazione e nel loro uso · eventuali approssimazioni necessarie.

NUMERI NATURALI (interi senza segno) · Dominio: N = { 0, 1, 2, 3, …} · Rappresentabili con diverse notazioni ¨ non posizionali ¨ad esempio la notazione romana: I, III, IV, V, . . IX, X, XI. . . ¨ posizionale ¨ 1, 2, . . 10, 11, . . . 200, . . .

NUMERI NATURALI (interi senza segno) Non posizionali: hanno regole proprie, spesso assai · Dominio: che rendono N = { 0, 1, 2, 3, …} complessa l'esecuzione dei calcoli · Rappresentabili con diverse notazioni ¨ non posizionali ¨ad esempio la notazione romana: I, III, IV, V, . . IX, X, XI. . . ¨ posizionale ¨ 1, 2, . . 10, 11, . . . 200, . . . Posizionale: rappresenta i numeri in modo compatto, e rende semplice l'effettuazione dei calcoli

NOTAZIONE POSIZIONALE · Concetto di base di rappresentazione B · Rappresentazione del numero come sequenza di simboli (cifre) appartenenti a un alfabeto di B simboli distinti · ogni simbolo rappresenta un valore compreso fra 0 e B-1 Esempio (base B = tre, alfabeto A = {$, %, #}): · $ rappresenta il valore zero · % rappresenta il valore uno · # rappresenta il valore due

NOTAZIONE POSIZIONALE · Il valore di un numero espresso in questa notazione è ricavabile ¨ a partire dal valore rappresentato da ogni simbolo ¨ pesandolo in base alla posizione che occupa nella sequenza dn-1 … d 2 d 1 d 0 Posizione n-1: pesa Bn-1 Posizione 1: pesa B 1 Posizione 0: pesa B 0 (unità)

NOTAZIONE POSIZIONALE · Il valore di un numero espresso in questa notazione è ricavabile ¨ a partire dal valore rappresentato da ogni simbolo ¨ pesandolo in base alla posizione che occupa nella sequenza Esempio ($ indica zero, % indica uno, # indica due): · %## rappresenta il valore diciassette · %$% rappresenta il valore dieci

NOTAZIONE POSIZIONALE · Il valore v di un numero espresso in questa notazione è ricavabile ¨ a partire dal valore rappresentato da ogni simbolo ¨ pesandolo in base alla posizione che occupa nella sequenza · In formula: B = base, dk = cifre (ognuna rappresenta un valore fra 0 e B-1)

NOTAZIONE POSIZIONALE · Quindi, una sequenza di cifre (stringa) non è interpretabile se non si precisa la base in cui è espressa · Esempi:

NOTAZIONE POSIZIONALE · Ogni numero può essere espresso, in modo univoco, in una qualunque base · Esempi:

CONVERSIONI stringa/numero/stringa · Ogni numero può essere espresso, in modo univoco, in una qualunque base · Quindi, deve essere possibile: · data la rappresentazione di un numero in una certa base, determinare il valore del numero · dato un numero, determinare la sua rappresentazione in una certa base

CONVERSIONI stringa/numero/stringa · Ogni numero può essere espresso, in modo univoco, in una qualunque base · Quindi, deve essere possibile: Conversione da stringa a numero · data la rappresentazione di un numero in una certa base, determinare il valore del numero · dato un numero, determinare la sua rappresentazione in una certa base Conversione da numero a stringa

CONVERSIONE STRINGA / NUMERO · Problema: data la rappresentazione di un numero in una certa base, determinare il valore del numero · Soluzione: applicare la formula

CONVERSIONE NUMERO / STRINGA · Problema: dato un numero, determinare la sua rappresentazione · Soluzione: dipende se la rappresentazione scelta è posizionale o meno · se non è posizionale, le regole dipendono dalla specifica rappresentazione · ad esempio, ventisette in notazione romana: · 27 è compreso fra 20 e 30 accumulo 20 XX · 27 -20 = 7 è compreso fra 5 e 10 accumulo 5 V · 7 -5 = 2 si esprime direttamente II morale: XXVII

CONVERSIONE NUMERO / STRINGA · Problema: dato un numero, determinare la sua rappresentazione in una base data · Soluzione (notazione posizionale): manipolare la formula per dedurre un algoritmo v è noto, le cifre dk vanno calcolate

CONVERSIONE NUMERO / STRINGA · d 0 si può ricavare come resto della divisione intera v / B · tale divisione ha per quoziente q = d 1 + B * ( d 2 + B * ( d 3 +. . . )), che consente di trovare le altre cifre iterando il procedimento NB: le cifre vengono prodotte nell'ordine dalla meno significativa (LSB) alla più significativa (MSB)

CONVERSIONE NUMERO / STRINGA Algoritmo delle divisioni successive · d 0 si può ricavare come resto della divisione intera v / B · tale divisione ha per quoziente q = d 1 + B * ( d 2 + B * ( d 3 +. . . )), che consente di trovare le altre cifre iterando il procedimento NB: le cifre vengono prodotte nell'ordine dalla meno significativa (LSB) alla più significativa (MSB)

CONVERSIONE NUMERO / STRINGA Algoritmo delle divisioni successive · si divide v per B · il resto costituisce la cifra meno significativa · il quoziente serve a iterare il procedimento · se tale quoziente è zero, l’algoritmo termina; · se non lo è, lo si assume come nuovo valore v’, e si itera il procedimento con il valore v’.

CONVERSIONE NUMERO / STRINGA Esempi

RAPPRESENTAZIONI IN BASI DIVERSE · In generale, le rappresentazioni di uno stesso numero in basi diverse non sono correlate fra loro · Esempio: il numero sessantasette · B 1 = 2 “ 01000011” · B 2 = 8 “ 103” · B 3 = 10 “ 67” · B 4 = 16 “ 43”

RAPPRESENTAZIONI IN BASI DIVERSE · Tuttavia, diventano correlate se le basi considerate sono una potenza una dell’altra: B 2 = (B 1 )N · Allora, · N cifre nella rappresentazione in base B 1 · corrispondono esattamente a 1 cifra nella rappresentazione in base B 2

RAPPRESENTAZIONI IN BASI DIVERSE · Tuttavia, diventano correlate se le basi considerate sono una potenza una dell’altra 8 = 23 · Esempio: 1 cifra ottale = 3 cifre binarie · B 1 = 2 “ 01000011” · B 2 = 8 = 23 = (B 1)3 “ 103” 01. 000. 011 · B 3 = 10 “ 67” · B 4 = 16 = 24 = (B 1)4 “ 43” 0100. 0011 16 = 24 1 cifra hex = 4 cifre binarie

RAPPRESENTAZIONI IN BASI DIVERSE · Conseguenza: se le basi considerate sono una potenza una dell’altra, · per passare dalla rappresentazione di un numero in una base B 1 alla sua rappresentazione in un’altra base B 2 = (B 1 )N · basta sostituire ordinatamente N cifre della rappresentazione B 1 con 1 cifra della rappresentazione B 2

RAPPRESENTAZIONI IN BASI DIVERSE

OPERAZIONI IN NOTAZIONE POSIZIONALE · Tutte le notazioni posizionali usano le stesse regole per le operazioni, indipendentemente dalla base adottata · Esempi di somme e sottrazioni:

OPERAZIONI IN NOTAZIONE POSIZIONALE · In moltiplicazioni e divisioni: · spostando tutte le cifre a sinistra di una posizione (e introducendo uno 0 a destra) si moltiplica per la base · spostando tutte le cifre a destra di una posizione (e introducendo uno 0 a sinistra) si divide per la base · Esempi: · base dieci: _ · base due: 184 * 1832 / 10 10 = = 1011 * 1111 / 2 2 = = 1840 Divisione 183 intera 10110 111

OPERAZIONI IN NOTAZIONE POSIZIONALE · Due mosse elementari: · Shift Left (SHL) · Shift Right (SHR) Qualunque moltiplicazione o divisione può essere espressa con somme, sottrazioni e SHL / SHR.

ERRORI NELLE OPERAZIONI · In matematica, le operazioni sui naturali non danno mai luogo a errori (posto che la divisione è una divisione intera, che può comportare l’esistenza di un resto) · In un elaboratore, invece, si possono generare errori, a causa dell’impossibilità di rappresentare tutti gli infiniti numeri · in particolare, con N bit il massimo numero rappresentabile è 2 N-1 · qualunque operazione che implichi un risultato maggiore sarà errata OVERFLOW

ERRORI NELLE OPERAZIONI Teoricamente Praticamente · il risultato è completamente errato, perché è andato perso proprio il contributo più significativo (MSB) · Soluzione: usare un tipo di dato che offra un maggior numero di bit

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI Conversione da stringa a numero · si applica la formula le cifre dk sono note, il valore v va calcolato · richiede la valutazione di un polinomio Metodo di Horner

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI Conversione da stringa a numero · una funzione: s. To. Num() · in ingresso: · base b · stringa di simboli, s · lunghezza della stringa, len · in uscita: · il valore del numero (intero senza segno)

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI unsigned long s. To. Num( unsigned short b, char s[], int len) { <finché ci sono simboli in s> <calcola il valore del simbolo s[i]> <aggiorna il valore v> <alla fine, v rappresenta il valore cercato> }

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI unsigned long s. To. Num( unsigned short b, char s[], int len) { unsigned long v = 0; <finché ci sono simboli in s> <calcola il valore del simbolo s[i]> <aggiorna il valore v> <alla fine, v rappresenta il valore cercato> }

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI unsigned long s. To. Num( unsigned short b, char s[], int len) { unsigned long v = 0; int i = 0; for(i=0; i<len; i++) { <calcola il valore del simbolo s[i]> <aggiorna il valore v> } <alla fine, v rappresenta il valore

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI unsigned long s. To. Num( unsigned short b, char s[], int len) { unsigned long v = 0; int i = 0; for(i=0; i<len; i++) { val = valore. Cifra(s[i]); v = b * v + val; /* Horner */ }

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI unsigned long s. To. Num( unsigned short b, char s[], int len) { unsigned long v = 0; int i = 0; for(i=0; i<len; i++) { v = b * v + valore. Cifra(s[i]); ; } valore. Cifra(), return v; chi era costei ? }

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI unsigned valore. Cifra(char ch) { come fare per calcolare il valore? } · il carattere è rappresentato internamente da un numero, secondo la codifica ASCII · è garantito che i caratteri da ‘ 0’ a ‘ 9’ sono in sequenza: quindi, · · · se ‘ 0’ è rappresentato internamente dal numero ‘ 1’ deve essere rappresentato dal numero +1, ‘ 2’ deve essere rappresentato dal numero +2, … ‘ 9’ deve essere rappresentato dal numero +9

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI unsigned valore. Cifra(char ch) { come fare per calcolare il valore? } · conseguenza: la differenza tra un carattere numerico (compreso fra ‘ 0’ e ‘ 9’) e il carattere ‘ 0’ è proprio il valore del simbolo stesso! · · · ‘ 0’ -’ 0’ = - = 0 ‘ 1’ -’ 0’ = ( +1) - = 1 ‘ 2’ -’ 0’ = ( +2) - = 2 … ‘ 9’ -’ 0’ = ( +9) - = 9

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI unsigned valore. Cifra(char ch) { come fare per calcolare il valore? } · lo stesso approccio vale per le lettere da ‘A’ a ‘F’ che rappresentano i valori da 10 a 15 nel caso della base sedici (esadecimale); quindi, · · · se ‘A’ è rappresentato internamente dal numero ‘B’ deve essere rappresentato dal numero +1, ‘C’ deve essere rappresentato dal numero +2, … ‘Z’ deve essere rappresentato dal numero +25

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI unsigned valore. Cifra(char ch) { come fare per calcolare il valore? } · e anche per le minuscole da ‘a’ a ‘f’, che pure rappresentano i valori da 10 a 15: · · · se ‘a’ è rappresentato internamente dal numero ‘b’ deve essere rappresentato dal numero +1, ‘c’ deve essere rappresentato dal numero +2, … ‘z’ deve essere rappresentato dal numero +25

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI unsigned valore. Cifra(char ch) { come fare per calcolare il valore? } · conseguenza: la differenza tra un carattere alfabetico compreso fra ‘A’ e ‘F’ (o fra ‘a’ e ‘f’) e il carattere ‘A’ (oppure, rispettivamente, ‘a’) consente di trovare il valore corrispondente · · · ‘A’ -’A’ = - = 0 sommando 10 ottengo 10 ‘B’ -’A’ = ( +1) - = 1 sommando 10 ottengo 11 ‘C’ -’A’ = ( +2) - = 2 sommando 10 ottengo 12 … ‘F’ -’A’ = ( +5) - = 5 sommando 10 ottengo 15

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI unsigned valore. Cifra(char ch) { return ('0'<= ch)&&(ch <= '9') ? ch - '0' : ('a'<= ch)&&(ch <= 'f') ? ch - 'a' + 10 : ('A'<= ch)&&(ch <= 'F') ? ch - 'A' + 10 : BOH; } Qui la funzione è indeterminata (questo caso non dovrebbe mai verificarsi)

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI un approccio ricorsivo unsigned long s. To. Num( unsigned short b, char s[], int len) { <se len=0, il valore è 0> <se len=1, il valore è val(s[0])> <in ogni altro caso, il valore è val(s[len-1]) + b * s. To. Num(b, s, len -1) > }

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI un approccio ricorsivo unsigned long s. To. Num( unsigned short b, char s[], int len) { if (len==0) return 0; else if (len==1) return valore. Cifra(s[0]); else return valore. Cifra(s[len-1]) + b * s. To. Num(b, s, len-1) ; }

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI Esempio: un cliente main(){ char st[] = "367"; unsigned long val 8 = s. To. Num(8, st, 3); unsigned long val 10 = s. To. Num(10, st, 3); unsigned long val 16 = s. To. Num(16, st, 3); Provare convalgono entrambe le di s. To. Num() /* quanto leversioni variabili? */ }

CONVERSIONE NUMERO / STRINGA · Problema: dato un numero, determinare la sua rappresentazione in una base data · Soluzione (notazione posizionale): manipolare la formula per dedurre un algoritmo v è noto, le cifre dk vanno calcolate

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI Algoritmo delle divisioni successive · si divide v per B · il resto costituisce la cifra meno significativa · il quoziente serve a iterare il procedimento · se tale quoziente è zero, l’algoritmo termina; · se non lo è, lo si assume come nuovo valore v’, e si itera il procedimento con il valore v’.

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI Conversione da numero a stringa · una funzione: num. To. S() · in ingresso: · base b · numero n · in uscita: la passiamo come parametro (passa per riferimento) ipotesi: inizialmente è vuota ed è sufficientemente lunga · stringa di simboli, s · (lunghezza della stringa) implicita nella stringa

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI void num. To. S(unsigned short b, unsigned long v, char s[]) { <ripeti> <calcola il resto v%B> <calcola il carattere corrispondente e inseriscilo in testa alla stringa> <sostituisci a v il nuovo valore v/B > <per tutto il tempo che v>0 > }

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI void num. To. S(unsigned short b, unsignedoccorre longscrivere v, char s[]) { una funzione char converti. Cifra(unsigned int) <ripeti> <calcola il resto v%B> <calcola il carattere corrispondente> <inseriscilo in testa alla stringa> occorre scrivere una procedura <sostituiscivoid a v aggiungi. In. Testa(. . . ) il nuovo valore v/B > che lo faccia <per tutto il tempo che v>0 >

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI void num. To. S(unsigned short b, unsigned long v, char s[]) { do { <calcola il resto v%B> <calcola il carattere corrispondente e inseriscilo in testa alla stringa> <sostituisci a v il nuovo valore v/B > } while (v>0); }

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI void num. To. S(unsigned short b, unsigned long v, char s[]) { do { resto = v % b; <calcola il carattere corrispondente e inseriscilo in testa alla stringa> <sostituisci a v il nuovo valore v/B > } while (v>0); }

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI void num. To. S(unsigned short b, unsigned long v, char s[]) { do { resto = v % b; ch = converti. Cifra(resto); aggiungi. In. Testa(ch, s); <sostituisci a v il nuovo valore v/B > } while (v>0); }

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI void num. To. S(unsigned short b, unsigned long v, char s[]) { do { resto = v % b; ch = converti. Cifra(resto); aggiungi. In. Testa(ch, s); v = v / b; } while (v>0); }

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI void num. To. S(unsigned short b, unsigned long v, char s[]) { do { ch = converti. Cifra(v % b); aggiungi. In. Testa(ch, s); v = v / b; } while (v>0); }

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI void num. To. S(unsigned short b, unsigned long v, char s[]) { do { aggiungi. In. Testa( converti. Cifra(v % b), s); v = v / b; } while (v>0); }

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI char converti. Cifra(unsigned n) { return ( 0 <= n)&&(n <= 9) ? n + '0' : (10 <= n)&&(n <= 15) ? n - 10 + 'A' : '_'; } Qui la funzione è indeterminata (questo caso non dovrebbe mai verificarsi)

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI void aggiungi. In. Testa( char ch, char st[]) { <sposta tutti i caratteri a destra di una posizione, per fare posto al nuovo carattere> <copia il nuovo carattere nella prima posizione della stringa> }

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI void aggiungi. In. Testa( char ch, char st[]) { int i; for(i=strlen(st); i>=0; i--){ st[i+1] = st[i]; } <copia il nuovo carattere nella prima posizione della stringa> }

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI void aggiungi. In. Testa( char ch, char st[]) { int i; for(i=strlen(st); i>=0; i--) st[i+1] = st[i]; st[0] = ch; }

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI Esempio: un cliente main(){ char s 2[10] = "", s 8[5] = "", s 10[5] = "", s 16[5] = ""; num. To. S( 2, 250, s 2); num. To. S( 8, 250, s 8); num. To. S(10, 250, s 10); num. To. S(16, 250, s 16); /* quanto valgono le stringhe? */ }

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI un approccio ricorsivo void num. To. S(unsigned short b, unsigned long v, char s[]) { <calcola il carattere corrispondente al resto v%B e inseriscilo in coda alla stringa> <se v=0, ritorna> [altrimenti] <calcola la stringa corrisp. a v/B> } È la ricorsione che “inverte l’ordine”

NUMERI INTERI (con segno) · Dominio: Z = { …, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } · Rappresentare gli interi in un elabora-tore pone alcune problematiche: ¨ come rappresentare il “segno meno”? ¨ possibilmente, rendere semplice l’esecuzione delle operazioni ¨magari usando gli stessi circuiti usati per i naturali…?

NUMERI INTERI (con segno) Due possibilità: · rappresentazione in modulo e segno ¨ semplice e intuitiva… ¨ … ma inefficiente e complessa nella gestione delle operazioni non molto usata in pratica · rappresentazione in complemento a due ¨ meno intuitiva, costruita “ad hoc” ¨ ma efficiente e capace di rendere semplice la gestione delle operazioni largamente usata

NUMERI INTERI (con segno) Rappresentazione in modulo e segno · un bit per rappresentare il segno 0 = + 1 = · N-1 bit per rappresentare il valore assoluto Esempi (su 8 bit, MSB rappresenta il segno): + 5 = 0 0000101 - 36 = 1 0100100

NUMERI INTERI (con segno) Rappresentazione in modulo e segno Difetti: · due diverse rappresentazioni per lo zero + 0 = 0000 - 0 = 10000000 · occorrono algoritmi speciali per fare le operazioni · se si adottano le usuali regole, non è verificata la proprietà X + (-X) = 0 · occorrono regole (e quindi circuiti) ad hoc

NUMERI INTERI (con segno) +5 Rappresentazione in modulo -5 --Difetti: 0 0 0000101 e segno 1 0000101 -----1 0001010 · due diverse rappresentazioni per lo zero + 0 = 0000 - 0 Cos’è = 10000000 questa roba? ? ? (+5) + (-5) = -10 ? ? ? · occorrono algoritmi speciali per fare le operazioni · se si adottano le usuali regole, non è verificata la proprietà X + (-X) = 0 · occorrono regole (e quindi circuiti) ad hoc

NUMERI INTERI (con segno) Rappresentazione in complemento a due · si vogliono poter usare le regole standard per fare le operazioni · in particolare, si vuole che · X + (-X) = 0 · la rappresentazione dello zero sia unica · anche a prezzo di una notazione più complessa, meno intuitiva, e magari non (completamente) posizionale !

NUMERI INTERI (con segno) Rappresentazione in complemento a due · idea: cambiare il peso del bit più significativo da +2 N-1 a -2 N-1 · il peso degli altri bit rimane intoccato. Esempi (su 8 bit, MSB ha peso negativo): 0 0000101 = +5 1 0000101 = -128 + 5 = - 123 1 1111101 = -128 + 125 = - 3

NUMERI INTERI (con segno) Rappresentazione in complemento a due MSB=0 numero o nullo · idea: cambiare il peso del bitpositivo più MSB=1 N-1 numero negativo N-1 significativo da +2 a -2 Ma nel secondo caso gli altri bit il valore intoccato. assoluto! · il peso degli non altrisono bit rimane Esempi (su 8 bit, MSB ha peso negativo): 0 0000101 = +5 1 0000101 = -128 + 5 = - 123 1 1111101 = -128 + 125 = - 3

NUMERI INTERI (con segno) Rappresentazione in complemento a due Intervallo di numeri rappresentabili · se MSB=0, è come per i naturali con N-1 bit · da 0 a 2 N-1 -1 Esempio: su 8 bit, [0, +127] · se MSB=1, stesso intervallo traslato di -2 N-1 · da -2 N-1 a -1 Esempio: su 8 bit, [-128, -1] · Intervallo globale: [-2 N-1 , -2 N-1 -1] · su 8 bit, [-128, +127] · su 16 bit, [-32768, +32767]

NUMERI INTERI (con segno) Rappresentazione complemento a due Lo stessoinintervallo N-1] · prima era tutto sui positivi [0. . . 2 Intervallo di numeri rappresentabili · ora è metà sui positivi e metà sui · se MSB=0, negativi è come[- per i naturali 2 N-1. . . 2 N-1 -1] con N-1 bit fra i positivi · da 0 a 2·N-1 lo-1 zero rientra Esempio: su 8 bit, [0, +127] · se MSB=1, stesso intervallo traslato di -2 N-1 · da -2 N-1 a -1 Esempio: su 8 bit, [-128, -1] · Intervallo globale: [-2 N-1 , -2 N-1 -1] · su 8 bit, [-128, +127] · su 16 bit, [-32768, +32767]

CONVERSIONE NUMERO / STRINGA · Osservazione: poiché si opera su N bit, questa è in realtà una aritmetica mod 2 N · La rappresentazione del numero v coincide con quella del numero v + 2 N · Conseguenza: possiamo in realtà calcolare la rappresentazione di v’ = v + 2 N È un naturale!

CONVERSIONE NUMERO / STRINGA · Per calcolare la rappresentazione di v (v<0) si può calcolare quella di v’ = v + 2 N Esempio (8 bit, 2 N = 256): · per calcolare la rappresentazione di -3 calcoliamo quella del naturale 253 -3= -128 + 125 “ 11111101” 253 “ 11111101”

CONVERSIONE NUMERO / STRINGA · Problema: dato un numero negativo v, come determinare praticamente la sua rappresentazione in notazione complemento a due? Poiché sappiamo convertire un naturale in stringa binaria, il problema diventa: · Partendo dalla rappresentazione binaria del valore assoluto |v|, come giungere alla rappresentazione in complemento a due del valore opposto -|v| ?

CONVERSIONE NUMERO / STRINGA · Partendo dalla rappresentazione binaria del valore assoluto |v|, come giungere alla rappresentazione in complemento a due del valore opposto -|v| ? • Poiché v = - |v| v’ = v + 2 N = 2 N - |v| • tutto sta a riuscire a calcolare 2 N - |v|. . . • . . . che però richiede una sottrazione!

CONVERSIONE NUMERO / STRINGA · Fortunatamente, 2 N - |v| è una sottrazione solo in apparenza, in quanto: 2 N - |v| = (2 N -1)- |v| + 1 · Poiché (2 N -1) è una sequenza di N “uni”, calcolare (2 N -1)- |v| equivale a invertire tutti i bit della stringa che rappresenta |v|: v = -3 |v| (2 N -1)- |v| “ 00000011” “ 11111100” · alla fine basta quindi aggiungere 1.

CONVERSIONE NUMERO / STRINGA Algoritmo di complementazione a due Data una stringa di bit che rappresenta il valore v, per ottenere la stringa che rappresenta il valore opposto -v occorre: • invertire tutti i bit della stringa data • aggiungere 1 al risultato così ottenuto. Esempi v = -3 (3 “ 00000011” ) “ 11111101” v = -37 (37 “ 00100101” ) “ 11011011” “ 11111101” “ 00000011” |v| = 3 v = -3

CONVERSIONE STRINGA / NUMERO · Problema: data la rappresentazione di un numero intero in notazione complemento a due, determinare il valore del numero · Soluzione: applicare la formula · oppure: applicare l’algoritmo di complementazione e sfruttare la formula dei naturali per dedurre il valore assoluto del numero.

OPERAZIONI SU NUMERI INTERI Rappresentazione in complemento a due · Questa rappresentazione rende possibile fare addizioni e sottrazioni con le usuali regole algebriche · Un primo esempio: -5 + +3 = ---2 11111011 00000011 -------11111110 Funziona!

OPERAZIONI SU NUMERI INTERI Rappresentazione in complemento a due · In certi casi occorre però una piccola convenzione: ignorare il riporto · Un altro esempio: -1 + -5 = ---6 11111011 -------(1)11111010 Funziona… purché si ignori il riporto!

OPERAZIONI SU NUMERI INTERI Rappresentazione in complemento a due · Nelle sottrazioni, analogamente, può capitare di dover ignorare il prestito +3 +5 = --2 (1)00000011 - +3 00000101 = -5 = ----11111110 +8 (1)00000011 11111011 = -------00001000 Ma. . perché ignorando prestiti e riporti funziona? ?

OPERAZIONI: PERCHÉ FUNZIONANO Il motivo è semplice: · poiché si opera su N bit, questa è in realtà una aritmetica modulare, di modulo 2 N · ignorando riporti (o inserendo prestiti) si introduce un errore pari a 2 N · che, quindi, mod 2 N scompare! · Nota: possono però prodursi errori se viene invaso il bit più significativo

ERRORI NELLE OPERAZIONI · In un elaboratore che opera in notazione complemento a due, si ha errore se si supera il massimo intero (positivo o negativo) rappresentabile, cioè se si crea un riporto dal penultimo all’ultimo bit · Esempio: 60 + 75 = ----135 00111100 01100011 -------10011111 Errore! Si è invaso il bit di segno, il risultato è negativo! (Può capitare solo sommando due positivi o due negativi)

SHIFT CON INTERI IN COMPLEMENTO A 2 · La semantica delle operazioni di shift · Shift Left (SHL) = moltiplicare per 2 · Shift Right (SHR) = dividere per 2 è mantenuta in complemento a due? · Sì, purché lo Shift Right (SHR) tenga conto del segno, ossia · introduca uno 0 da sinistra, se MSB=0 · introduca un 1 da sinistra, se MSB=1 Questo shift si chiama Shift Aritmetico

SHIFT CON INTERI IN COMPLEMENTO A 2 · Esempio di shift a sinistra: -10 * 4 = -10 SHL 2 11110110 SHL 2 = 11011000 -40 · Esempio di shift (aritmetico) a destra: -10 / 4 = -10 SHR 2 11110110 SHR 2 = 11111101 -3 · Attenzione: lo Shift Right ha la semantica della divisione intera il quoziente è il massimo intero minore o uguale a X/Y: non è un semplice troncamento!

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI Conversione da stringa a numero · o si applica direttamente la formula · oppure · se MSB=0 (positivo) si usa s. To. Num() · se MSB=1 (negativo), si sfrutta la relazione v = v’ - 2 N, usando s. To. Num() per ottenere v’, e sottraendo 2 N dal risultato. · funzione s. To. Int()

IMPLEMENTARE GLI ALGORITMI Conversione da numero a stringa · se il numero è positivo · si applica l’algoritmo delle divisioni successive (si ottiene MSB=0) · se invece il numero è negativo · si applica l’algoritmo delle divisioni successive al numero v’ = v + 2 N (ciò assicura MSB=1) · funzione int. To. S()

NUMERI REALI · Dominio: R · Un soprainsieme degli interi alcune proprietà degli interi potrebbero non essere più verificate · Un numero reale può non essere finitamente rappresentabile come stringa di simboli · in nessuna base: numeri irrazionali ( , e, . . . ) · in alcune basi: numeri razionali periodici

NUMERI REALI · La rappresentazione di un numero razionale può risultare periodica o meno, a seconda della base adottata · In particolare, non è mai periodica se si assume come base il denominatore della sua forma fratta · 1/3 = (0. 333333. . . )10 = (0. 1)3 · 8/7 = (1. 142857. . . )10 = (1. 1)7 ·. . .

NUMERI REALI IN DIVERSE BASI · Se la rappresentazione di un numero razionale in base B è periodica, allora è periodica anche la rappresentazione dello stesso numero in base B’ = B/k · il viceversa vale solo se B’ = Bn · Quindi · un numero periodico in base 10 è sicuramente: periodico anche in base 2 (perché 10 = 2*5) · un numero periodico in base 2 può essere o non essere periodico in base 10… · … ma lo è certamente in base 4, 8, 16, . . .

NUMERI REALI IN DIVERSE BASI · Se la rappresentazione di un numero razionale in base B è periodica, allora è periodica anche la rappresentazione dello stesso numero in base B’ = B/k · il viceversa vale solo se B’ = Bn se non bastavano i fattori primi · Intuitivamente: Quindi della base B a esprimere il numero in forma finita, la · un numero periodico in base 10 è sicuramente: situazione non può certo migliorare avendo meno periodico anche in base 2 (perché 10 = 2*5) fattori a disposizione (B’ = B / k), mentre potrebbe · un numero periodico in base 2 può essere o migliorare avendo a disposizione nuovi fattori non periodico in base 10… (B” = r * essere B) · … ma lo è certamente in base 4, 8, 16, . . .

NUMERI REALI IN DIVERSE BASI Ovviamente, se B’ = Bn, i fattori primi disponibili gli stessi (cambia · Serimangono la rappresentazione disolo un l’esponente numero a cui compaiono) e quindi la situazione non può razionale in base B è periodica, allora cambiare: se era periodico rimane periodico, se era è non periodica rappresentazione periodicoanche rimanela non periodico. dello stesso numero in base B’ = B/k · il viceversa vale solo se B’ = Bn · Quindi · un numero periodico in base 10 è sicuramente: periodico anche in base 2 (perché 10 = 2*5) · un numero periodico in base 2 può essere o non essere periodico in base 10… · … ma lo è certamente in base 4, 8, 16, . . .

NUMERI REALI: MANTISSA E RESTO Dato un numero reale V, e fissati: · una base B · un naturale N è sempre possibile esprimere V come somma di due contributi, di cui il primo costituito da esattamente N cifre: V m * Besp + r * Besp-N mantissa (n cifre) esponente (intero) resto (reale)

NUMERI REALI: MANTISSA E RESTO · Esistono infinite triple m, esp, r che consentono di esprimere, a parità di B e N, lo stesso numero reale V. · Ad esempio, se V=31. 4357, N=4, B=10:

RAPPRESENTAZIONE NORMALIZZATA · Poiché la rappresentazione deve essere unica, occorre fare una scelta · Si sceglie la tripla m, esp, r tale che 1/B m < 1, r<1 Rappresentazione normalizzata

RAPPRESENTAZIONE NORMALIZZATA In pratica, è quelladeve in cui essere la man· Poiché la rappresentazione tissa è <1, e la sua prima cifra unica, occorre fare una scelta dopo la virgola è diversa da 0 · Si sceglie la tripla m, esp, r tale che 1/B m < 1, r<1 Rappresentazione normalizzata

NUMERI REALI: IL VINCOLO · Un numero reale ha spesso una rappresentazione infinita in una data base, ma rappresentare infinite cifre è impossibile · Ergo, assumiamo come rappresentazio-ne approssimata del numero reale V il solo contributo m * Besp V m * Besp · Il resto si trascura Errore di troncamento

NUMERI REALI: LE SCELTE OPERATIVE · In pratica dobbiamo stabilire: · Quante cifre binarie (bit) per la mantissa? · Quante cifre per l’esponente? Espresso come? · Come rappresentare il segno del numero? · Osservazione: nel caso B=2, la mantissa normalizzata è compresa fra 1/2 e 1: 1/2 m < 1 il primo bit dopo la virgola è sempre 1.

NUMERI REALI: LE SCELTE OPERATIVE · In pratica dobbiamo stabilire: · Quante cifre binarie (bit) per la mantissa? · Quante cifre per l’esponente? Espresso come? Ma allora… si può evitare di scriverlo esplicitamente! In effetti, un · Come rappresentare il bit segno del numero? prefissato non porta informazione!! · Osservazione: nel caso B=2, la mantissa normalizzata è compresa fra 1/2 e 1: 1/2 m < 1 il primo bit dopo la virgola è sempre 1.

NUMERI REALI: LE SPECIFICHE DEL C Float (IEEE-32; 4 byte) · 1 bit per il segno del numero (0 = +, 1 = -) · 8 bit per l’esponente esp, codificato con eccesso 126 (28 -1 -2) · valori da 127 a 254 esponenti positivi [1. . 128] · valori da 1 a 125 esponenti negativi [-125. . -1] · i valori estremi (0 e 255) sono riservati · 23 bit per la mantissa m (cioè n=24 bit effettivi, contando l’MSB non rappresentato) · dal byte meno significativo al più significativo

NUMERI REALI: LE SPECIFICHE DEL C Double (IEEE-64; 8 byte) · 1 bit per il segno del numero (0 = +, 1 = -) · 11 bit per l’esponente esp, codificato con eccesso 1022 (211 -1 -2) · valori da 1023 a 2046 esp. positivi [1. . 1024] · valori da 1 a 1021 esp. negativi [-1021. . -1] · i valori estremi (0 e 2047) sono riservati · 52 bit per la mantissa m (cioè n=53 bit effettivi, contando l’MSB non rappresentato) · dal byte meno significativo al più significativo

NUMERI REALI: LE SPECIFICHE DEL C Casi particolari: · float · esp=0, m=0 rappresentano 0. 0 · esp=255, m=0 · esp=255, m 0 rappresentano un errore · double · esp=0, m=0 rappresentano 0. 0 · esp=2047, m=0 · esp=2047, m 0 rappresentano un errore

NUMERI REALI: LE SPECIFICHE DEL C Valori rappresentabili (lato positivo): · float [. 1 * 21 -126. . 1111. . 111*2254 -126 ] [ 2 -126. . . 2128 ] cioè [ 1. 2 * 10 -38 … 3. 4 * 1038 ] · double [. 1 * 21 -1022. . 1111. . 111*22046 -1022 ] [ 2 -1022. . . 21024 ] cioè [ 1. 3 * 10 -308 … 0. 7 * 10308 ]

NUMERI REALI: CIFRE SIGNIFICATIVE Cifre significative · Poiché assumendo V m * Besp trascuriamo il resto r * Besp-N, e poiché nella forma nornalizzata r<1, l’errore vale: Eassoluto Besp-N · Esso non è molto significativo in sé: lo è di più se rapportato al valore del numero Erelativo Besp-N / (m * Besp) · da cui, poiché 1/B m < 1, Erelativo Besp-N / Besp-1 = B 1 -N

NUMERI REALI: CIFRE SIGNIFICATIVE Cifre significative Se dunque Erelativo B 1 -N , le cifre decimali significative risultano: · float · N=24 Er 2 -23 = 10 -23*log 2 = 10 -7 · circa 7 cifre decimali significative · double · N=53 Er 2 -52 = 10 -52*log 2 = 10 -15 · circa 15 cifre decimali significative

NUMERI REALI: CIFRE SIGNIFICATIVE Cifre significative Epsilon di macchina: il più float chedecimali la macchina Se dunque Erelativo piccolo B 1 -N , le cifre distingue come diverso da 0 significative risultano: · float · N=24 Er 2 -23 = 10 -23*log 2 = 10 -7 · circa 7 cifre decimali significative · double · N=53 Er 2 -52 = 10 -52*log 2 = 10 -15 · circa 15 cifre decimali significative il più piccolo double distinguibile da 0

NUMERI REALI: ESEMPIO 1 Rappresentazione come float di V = 1. 0 · rappr. normalizzata: V = 1. 010 = 0. 12 * 21 · segno (1 bit): 0 · mantissa (24 bit): . 100000000 · esponente (8 bit con eccesso 126) esp=1 126+1 = 127 01111111 in memoria:

NUMERI REALI: ESEMPIO 2 Rappresentazione come float di V = 5. 875 · rappr. normalizzata: V = 101. 1112 =. 1011112 * 23 · segno (1 bit): 0 · mantissa (24 bit): . 10111100 00000000 · esponente (8 bit con eccesso 126) esp=3 126+3 = 129 10000001 in memoria:

NUMERI REALI: ESEMPIO 3 Rappresentazione come float di V = -29. 1875 · rappr. normalizzata: V = -. 1110100112 *25 · segno (1 bit): 1 · mantissa (24 bit): . 11101001 10000000 · esponente (8 bit con eccesso 126) esp=5 126+5 = 131 10000011 in memoria:

NUMERI REALI: ESEMPIO 4 Rappresentazione come float di V = 0. 110 · rappr. normalizzata: V =. 0(0011)2 periodico! · segno (1 bit): 0 · mantissa (24 bit): . 11001100 · esponente (8 bit con eccesso 126) esp=-3 126 -3 = 123 01111011 in memoria:

NUMERI REALI: ESEMPIO 4 Rappresentazione come. Errore float di V = 0. 110 di troncamento o si tronca periodico! o si arrotonda · rappr. normalizzata: V =. 0(0011) 2 il C arrotonda · segno (1 bit): 0 · mantissa (24 bit): . 110011001101 · esponente (8 bit con eccesso 126) esp=-3 126 -3 = 123 01111011 in memoria:

NUMERI REALI: ESEMPIO 5 Rappresentazione come float di V = 0. 1510 · rappr. normalizzata: V =. 00(1001)2 periodico! · segno (1 bit): 0 · mantissa (24 bit): . 100110011010 · esponente (8 bit con eccesso 126) esp=-2 126 -2 = 124 01111100 in memoria:

NUMERI REALI: ESEMPIO 6 Rappresentazione come float di V = -1/310 · rappr. normalizzata: V = -. (01)2 periodico! · segno (1 bit): 1 · mantissa (24 bit): . 1010101011 · esponente (8 bit con eccesso 126) esp=-1 126 -1 = 125 01111101 in memoria:

CONVERSIONE STRINGA / NUMERO · Problema: data la rappresentazione di un numero reale in una certa base, determinare il valore del numero · Soluzione: applicare la formula Bisogna considerare anche potenze negative di B, con le cifre dopo la virgola.

CONVERSIONE STRINGA / NUMERO · Esempio: calcolare il valore rappresentato dalla stringa 1001. 112 Soluzione: si sommano i singoli contributi V = 23 + 20 + 2 -1 + 2 -2 = 9. 7510 · Operativamente, con i naturali si valutava il polinomio con il metodo di Horner. E adesso?

CONVERSIONE STRINGA / NUMERO · Conviene separare il calcolo della parte intera da quello della parte frazionaria: · Per il calcolo del valore della parte intera si può usare ancora l’algoritmo di Horner. · Per il calcolo del valore della parte frazionaria si può adottare un algoritmo analogo.

CONVERSIONE STRINGA / NUMERO · Calcolo del valore della parte frazionaria: L’algoritmo di Horner raccoglieva via il fattore B, questo raccoglie il fattore 1/B. · Esempio: . 11012 (valuta da destra a sinistra) V = (((((1 / 2 + 0) / 2) + 1) / 2) = 0. 812510

CONVERSIONE NUMERO / STRINGA · Per convertire un numero in una stringa di cifre, l’essenziale è riuscire a “isolare” e ricavare le singole cifre. · Nel caso dei naturali, lo si fa con l’algoritmo delle divisioni successive: · d k = vk % B · il quoziente vk+1 = vk / B consente di iterare · Per la parte frazionaria occorre dunque un algoritmo analogo.

CONVERSIONE NUMERO / STRINGA Algoritmo delle moltiplicazioni successive · si moltiplica v per B · la parte intera che si genera costituisce la cifra più significativa · la parte frazionaria itera il procedimento · se prima o poi la parte frazionaria si azzera, il numero è rappresentabile in forma finita in tale base; · se invece si rigenera la stessa serie di cifre, siamo di fronte a un numero periodico in tale base.

UN ESEMPIO Calcolare la rappresentazione binaria del numero V=0. 87510 ·. 875 * 2 = 1. 75 parte intera = 1, parte frazionaria restante =. 75 ·. 75 * 2 = 1. 5 parte intera = 1, parte frazionaria restante =. 5 ·. 5 * 2 = 1. 0 parte intera = 1, parte frazionaria restante =. 0 Rappresentazione risultante: . 1112 (non periodico)

UN ALTRO ESEMPIO Calcolare la rappresentazione binaria del numero V=0. 1510 ·. 15 * 2 = 0. 3 parte intera = 0 ·. 3 * 2 = 0. 6 parte intera = 0 ·. 6 * 2 = 1. 2 parte intera = 1 ·. 2 * 2 = 0. 4 parte intera = 0 ·. 4 * 2 = 0. 8 parte intera = 0 ·. 8 * 2 = 1. 6 parte intera = 1 ·. 6 * 2 = 1. 2 si ripete la sequenza!! Rappresentazione (periodica): . 00(1001)2

DENTRO LA MACCHINA C · E se volessimo “spiare” dentro la macchina virtuale C per vedere la rappresentazione fisica dei numeri? · Occorre · ricavare l’indirizzo della variabile · esplorare quell’area di memoria byte per byte, per tanti byte quanta la dimensione di quel tipo di dato (es: float = 4 byte) · visualizzare ogni byte.

DENTRO LA MACCHINA C Un programma: main() { cast: ci serve un puntatore a byte, che in C si esprime come “unsigned char” float x; int i; unsigned char* p = (unsigned char*) &x; printf("Float: "); scanf("%f", &x); printf("n. Rappr. interna di %f: n", x); for (i=0; i<sizeof(x); i++) printf("Byte %i: t%Xn", i, p[i] ); printf("n"); i-esimo byte } sizeof: dà la dimensione in byte di quella variabile esadecimale

OPERAZIONI FRA REALI & ERRORI · Negli interi, si possono creare errori nelle operazioni, ma gli operandi sono comunque rappresentati esattamente · Nei reali, invece, già gli stessi operandi possono essere affetti da errore, a causa dell’impossibilità di rappresentare le infinite cifre dei numeri periodici e irrazionali: è l’errore di troncamento. · Errore di troncamento = ogni qual volta il numero di cifre disponibili è insufficiente.

ERRORE DI TRONCAMENTO · Si manifesta quando · il numero è periodico · il numero non è periodico ma ha troppe cifre · il risultato di un’operazione, a causa un riporto, richiede troppe cifre · Esempi (mantissa di 8 bit, per semplicità) · 15. 810 =. 111111001100. . . * 24 15. 75) · 301. 510 =. 10010110012 * 29 · 15110 + 16010 = =. 10010111 * 28 +. 10100000 * 28 = =. 100110111 * 29 (è (è 300) (è 310)

OPERAZIONI FRA REALI & ERRORI Vi sono poi altre due sorgenti di errore: · l’errore di incolonnamento · è causato dalla necessità di incolonnare i numeri per poterli sommare o sottrarre · l’errore di cancellazione · è la conseguenza finale della presenza, a monte, di errori di troncamento, che possono far sì che alcune cifre del risultato non siano affidabili, ovvero siano “virtualmente cancellate” · si manifesta sottraendo numeri simili fra loro.

ERRORE DI INCOLONNAMENTO L’errore di incolonnamento è causato dalla necessità di incolonnare i numeri per poterli sommare o sottrarre · per incolonnare due numeri che, in forma normalizzata, hanno esponente diverso occorre necessariamente “de-normalizzarne” uno · si allinea quello di valore assoluto minore a quello di valore assoluto maggiore · ciò causa una perdita di cifre significative nel numero che viene “de-normalizzato”.

ERRORE DI INCOLONNAMENTO Esempio: 96. 5 + 1. 75 · Ipotesi: mantissa di 8 bit (per semplicità) · 96. 510 =. 110000012 * 27 (senza errore) · 1. 7510 =. 111000002 * 21 (senza errore) Somma: . 110000012 * 27 +. 111000002 * 21 =. 000000112 * 27 =. 110001002 * 2 cifre perse: è l’errore di È 98, non 98. 25 come doveva! incolonnamento 7

ERRORE DI CANCELLAZIONE L’errore di cancellazione è può presentarsi quando si sottraggono numeri assai simili fra loro · accade solo se in almeno uno dei due operandi, all’inizio, vi è stato errore di troncamento · consiste nel fatto che si introducono zeri da destra per normalizzare il risultato, ma quegli zeri non sono significativi · se ci fossero state le cifre perse all’inizio a causa del troncamento, il risultato sarebbe stato diverso.

ERRORE DI CANCELLAZIONE Esempio: 15. 8 + 15. 5 · Ipotesi: mantissa di 8 bit (per semplicità) · 15. 810 =. 111111002 * 24 (con errore tronc. ) · 15. 510 =. 111110002 * 24 (senza errore) Differenza: cifre cancellate: è l’errore di. 111111002 * 24 cancellazione 4. 111110002 * 2 =. 000001002 * 24 =. 100000002 * 2 -1 Sono 0 solo perché abbiamo troncato 15. 8 all’inizio: avrebbero dovuto essere 11001

ERRORI: CONSEGUENZE · A causa di questi errori, la proprietà associativa può non essere più verificata · Esempio (mantissa di 8 bit, per semplicità) · X = 0, 75 . 11000000 * 20 · Y = 65, 6 . 10000011 * 27 troncamento) · Z = 64, 0 . 10000000 * 27 (senza errori) (err. (senza errori) si ha che (X + Y) - Z è diverso da X + (Y - Z)

ERRORI: CONSEGUENZE (X + Y) - Z è diverso da X + (Y - Z) R =. 10000000 * 22 R =. 10010000 * 22

ACCUMULAZIONE DI ERRORI · La presenza di errori che si accumulano può portare a risultati totalmente assurdi · Esempio: Calcolo di con l’algoritmo di Euclide Una circonferenza di raggio 1 è lunga 2 , che può essere approssimata: · dall’esterno, dal perimetro del poligono regolare di n lati circoscritto · dall’interno, dal perimetro del poligono regolare di n lati inscritto

ACCUMULAZIONE DI ERRORI Valgono le relazioni: · ln = lato del poligono di n lati inscritto · Ln = lato del poligono di n lati circoscritto = 2 l / (4 - l 2)

ACCUMULAZIONE DI ERRORI Una funzione che implementa l’algoritmo: void pigreco. Float(void) { float eps, LN, smpinf, smpsup, nlati, OC 2, diff; printf("Calcolo di pigreco con FLOAT. " "Precisione [1 e-8] ? "); scanf("%f", &eps); nlati = 4. 0; LN = sqrt(2. 0); do { OC 2 = sqrt(4. 0 - LN * LN); nlati *= 2. 0; diff = 2. 0 - OC 2; LN = sqrt(diff); smpinf = LN * nlati / 2. 0; smpsup = LN * nlati / OC 2; printf("nl=%10. 0 f d 2=%f pi. Inf=%f pi. Sup=%fn", nlati, OC 2, smpinf, smpsup); } while ((smpsup-smpinf >= eps) && (nlati < 1 e+19)); }

ACCUMULAZIONE DI ERRORI … e il suo output: Calcolo di pigreco con nl= 8 d 2=1. 414214 4. 329569 nl= 16 d 2=1. 847759 3. 378627 nl= 32 d 2=1. 961571 3. 197995 nl= 64 d 2=1. 990369 3. 155528 nl= 128 d 2=1. 997591 3. 145074 nl= 256 d 2=1. 999398 3. 142465 nl= 512 d 2=1. 999849 3. 141444 nl= 1024 d 2=1. 999962 3. 142510 FLOAT. Precisione ? 1 E-8 pi. Inf=3. 061467 pi. Sup = pi. Inf=3. 121444 pi. Sup = pi. Inf=3. 136546 pi. Sup = pi. Inf=3. 140333 pi. Sup = pi. Inf=3. 141286 pi. Sup = pi. Inf=3. 141519 pi. Sup = pi. Inf=3. 141208 pi. Sup = pi. Inf=3. 142451 pi. Sup =

CONVERSIONE DA INTERI A REALI · Nelle espressioni che coinvolgono interi e reali, i numeri interi devono essere convertiti in rappresentazione reale per poter eseguire le operazioni · Non si può semplicemente “spostare la virgola”, perché la rappresentazione in complemento a due non è posizionale · Esempio: · N = -8 (intero, 1 byte) · R = -8. 0 =. 1*23 segno 11111000 1 10000001 0000000 esp (126+3) mantissa

ESERCIZIO · Dire come vengono svolte le seguenti espressioni, calcolandole passo · Ipotesi: · interi rappresentati in complemento a due su un byte (8 bit da -128 a +127) · reali rappresentati su due byte (1 bit di segno, 8 di esponente con eccesso 126, 7 di mantissa) · Esercizio int i=10; float a=0. 6, b, c; b = a + i - 8; c = a + (i - 8);

FUNZIONI DI CONVERSIONE STANDARD La libreria standard stdlib fornisce quasi tutte le funzioni di conversione già pronte · da stringa a numero · atoi() · atol() · atof() da stringa a intero da stringa a long da stringa a double · da numero a stringa (solo Turbo C) · itoa() · ltoa() · fcvt() da intero a stringa da long a stringa da double a stringa Il C standard usa sprintf(), che vedremo più avanti.